Cách giải khác Tổng quát hơn Trước hết ta xét bài toán sau:.. có giá trị nhỏ nhất..[r]
Trang 1Bài giải để tham khảo câu 41 (Đề tham khảo của Bộ GD&ĐT năm 2019)
-Câu 41: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;-2;4), B(-3;3;-1) và mặt phẳng (P): 2x-y+2z-8=0.
Xét M là điểm thay đổi thuộc (P), giá trị nhỏ nhất của 2 MA 2+3 MB2 bằng :
Bài giải tham khảo
Đặt M ( x; y ; z)∈( P)⇔ 2 x− y+2 z=8 (1)
⃗ MA=(2−x;−2− y ;4−z )⇒ MA2=(2−x )2+ (2+ y )2+(4−z )2
⃗ MB=(−3−x ; 3− y ;−1−z)⇒ MB2=(3+x )2+ (3− y )2+ (1+z )2
Do đó:
2MA2+3 MB2=5 x2+5 y2+5 z2+10 x−10 y−10 z+105
=5 ( x2+ y2+ z2+2 x−2 y−2z ) +105
=5 [ (x +1)2+( y−1)2+( z−1 )2] +90
Mặt khác : (1)⇔ 2 x +2− y+1+2 z−2=8+1⇔ 2( x+1 )−( y−1)+2( z−10=9
Ta có:
9=|2( x+1)−( y−1 )+2 (z−1)|≤ √ 9 [ (x +1)2+ ( y−1)2+ ( z−1 )2]
⇒81≤9 [ ( x+ 1)2+( y−1)2+ ( z−1)2] ⇒ 9≤( x+1)2+( y −1)2+( z−1)2
⇒ 45≤5 [ ( x +1)2+( y −1)2+ ( z−1)2] ⇒ 45+90≤5 [ ( x +1)2+ ( y−1 )2+ ( z−1)2] + 90
⇒ 2 MA 2+3 MB2≥135
Vậy giá trị nhỏ nhất của 2 MA 2+3 MB2 bằng 135 Đáp án A
Cách giải khác (Tổng quát hơn)
Trước hết ta xét bài toán sau:
BÀI TOÁN :“TAÂM TỈ CỰ”
+Định ngh óa : (Vật Lý) Trong không gian (hay trên mặt phẳng) cho n điểm A;B;C; Điểm I được gọi
là tâm tỉ cự của hệ thống n điểm với các hệ số a,b,c, nếu : a.IA→+ b IB→+ c.IC→ + =0→
+Úng dụng để giải bài toán cực trị: “ Trong không gian Oxyz cho n điểm A,B,C, Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) ( hay đường thẳng d ) sao cho :
1/ Môđun của véc tơ tổng : | a.MA → + b.MB → + c.MC → + | có giá trị nhỏ nhất
2/ Tổng bình phương : a MA 2b MB 2c MC 2
có giá trị nhỏ nhất
+Ví dụ để minh họa phương pháp giải:
*Ví dụ : Trong không gian Oxyz cho ba điểm : A(-1;2,0), B( 2;1;3); C(-2;3;4) và mặt phẳng (P):x-2y+3z-2=0 Tìm trên mặt phẳng (P) điểm M sao cho :
1/ |2.MA → +3.MB → +5MC → | có giá trị nhỏ nhất
2/ (MA22MB23MC2) có giá trị nhỏ nhất
Giải
1/ Với điểm M trên mặt phaúng (P) và với điểm I bất kỳ trong không gian ta có:
2MA→ +3 MB→ + 5MC→ =2 ( MI→ + IA→ ) +3 ( MI→ + IB→ ) +5 ( MI→ + IC→ )
=10 MI→ +(2 IA→ +3 IB→ +5 IC→ )
Trang 2Ta tìm tọa độ điểm I sao cho : 2IA→+ 3 IB→ +5 IC→ =0→
Ta được :
I
I
I
x
y
z
Vậy với điểm
3 11 29
; ;
5 5 10
thì | 2MA → + 3MB → +5MC → |=|10MI → |=10MI nên:
ycbt ⇔ MI min ⇔ MI ⊥( P)⇔ M =hc I(P )
(Từ đó tìm được M)
2/ Tương tự tìm điểm I (tâm tỉ cự của A;B;C ứng với các hệ số 1, 2 ,3.)
Phương pháp: Khi giải trắc nghiẹm,để tìm M, trước hết ta tìm I sao cho: a⃗ IA+b⃗ IB+c ⃗ IC=⃗0
+Nếu tìm điểm M trên (P) hay d thì M là hình chiếu của I trên (P) hay d
+ Nếu tìm M trong không gian Oxyz thì M chính là I
-Bài giải đề nghị câu 41 Gọi M là điểm trên (P) và I là điểm bất kỳ trong không gian Oxyz,tacó:
2MA2+3 MB2=2 ⃗ MA2+3⃗ MB2= 2 ( ⃗ MI+⃗ IA )2+ 3 ( ⃗ MI +⃗ IB2)
=2IA2+ 3IB2+5 IM2+2⃗ MI (2⃗ IA+3⃗ IB)
Chọn I(x;y;z) sao cho 2⃗ IA+3⃗ IB=⃗0
Ta có : 2⃗ IA= ( 4−2 x ;−4−2 y; 8−2z ) ; 3⃗ IB= ( −9−3 x ; 9−3 y ; −3−3 z ) .
2⃗ IA+3⃗ IB=⃗0⇒I (−1;1;1)
Do đó:
Khi ấy:
2 MA 2+3 MB2=2 IA2+3 IB2+5 IM2=2 27+3 12+5 IM2=90+5 IM2
Vậy với điểm I chon được thì:
( 2 MA2+ 3MB2)min⇔ IMmin⇔ IM ⊥( P ) ⇔ IM =d ( I ,( P ) ) = | 2(−1)−1+2 (1)−8|
√ 22+(−1 )2+22 =3
Ta được: (2 MA 2+3 MB 2)min=135
Vĩnh Long, ngày 7 tháng 12 năm 2018
Người viết
Nguyễn Ngọc Ấn (Trường Bán Công Vĩnh Long)
