Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số.. Đơn giản biểu thức.. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y=fx=xlnx trên [1;e] Câu III: 1 điểm Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh bằng a.
Trang 1KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I
Năm học: 2012-2013 Môn thi: TOÁN - Lớp 12
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 20/12/2012
ĐỀ ĐỀ XUẤT
(Đề gồm có 01 trang)
Đơn vị ra đề: THPT HỒNG NGỰ 2
I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I: (3 điểm ) Cho hàm số y=x3−3x+2 (C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương 3
3 2 2 0
x − x+ − m=
Câu II: (2 điểm)
1 Đơn giản biểu thức
1 4 4
a-1
1 a
a a
a
+ + với a>0
2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y=f(x)=xlnx trên [1;e]
Câu III: (1 điểm) Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh bằng a.
1 Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD theo a
2 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện theo a
II PHẦN RIÊNG (3.0 điểm) (Học sinh chọn câu IV a và Va hay IV b và Vb)
A Theo chương trình chuẩn.
Câu IVa: (1 điểm) Cho (C ) có phương trình y=f(x)= 1
1
x x
− + Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) biế hệ số góc của tiếp tuyến bằng -2
Câu Va: (2 điểm)
1 Giải phương trình: log (2 x − + 5) log (2 x + = 2) 3
2 Giải bất phương trình : 91 −x + 9x − 10 0 >
B Theo chương trình nâng cao
Câu Vb: (1 điểm) Cho (C ) có phương trình y=f(x)= 1
1
x x
− + Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) biế hệ số góc của tiếp tuyến bằng -2
Câu VIb: (2 điểm)
1 Cho hàm số
( )
x
x
= = − + Tìm x để f’(x)=0
Trang 22 Cho phương trình x3 −3x+ −4 2m2 =0 Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm
KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ I
Năm học: 2012-2013
Môn thi: TOÁN – Lớp 11
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ĐỀ XUẤT
(Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang)
Đơn vị ra đề: THPT HỒNG NGỰ 2
I
(3,0đ)
Cho hàm số y= x3−3x+2 (C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương
x − x+ − m=
1
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 0,50 1) Tập xác định: D R=
2) Sự biến thiên Đạo hàm:
2
y' 3x= −3 y' 0= ⇔ = ±x 1 Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 1) và (1;+∞) , nghịch biến trên khoảng(−1;1)
Hàm số đạt cực đại tại x= −1, yCÑ=4, đạt cực tiểu tại x 1= ,
CT
y =0 Giới hạn : xlim y
→−∞ = −∞ và
xlim y
→+∞ = +∞
Bảng biến thiên:
Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
+ Giao điểm với Oy: x 0= ⇒ =y 2: ( )0;2 + Giao điểm với Ox: y 0= ⇔x 1x== −2: 1;0 , 2;0( ) (− )
0,50
x y’
y
Trang 3-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
x
2
Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương
Phương trình viết lai là x3 −3x+ =2 2m
Số nghiệm thực của phương trình x3−3x+ − =2 m 0 bằng số giao điểm của
đồ
thị (C) của hàm số y x 3x 2= 3− + và đừờng thẳng (d): y 2m = 0,25
Dựa vào đồ thị ta có:
Với m 0< hoặc m>2 , (d) và (C) có một điểm chung, do đó phương trình có
một nghiệm
Với m 0= hoặc m 2 , (d) và (C) có hai điểm chung, do đó phương trình có=
hai nghiệm
Với 0 m 2 , (d) và (C) có ba điểm chung, do đó phương trình có ba nghiệm< <
0,25 0,25 0,25
II
(2,0đ)
1
1 Đơn giản biểu thức
1 4 4
a-1
1 a
a a
a
+
1 4 4
a-1
1 a
a a
a
+ +
1
0,50
= a
2 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y=f(x)=xlnx trên [1;e]
Hàm số liên tục và xác định trên đoạn [1;e]
y’=0 suy ra x = 1
Trang 4Min f(x)=0 tại x=1 0,25
III
2
1
Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD
Do ABCD là tứ diện đều nên AG⊥ (BCD)
Vậy AG là đường cao của tứ diện
Vậy BG 2 3
a BE
AG=
2
a
Diện tích tam giác BCD bằng S=
4
a
V=1
3
6 3
4
6
a
2 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện theo a
Ta thấy AG là trục của tam giác BCD
Dựng mặt trung trực (P) của đoạn AB tại trung điểm H cắt AG tại điểm I
I là tậm của mặt cầu
Bán kính R=IA =
2 3
a AG
a
4
IVa
(2,0đ) Cho (C ) có phương trình y=f(x)=
1 1
x x
− + Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) biế hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2
: \ { 1}
txd D=R −
Trang 5M( ; )x y là tiếp điểm0 0
2
2 '
( 1)
y x
= + nên 2
0
2
2 (x 1) = + Giải phương trình ta có x0 =0;x0 = −2
Với x0 =0ta có y0 = −1 PTTT là y=2(x− −0) 1
Suy ra y=2 x-1
x = − ta có 0
1 3
y = PTTT là y=2(x+2)+ 1
3 suy ra y=2x +
13 3
0,50
Va
(1,0đ) 1 log (2 x − + 5) log (2 x + = 2) 3 (1)
log ( x − + 5) log ( x + = 2) 3 (1) ĐK x > 5 0,25 Pt(1)⇔ log2 ( x − 5 ) ( x + 2 ) = 3
( x − 5 ) ( x + 2 ) = 9 0,25
2 3 19 0
3 85 2
⇔ = (loại); 3 85
2
Vậy phương trình có nghiệm 3 85
2
x = +
2 91 −x +9x −10 0>
Biến đổi pt 91 −x +9x −10 0>
⇔ 91 9 10 0
9
x
x + − > (1) do 9x > 0.
2
0,25
Đặt t=9x , đk t>0
Pt (1) 2 10 9 0 1
9
t
t t
t
<
⇔ − + > ⇔ >
0,25
Với 0< t<1 ⇒9x < ⇔1 9x <90 ⇔ <x 0 0,25
Với t>9 ⇒9x > ⇔9 9x >91 ⇔ >x 1
Đáp số : Nghiệm pt là x<0 , x>1
Trang 6(1,0đ)
Cho (C ) có phương trình y=f(x)= 1
1
x x
− + Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) biế hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2
: \ { 1}
2
2 '
( 1)
y x
= +
M( ; )x y là tiếp điểm và k=2 nên 0 0 2
0
2
2 (x 1) = +
0,50
Giải phương trình ta có x0 =0;x0 = −2
Với x0 =0ta có y0 = −1 PTTT là y=2(x− −0) 1
Suy ra y=2 x-1
Với x0 = −2 ta có 0 1
3
y = PTTT là y=2(x+2)+ 1
3 suy ra y=2x +
13 3
0,25
Vb
(1,0đ)
1 Cho hàm số
( )
x
x
= = − + Tìm x để f’(x)=0
2
'( )
f x =0 khi và chỉ khi ex2 − + = ⇔ 1 x 0 ex2 = − 1 x (a) 0,25
Pt (a) có Vt là hàm số tăng và Vp là hàm số giãm nên đồ thị cắt nhau tại
không quá 1 điểm
Vậy PT (a) có không quá 1 nghiệm
Dễ thấy x=0 là một nghiệm
0,25
2 x3 −3x+ =2 2m2 −2
Xét hàm số y=x3−3x+2
Ta có y' 3x= 2−3
y ' 0= ⇔ = ±x 1 0,25
Trang 7Bảng biến thiên:
Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của hai đường
(C )có pt : y=x3−3x+2
(d) y= 2m2 −2
0,25
Dựa vào bảng biến thiên ta có
2
2m −2<0 suy ra m<-1; m>1
2
2m −2>4 suy ra m< − 3;m> 3
Vậy m<-1; m>1
0,25 0,25
HẾT
x
y’
y
