Chuyên đề tích phân hàm ẩn phát triển từ câu 41 của đề tham khảo môn Toán 2021 của Bộ Giáo dục

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHÁT TRIỂN TỪ CÂU 41 CỦA

ĐỀ THAM KHẢO MÔN TOÁN 2021 CỦA BỘ GIÁO DỤC

I Kiến thức cần nhớ

1 Các tính chất tích phân:

  d  d  d

f x x f x x f x x

k f x xkf x x k

  d  d

f x x  f x x

b

b a a

f x xF x F b F a



f x g x x f x x g x x

  d  d  d

f x x f t t f z z

b

b a a

f x x f x  f b  f a



2 Công thức đổi biến số:  f u x   .u x dx   f u du u  , u x 

       

 

 

 

u b b

f u x u x dx  f u du uu x

Phương pháp đổi biến số thường được sử dụng theo hai cách sau đây:

 Giả sử cần tính b  

a

g x dx

 Nếu ta viết được g x  dưới dạng f u x u x      thì

 

 

u b b

g x dx f u du

  Vậy bài toán quy về tính  

 

 

u b

u a

f u du

 , trong nhiều trường hợp thì tích phân mới này đơn giản hơn

 Giả sử cần tính f x dx 





 Đặt xx t  thỏa mãn x a , x b  thì

  b       b  

f x dx f x t x t dt g t dt







   , trong đó g t  f x t   .x t 

Ví dụ: Cho hàm số

2 2

( )

2 3 khi 2

f x

 

2

0

(2sin 1) cos d

f x x x





A 23

23

17

17

3

Lời giải Chọn B

Xét

2

0

(2sin 1) cos d

I f x x x



Đặt 2sin 1 1d cos d

t  x  t

Đổi cận:

3 2

x t

x  t

  

  

I f t t f x x  x x x x x

II Bài tập

Câu 1: Cho hàm số

2 2

e

2

0 ( )

0

x

khi x f

x

x

khi x x





 



1

e ( ) d a

f x x

b c



 

b là phân số tối

giản) Giá trị a b c  bằng

Lời giải Chọn C

4

I f x x x x e x

Vậy a b c  9

Câu 2: Cho hàm số

1

3 ( )

3 1

4

khi x

f x

kh

x x













4

2

e

e

(ln ) d

f

x x

x

A 40 ln 2

4  D 189 ln 2

4 

Lời giải Chọn D

Xét

4

2

(ln ) d

e

e

f

x



Đặt t ln x dt 1dx

x

Đổi cận:

2 4

2 2

1

2

4

189

4

x x

I f t t f x x x x

x

1

1 1

(

x

khi x

f x

khi

x

x



 

 

Tích phân

2 3 1

1

n

x







n là phân số tối giản),

khi đó m2n bằng:

Lời giải Chọn A

1

7

( 1 )d

I f x x





 

3

t    t t

   

25

12

I t f t t x f x x  x x x x x

Câu 4: Cho hàm số f x liên tục trên   và

 

1

0

f x x



,

 

3

0

f x x



Tính 1  

1

2 1 d



A I 3 B I 5 C I 6 D I 4

Lời giải Chọn B

Đặt u2x1 d 1d

2

x u

  Khi x 1 thì u 1 Khi x1 thì u3

1

1

d 2

I f u u



1

2  f u u f u u

   

1

2  f u u f u u

Xét 1  

0

f x x

 Đặt x udx du Khi x0 thì u0 Khi x1 thì u 1

Nên 1  

0

4 f x dx 1  

0

d

f u u



1

d

f u u



Ta có 3  

0

f x x

0

f u u

1

2

I f u u f u u



2

  

Câu 5: Cho F x 

là một nguyên hàm của hàm số f x    1 x 1 x

trên tập và thỏa mãn

 1 3

F 

Tính tổng F 0 F 2 F 3

Lời giải:

Chọn C

Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối:

Ta có: 2        

1

f x xF F F 

f x x x

  nên F 2 5

0

f x xF F  F

0

f x x x xx 

1



1

f x x x x x 

3

f x x F F F





f x x x

   

  nên F  3 7 Vậy F 0 F 2 F     3 2 5 7 14

Câu 6 Biết

5

1

d 4 ln 2 ln 5

x

x

 

    với a b,  Tính S a b

A S 9 B S 11 C S  3 D S 5

Lời giải:

Chọn D

2

2 khi 2

x

x x



Do đó

2 dx 2 dx

     4 8ln 2 3ln 5

3

a b





  

 S   a b 5

Câu 7 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn  3 

f x  x  x , với mọi

x Tích phân 5  

1

d

xf x x

A 31

4

33

49

4

Lời giải Chọn C

Từ giả thiết ta có  3 

f x  x  x nên suy ra f  1 2, f  5 5

1

I xf x xxf x f x x  f x x

x   t t x t  t Với x  1 t 0;x  5 t 1

59

4

f x x f t  t t  t t t  t

Vậy 23 59 33

I   

Câu 8 Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên thoả  5 

f x  x  x  x Tích

phân 8  

2 f x dx



Lời giải Chọn B

x   t t dx t  dt

    



   



Câu 9 Cho hàm số y f x( )xác định và liên tục trên thỏa mãn  3

2 f x( ) 3 ( ) 5f x  x với

x

  Tính

10

5

( )

I   f x dx

A I 0 B I 3 C I 5 D I 6

Lời giải Chọn B

t f x  t    t x dx t  dt và

3

x  t     t t

3

x  t   t  t

Vậy

2

I  f x dxt t  dt

Câu 10 Cho hàm số f x  xác định 1

2

 

 

  thỏa   2  

x

 và f  1 2 Giá trị của biểu thức f   1 f  3 bằng

A ln15 B 2 ln15. C 3 ln15. D 4 ln15.

Lời giải Chọn C

Ta có   2

x

 



   

1

2

1

1

2

x





 0 1 1 1

f  C  và f  1  2 C2 2

 

 

1

2

2

f x

f





Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí