De thi chon HSG toan 8

Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chữ số hàng chục, thê[r]

Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức: 2 2

:

A

a Rút gọn biểu thức A

b Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

c Tìm x để A A

Bài 2( 5 điểm)

a Giải phương trình sau:

49



b Cho x ,y, z, a, b , c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn x2 - yz = a

y2 - zx = b và z2 - xy = c Chứng minh rằng ax + by+ cz chia hết cho

a + b + c

c Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b +c = 1 Chứng















b a

ab c a c

ca b c b

bc a

Bài 3:( 5điểm)

a Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn

vị vào chữ số hàng chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị thì

ta vần được một số chính phương

b Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn

x  2x  3x 2 y  

c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x2 + 5y2 + 2xy - 4x - 8y + 2018

Bài 4: ( 6 điểm)

Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm

F sao cho AE = AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N

1 Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật

2 Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH

Chứng minh rằng: AC = 2EF

6) Đáp án và biểu điểm

Bài 1

( 4

điểm)

Ý a

(2 điểm)

+ ĐKXĐ :

1 1, 2

x x

2 2

2 2

.

.

2

1 2

A

x

x







0,5

0,5

0,5 0,5

Ý b

(1

điểm)

A nguyên, mà x nguyên nên 2 1 2x 

Từ đó tìm được x = 1 và x = 0 Loại đi giá trị x = 1( do điều kiện) Vậy x = 0

0,25 0,5 0,25

Ý c

(1 điểm)

0

x

 Kết hợp với điều kiện:

1 1

2

x

  

0,25 0,5 0,25

Bài 2

(5

điểm)

Ý a

49



ĐKXĐ: x 2017; x 2018  Đặt a = x – 2018 (a  0), ta có hệ thức:

49



2 2

 

0,25 0,25

2 2

2

3 a 2 5 a 2







 

 

 (thoả ĐK)

Suy ra x =

4036

2 hoặc x =

4031

2 (thoả ĐK)

0,5

0, 5

0,5

Ý b

(1,5

điểm)

Ta có

ax

3

by cz

x y z a b c

Vậy ax + by + cz chia hết cho a + b + c

0,5

0,5 0,25

0,25

Ý c

(1,5

điểm)

- Nhận xét:

Có a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a)

Tương tự có b + ca = (b + a)(b + c)

c + ab = (c + a)(c + b)

b c a c a

c

c b a b c

b

c a b a VT























Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có

2( )

) )(

( ) )(

(

b a a

c

c b a b c

b

c a b a



















0,5

2( )

) )(

( ) )(

(

) ( 2 ) )(

( ) )(

(

c b b

a

b c a c c

a

c b a b

c a b

a

b c a c c

b

c a b a





































Vậy 2 VT 4(abc)4

hay VT 2  ĐPCM Đẳng thức xảy ra  a = b = c =3

1

0,5

0,5

Bài 3

(5,0

điểm)

Ý a

(2

điểm)

Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d N,

0 ≤ a , b , c , d ≤9 , a ≠ 0

Ta có: abcd=k2

(a+1)(b+ 3)(c+5)(d+3)=m2

Với k, m N, 31<k <m<100

abcd=k2

abcd +1353=m2

Do đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m <

200 ) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 m–k = 33

m = 67 m = 37

k =56 k = 4 Kết luận đúng abcd = 3136

0,25

0,5

0,5

0,5

0,25

Ý b

(1,5

điểm) Ta có

2

2

4 16

Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1

Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được

x = -1; từ đó tìm được cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là:

(-1 ; 0) KL

0,5

0,5

0,5

⇔

⇔

Hoặc

⇒

Ý c

(1,5

điểm)

5 2 4 8 2023 ( 2 ) 4( ) 4 4 4 1 2018 ( ) 4( ) 4 (4 4 1) 2018 ( 2) (2 1) 2018 2018

Dấu "=" xảy ra khi

3

2

x

x y y

y







  



 



Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 2018 khi

3 2 1 2

x y









 



0,5 0,25

0,5

0,25

Bài 4

(6,0

điểm)

Vẽ hình, ghi giả thiết , kết luận

N M

H F

E

B A

Ý a

(2

điểm)

Ta có DAM ABF(cùng phụ  BAH)

AB = AD ( gt)  BAF  ADM = 900 (ABCD là hình vuông)  ΔADM = ΔBAF(g.c.g)

=> DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM

Lại có AE // DM ( vì AB // DC ) Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành

Mặt khác.DAE = 90  0 (gt) Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật

0,5

0,5

0,5

0,5

Ta có ΔABH ΔFAH (g.g)

Ý b

(2điểm)

AB BH

=

AF AH



hay

BC BH

=

Lại có  HAB = HBC  (cùng phụ  ABH)

 ΔCBH ΔEAH  (c.g.c)

2 ΔCBH

ΔEAH

=

 

ΔCBH ΔEAH

S

= 4

2

BC

= 4 AE

 

  

nên BC2 = (2AE)2

 BC = 2AE  E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD

Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm)

0,5

0,5

0,5

0,5

Ý c

(2điểm)

Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:



=

=

Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:

Vì AD = AB hay

=

    

    (2)

Từ (1) và (2)



(Pytago)



(đpcm)

0,5

0,5

0,5

0,5

Lưu ý

- Hình học nếu vẽ hình không khớp chứng minh không cho điểm

- Học sinh làm bài cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa