Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Hồng Giang

Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P. a.Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC. Gọi Q là [r]

TRƯỜNG THCS HỒNG GIANG ĐỀ THI HSG LỚP 8

MÔN: TOÁN

(Thời gian làm bài: 150 phút)

Đề số 1

Bài 1 (6,0 điểm)

a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau 9x2+y2+2z2−18x+4z−6y+20=0

b) Giải phương trình x4−30x2+31x−30=0

Bài 2 (4,0 điểm)

a) Giải phương trình 148 169 186 199 10

b) Chứng minh rằng A=n3+6n2+8n chia hết cho 48 với n chẵn

Bài 3 (3.0 điểm): Cho biểu thức: 21 2 1 2 1 2 1 2 1

P

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị

b) Rút gọn biểu thức P

Bài 4 (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC AB  ) Vẽ đường cao AH ( H  BC ) Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng

AC tại P

a.Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC

b Gọi Q là trung điểm của BP Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK

ĐÁP ÁN Bài 1: a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: 9x2+y2+2z2−18x+4z−6y+20=0

Ta có:

9x +y +2z −18x+4z−6y+20=0

3x −2.3 3 3x + +y −2 .3 3y + +2 z +2z+ = 1 0

( ) (2 )2 ( )2

3x−3 + y−3 +2 z+1 =0

Vì ( )2 ( )2 ( )2

3x−3 0; y−3 0; 2 z+1 0 với mọi x, y, z nên:

1

3

1

x

y

z

=



 =



 = −



b) Giải phương trình: x4−30x2+31x−30=0

Hướng dẫn

x − x + x− =

( )

Ta có:

2

x − + =x x−  + 

  với mọi x nên suy ra:

( )( )

2

30 0

5

6

x x

x

x

=



  = −



Bài 2:

a) Giải phương trình: 148 169 186 199 10

Hướng dẫn

10

 − +  −  + −  + − =

( ) 1 1 1 1

  nên 123 – x = 0, suy ra x = 123

b) Chứng minh rằng: A=n3+6n2+8n chia hết cho 48 với n chẵn

Hướng dẫn

n + n + n chia hết cho 48 với n chẵn

Ta có:

A=n + n + n

A=n n + n+

( 2)( 4)

A=n n+ n+

Vì n là số chẵn nên đặt n=2k k(  ), khi đó:

( )( )

A= k k+ k+

( )( )

3

A= k k+ k+

Vì k k( +1)(k+ là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên: 2)

- Tồn tại một số là bội của 2 nên k k( +1)(k+2 2) nên A16

- Tồn tại một số là bội của 3 nên k k( +1)(k+2 3)

Vậy A chia hết cho 3, 16 mà (3,16)= nên 1 A 3.16=48

Bài 3:

a) Tìm điều kiện đúng: x0; x1; x2; x3; x4; x5

b) Rút gọn đúng:

( 1) ( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5)

P

Bài 4:

Chứng minh: ABC KPC ( G.G)

b Gọi Q là trung điểm của BP Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK

Ta có:

2

PB

AQ = KQ = (Trung tuyến ứng với nửa cạnh huyền trong tam giác vuông)

Lại có: HK = HA (Giả thiết) Do đó: QH là đường trung trực của AK

Đề số 2

Câu 1 (3,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x5 +x4+1

b) ( )2

2

x – 8 +36

x −x 1 – 5x x – x 1+ + +4x

4 3 2

1

1

Q

I

K

H

B

P

Câu 3 Tìm số dư trong phép chia của biểu thức (x+2)(x+4)(x+6)(x+ +8) 2016 cho đa thức

2

x + x+

Câu 4 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AD, trọng tâm G Đường thẳng d bất kỳ đi qua G và

cắt AB, AC lần lượt tại M, N Chứng minh rằng: AB AC

3

AM+AN =

Câu 5 (6,0 điểm) Cho  ABC cân tại A, hai đường cao AI và BD cắt nhau tại H

a) Chứng minh rằng: AIC ∽  BDC

b) Gọi E giao điểm của CH và AB Chứng minh: BE.BA CH.CE+ =BC2

c) Gọi T là giao điểm của DE và AH Chứng minh: 1 1 2

AT+AI = AH

Câu 6 (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A=(x−2019)2 +(x+2020)2

ĐÁP ÁN Câu 1

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x5 +x4+1 5 2 4 2 2

b) ( )2

2

=x4+20x2+100 16x− 2 ( 2 ) ( 2 )

x – x 1 – 5x x – x 1 4x+ + + ( 2 ) ( 2 )

Câu 2

Ta có:

( ) ( ) ( )

4 3 2

2 2

Vì ( 2 ) ( )2

a + a−  với mọi a nên A  3

Vậy giá trị nhỏ nhất của A=  − =  = 3 a 1 0 a 1

Câu 3 (2 điểm)

Tìm số dư trong phép chia của biểu thức (x+2)(x+4)(x+6)(x+ +8) 2016 cho đa thức 2

x + x+

Hướng dẫn

Đặt 2

t=x + x+ t − t − , biểu thức P(x) được viết lại:

P x = −t t+ + = − +t t

Do đó 2

2 2001

t − +t cho ta số dư là 2001

Câu 4

- Kẻ BE, CF//MN

3

+

Câu 5

F

E D

N M

G

C B

A

a) Chứng minh được  AIC ∽  BDC(g-g)

b)

- Chứng minh được:BE.BA = BH.BD = BI.BC

CH.CE = CI.CB

BE.BA+CH.CE=BC BI+IC =BC

c) Gọi T là giao điểm của DE và AH Chứng minh: 1 1 2

AT+AI = AH

- Chứng minh được EH; EA là phân giác trong, ngoài của ETI tại đỉnh E

2

2

Câu 6

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A= x−2019 x+2020

2

2

T E

I

D H

C B

A

Dấu “=” xảy ra 1

x 2

Đặt a x 1(a;b 0)

= −





 = −

( ) (2 )2

Dấu “=” xảy ra  = =  = =a b 1 x y 2

Đề số 3

Câu 1

a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau 9x2+y2+2z2−18x+4z−6y+20=0

b) Giải phương trình x4−30x2+31x−30=0

Câu 2

a) Giải phương trình 148 169 186 199 10

b) Chứng minh rằng A=n3+6n2+8n chia hết cho 48 với n chẵn

Câu 3

a) Tìm các giá trị của x để biểu thức:

( 1)( 2)( 3)( 6)

P= x− x+ x+ x+ có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

b) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3

Câu 4

Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD Kẻ ME⊥AB, MF ⊥ AD

a) Chứng minh DE=CF

b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy

c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất

Câu 5

a) Chứng minh rằng 12 12 14 12 1

b) Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn a b c+ + =2016 và 1 1 1 1

2016

a+ + =b c

Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số đối nhau

ĐÁP ÁN

Câu 1 (2 điểm)

a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: 2 2 2

9x +y +2z −18x+4z−6y+20=0

Ta có:

9x +y +2z −18x+4z−6y+20=0

3x −2.3 3 3x + +y −2 .3 3y + +2 z +2z+ = 1 0

( ) (2 )2 ( )2

3x−3 + y−3 +2 z+1 =0

Vì ( )2 ( )2 ( )2

3x−3 0; y−3 0; 2 z+1 0 với mọi x, y, z nên:

1

3

1

x

y

z

=



 =



 = −



b) Giải phương trình: x4−30x2+31x−30=0

Hướng dẫn

x − x + x− =

Ta có:

2

x − + =x x−  + 

  với mọi x nên suy ra:

( )( )

2

30 0

5

6

x x

x

x

=



  = −



Câu 2

c) Giải phương trình: 148 169 186 199 10

Hướng dẫn

10

 148 1 169 2 186 3 199 4 0

 − +  −  + −  + − =

( ) 1 1 1 1

  nên 123 – x = 0, suy ra x = 123

d) Chứng minh rằng: A=n3+6n2+8n chia hết cho 48 với n chẵn

Hướng dẫn

n + n + n chia hết cho 48 với n chẵn

Ta có:

A=n + n + n

A=n n + n+

( 2)( 4)

A=n n+ n+

Vì n là số chẵn nên đặt n=2k k(  ), khi đó:

( )( )

A= k k+ k+

( )( )

A= k k+ k+

( )( )

3

A= k k+ k+

Vì k k( +1)(k+ là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên: 2)

- Tồn tại một số là bội của 2 nên k k( +1)(k+2 2) nên A16

- Tồn tại một số là bội của 3 nên k k( +1)(k+2 3)

Vậy A chia hết cho 3, 16 mà (3,16)= nên 1 A 3.16=48

Câu 3 (2 điểm)

a) Tìm các giá trị của x để biểu thức:

( 1)( 2)( 3)( 6)

P= x− x+ x+ x+ có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

b) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia

hết cho 3

Hướng dẫn

( 1)( 2)( 3)( 6)

P= −x x+ x+ x+

2 2

M F

E

B A

Vì ( 2 )2

x + x  nên ( 2 )2

= -36 khi ( 2 )2

x + x =

Từ đó ta tìm được x = 0 hoặc x = -5 thì min P = -36

b) Gọi hai số phải tìm là a và b, ta có a + b chia hết cho 3

Ta có:

a +b = a+b a −ab b+

a +b = a b+  a + ab b+ − ab

( ) ( )2

3

a +b = a b+  a b+ − ab

Vì a b+ chia hết cho 3 nên ( )2

3

a+b − ab chia hết cho 3;

Do vậy ( ) ( )2

3

a b+  a b+ − ab

  chia hết cho 9

Câu 4 (3 điểm)

Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD Kẻ ME⊥AB, MF⊥AD

a) Chứng minh: DE = CF

b) Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy

c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất

Hướng dẫn

a) Chứng minh: AE = FM = DF

  AED =  DFC  đpcm

b) DE, BF, CM là ba đường cao của  EFC  đpcm

c) Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi

 + = không đổi

AEMF

 = lớn nhất  ME = MF (AEMF là hình vuông)

M

 là trung điểm của BD

Câu 5 Chứng minh rằng: 12 12 14 12 1

Hướng dẫn

2.2 3.3 4.4 100.100

1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 99.100

100 100

Đề số 4

Bài 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) ( )3 3 3 3

x+ +y z −x −y −z

b) x4+2014x2+2013x+2014

Bài 2

49

=

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có 5

B=a −a chia hết cho 30

Bài 3 (3 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho Tìm phân số đó

Bài 4 (2 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4 − 2 a3 + 3 a2 − 4 a + 5

Bài 5 (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD

a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh

b, Cho AB = 4cm Tính các cạnh của tứ giác AMNI

Bài 6 (5 điểm)

Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O Đường thẳng qua O và song song

với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N

a, Chứng minh rằng OM = ON

b, Chứng minh rằng

MN CD

AB

2 1

c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD

ĐÁP ÁN

Bài 1

a) ( )3 3 3 3

x+ +y z −x −y −z

( )

2

y z x y z x y z x x y z y yz z

= + + − − −

( ) ( ) ( )

( )( )( )

2

3

3

y z x xy yz xz

y z x x y z x y

y z x y x z

2014 2014 2014

Bài 2

a) ĐKXĐ: x2013;x2014

Đặt x−2014=a a( 0)

Ta có:

( ) ( )

( ) ( )

49

=

2

2

1 19

a a

+ +

( )( )

2

3 2 5 2

a

a

 =



 

−

 =



4031

2

x

 = hoặc 4023

2

b) Ta có:

5

B=a −a

1

B=a a −

B=a a − a +

( 2 )( 2 ) ( 2 )

B=a a − a − + a a −

B= a− a− a a+ a+ + a a −

Vì (a−2)(a−1) (a a+1)(a+ là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số là bội của 5, do đó 2)

(a−2)(a−1) (a a+1)(a+2 5) (1)

5a a −1 5(2)

Từ (1) và (2) suy ra B 5

Câu 3:

Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11 Phân số cần tìm là

11 +

x

x

(x là

số nguyên khác -11)

Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số

15

7 +

−

x

x

(x khác -15)

Theo bài ra ta có phương trình

11 +

x

x

=

7

15

−

+

x x

Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn)

Từ đó tìm được phân số

6

5

−

Câu 4

Biến đổi để có A=a2(a2 +2)−2a(a2 +2)+(a2 +2)+3

=(a2 +2)(a2 −2a+1)+3=(a2 +2)(a−1)2 +3

Vì a2 +20 và a (a−1)2 0a nên (a2 +2)(a−1)2 0a do đó (a2 +2)(a−1)2 +33a

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a−1 =0  a=1

Câu 5

a) Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang

Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân

N

I

M

A

B

b) Tính được AD = cm

3

3 4

; BD = 2AD = cm

3

3 8

AM = BD =

2

1

cm

3

3 4

Tính được NI = AM = cm

3

3 4

DC = BC = cm

3

3 8

, MN = DC =

2

1

cm

3

3 4

Tính được AI = cm

3

3 8

Câu 6

a) Lập luận để có

BD

OD AB

OM = ,

AC

OC AB

ON =

Lập luận để có

AC

OC DB



AB

ON AB

OM =  OM = ON

b) Xét ABD để có

AD

DM AB

OM = (1), xét ADCđể có

AD

AM DC

OM = (2)

Từ (1) và (2)  OM.(

CD AB

1

AD

AD AD

DM AM

Chứng minh tương tự ON.( 1 + 1 )=1

CD

từ đó có (OM + ON).( 1 + 1 )=2

CD

MN CD AB

2 1 1

= +

c)

OD

OB S

S

AOD

AOB = ,

OD

OB S

S

DOC

AOD

AOB

S

S

DOC

BOC

S

S

 S AOB.S DOC =S BOC.S AOD

Chứng minh được S AOD =S BOC

) (

M

B A

Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT)

Đề số 5

Câu 1

a) Tìm x;yZthoả mãn 5x2−4xy+ y2 =169

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì biểu thức:

A = + + có giá trị là một số nguyên

Câu 2

a) Cho hai số a  So sánh hai số b 0 1 2

1

a x

a a

+

=

1 1

b y

b b

+

= + +

x+ +x+ +x+ +x+ +x+ + x+ + =

Câu 3

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC của hình vuông ABCD Các đường thẳng DN và

CM cắt nhau tại I Chứng minh tam giác AID là tam giác cân

Câu 4

Tìm cặp số nguyên (x y z thỏa mãn phương trình: ; ; )

4064497 2 15 4 2014

x +y + +z = x+ y+ z

Câu 5 Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n + và 21 n + đều là các số chính phương thì n là 1

bội số của 24

ĐÁP ÁN

Câu 1 (2 điểm)

a) Tìm x;yZthoả mãn: 5x2 −4xy+ y2 =169

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì biểu thức:

A = + + có giá trị là một số nguyên

Hướng dẫn

a) Ta có:

169 4

5x2− xy+ y2 =

( )

x xy y x

x y x



 



Từ (I) ta có:

( )

( )

;

5

;

12

x y

x

x y

x

=



=



Từ (II) ta có:

( )

( )

2

2

0

13 0

13

26 13

x

x y

y x

x

x y

y x





Vậy ( ), ( (5; 2 ; 5; 22 ;) ( ) ( ) ( ) (5; 2 ;) ( ) (5; 22 ; 12; 19 ; 12; 29) ( ) ( ) ( ) ( ) )

12;19 ; 12; 29 ; 0;13 ; 0; 13 ; 13; 26 ; 13; 26

b) Ta có:

( )( )

Vì n n( +1)(n+ là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên 2) n n( +1)(n+2) 3 và n n( +1)(n+2) 2 mà

( )2,3 = Do đó 1 n n( +1)(n+2) 6

Hay A là một số nguyên

Câu 2 (2 điểm)

a) Cho hai số a  So sánh hai số b 0 1 2

1

a x

a a

+

=

1 1

b y

b b

+

= + +

x+ +x+ +x+ +x+ +x+ + x+ + =

Hướng dẫn

Vì x y , 0, ta có:

1

a

+

Vì a  nên b 0 12 12

a b và 1 1

ab Vậy x y

1 2 3 4 5 6

x+ + +x+ + +x+ + +x+ + +x+ + + x+ + =

0

1000 999 998 997 996 995

1000+999+998+997+996+995 nên x = −1001

Câu 3

Câu 3

0

90

goi K là trung điểm của DC nên AM=KC, AM KC

Nên AMCK là hình bình hành

AK MC

M



Hay AK⊥DI (1)

Goi L là giao điiểm của DN và AK K là trung điểm của DC và AK MC

suy ra AK đi qua trung điểm của DI nên L là trung điểm của DI (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác AID cân tại A

Câu 4

Đặt x− =  = +1 y x y 1 Ta có:

( ) ( )

( ) ( )

A

y

I L

K

N M

C

D

3

A

y y

= − +

Đặt 1 z

3 2

2

A=z − z+ +

( )2

A= z− + 

Vậy min A=  =  =  =2 z 1 y 1 x 2

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội

dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

I.Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây

dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên

khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt

điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành

cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các

môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu

tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí