Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán (2017)

Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD.Gọi H là hình chiếu của B trên AC,I và N lần lượt là trung điểm của AD và HC.Chứng minh: BN  IN.. Bài 5.. à Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH.Đ[r]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA 8

NĂM HỌC 2016 - 2017

Bài 1

a Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

4

x  4  x 2 x    3 x    4 x    5   24

b Giải phương trình: 4 2

x  30x  31x  30  0

c Cho

1

b c  c a a b 

0

b c  c a a b 

Bài 2 Cho biểu thức:

2 2

a Rút gọn biểu thức A

b Tính giá trị của A , Biết x =

1

2

c Tìm giá trị của x để A < 0

d Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

1 42 13

1 30

11

1 20

9

1

2 2















x

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

2010x 2680 A

x 1





Bài 4 Cho hình chữ nhật ABCD.Gọi H là hình chiếu của B trên AC,I và N lần lượt

là trung điểm của AD và HC.Chứng minh: BN  IN

Bài 5 Từ điểm P trên đường chéo AC của hình bình hành ABCD,kẻ đường thẳng d

lần lượt cắt tia AB,AD tại M và N.Chứng minh + =

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8

Bài 1

(5,5

điểm)

a x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2

= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2

= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)

( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24

= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24

= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24

= (x2 + 7x + 11)2 - 52

= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)

= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)

(2,0)

b 4 2

x  30x  31x  30  0 <=>

x  x  1 x  5 x  6  0

(*)

(1,5 )

Vỡ x2 - x + 1 = (x -

1

2 )2 +

3

4 > 0 x

 (*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0





c Nhõn cả 2 vế của:

1

b c c a a b 

Bài 2

(4,5

điểm)

Biểu thức:

2 2

a Rỳt gọn được kq:

1 A

x 2





b

1 x 2

2

 

hoặc

1 x 2





4 A 3

 

hoặc

4 A 5



(1.0 )

x 2



Bài 3

a) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;

x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;

x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;

ĐKXĐ : x  4 ;x  5 ;x  6 ;x  7

Phơng trình trở thành :

18

1 ) 7 )(

6 (

1 )

6 )(

5 (

1 )

5 )(

4 (















x

18

1 7

1 6

1 6

1 5

1 5

1 4

1























x

1 7

1 4





x

18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0

Từ đó tìm đợc x=-13; x=2;

2,0

2010x 2680 A

x 1





2,0

2 2 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3

Bài 4

Gọi M là trung điểm của BH nên MN là đường trung bình của tam

giác BHC,do đó: MN // BC mà BC  AB nên MN  AB

Suy ra: M là trực tâm của tam giác ABN.Do đó AM  BN

Do tứ giá AMNI là hình bình hành nên IN // AM nên IN  BN

3,0

Bài 5

Từ B và D kẻ BB’ // MN, D D’ // MN

Ta có: = ; =

Do đó: + =

AB AD AP



Vì BOB' DOD g c g'( ) nên B’O = D’O

Do đó: AB’ + AD’ = 2.AO

AB AD AC

AM AN AP

3,0

ĐỀ 2 Bài 1

Cho biểu thức

:

R

x x

a) Rỳt gọn biểu thức

b) Tỡm giỏ trị của x để R = 0

c) Tỡm giỏ trị của x để R = 1

Bài 2

a) Cho x + y + z = 0 Chứng minh rằng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) b) Chứng minh rằng : n6 + n4 -2n2 chia hết cho 72 với mọi số nguyờn n

Bài 3

Tìm GTNN của P = x2 + y2 + xy + x + y

B i 4 à Cho tam giỏc ABC vuụng tại A và đường cao AH.Đường phõn giỏc goc BAH cắt BH tại E.Từ trung điểm M cảu AB kẻ ME cắt AH tại F

a) Chứng minh : Tam giỏc CAE cõn

b) Chứng minh CF // AE

GỢI í CÁCH GIẢI

Bài 1

a)

2 1

1

x

x



 b) Khụng cú giỏ trị x thỏa món c) x = -2

Bài 2

a) Vì x + y + z = 0 nên x + y = –z  (x + y)3 = –z3

Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3  3xyz = x3 + y3 + z3

Do đó : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2)

= x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2)

Mà x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (vì x + y = –z) Tơng tự :

y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx

Vì vậy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy)

= 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (đpcm)

b) Ta có: A= n6 + n4 -2n2 = n2(n4+n2 -2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2 +2)- (n2

+2)]

= n2(n2 + 2)(n2 – 1)

Ta lại có: 72 = 8.9 với (8,9) = 1

Xét các trờng hợp:

+ Với n = 2kA = (2k)2(2k + 1) (2k -1)(4k2 +2) = 8k2(2k + 1) (2k -1)(2k2 +1) 8 + Với n = 2k +1 A = (2k + 1)2(2k +1 – 1)2= (4k2 + 4k +1)4k2 8

Tơng tự xét các trờng hợp n = 3a, n= 3a  1 để chứng minh A9

Vậy A8.9 hay A72

B i 3.à

4P = 4x2  4y2  4xy 4x 4y ( 4x2 y2  1  4xy 4x 2y)  3y2  2y 1

3

4 3

4 3

1 3 ) 1 2

(

2









 







 x y y

Vậy GTNN của P = 3

4



Đạt đợc khi 3

1





 y x

Bài 4

a)

Ta cú: Eˆ 1 Aˆ 2 B CAE CAH Aˆ; ˆ  ˆ  ˆ 1

Mà CAHˆ B Aˆ; ˆ 1 Aˆ 2

Nờn CAE Eˆ  ˆ 1

Do đú: tam giỏc ACE cõn tại C b)Kẻ thờm đường phụ HK // AB

ta cú: BE BM AM AF 1

EH  HK  HK  HF

 2

BE AB AC CE

EH  AH CH CH

Từ 1 và 2

HF  HC

Suy ra: CF // AE