Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau... SỞ GD&ĐT NGHỆ AN.[r]
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
NĂM HỌC 2012- 2013
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (7,0 điểm).
a) Giải phương trình: ( x 1 1)(5 x) 2 x
b) Giải hệ phương trình:
2
2 2
2 2 2 0
Câu 2 (3,0 điểm).
Tìm các số tự nhiên xvàythoả mãn 2x 1 y2.
Câu 3 (2,0 điểm).
Cho ba số dương x y z, , thoả mãn
1 1 1
1
x y z Chứng minh rằng:
x yz y zx z xy xyz x y z
Câu 4 (6,0 điểm).
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm D khác A và
DAB 60 Trên đường kính AB lấy điểm C (C khác A, B) và kẻ CH vuông góc với
AD tại H Phân giác trong của góc DAB cắt đường tròn tại E và cắt CH tại F Đường thẳng DF cắt đường tròn tại điểm thứ hai N
a) Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn và ba điểm N, C, E thẳng hàng b) Cho AD = BC, chứng minh DN đi qua trung điểm của AC
Câu 5 (2,0 điểm).
Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng ba số bất kì trong chúng chia hết cho số còn lại Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau
- Hết
-Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của Giám thị 1: Chữ ký của Giám thị 2:
Đề thi chính thức
Trang 2SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
NĂM HỌC 2012- 2013
HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Hướng dẫn và biểu điểm này gồm có 3 trang)
a)
4,0 điểm
Với x 0, nhân 2 vế với x 1 1 0 ta được
0,5
x
0,5
2
7
18 45 0
x
0,5
7 3 15
x x x
0,5
b)
3,0 điểm
0,5
x y 22 0
2
y x
5 1 0
2
Vậy hệ có hai nghiệm ( ; )x y là
0,5
Trang 35 21 1 21 5 21 1 21
2x 1 y 2x y 1 2x y1 y 1 0,5
Đặt y 1 2 ,m y 1 2 ( , n m n;m n ). 0,5
2 2n m n 1 2
2 2
1; 2
n
0,5
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
a bc b ca c ab ab bc ca
với
0,5
Ta có: a bc a a b c( )bc
0,75
Tương tự: b ca b ca c ab c; ab. 0,25
Từ đó ta có đpcm Dấu bằng xảy ra khi x y z 3. 0,5
a)
4,0 điểm
D
B A
E
C
H
O
M
N F
Ta có :ACH ABD (so le trong) (1) 0,5
mà AND ABD (góc nội tiếp cùng chắn một cung) (2) 0,5
từ (1) và (2) suy ra AND ACH hay ANF ACF 0,5
Trang 4AFCN nội tiếp đường tròn CNF CAF hay CND BAE (3) 0,5 Mặt khác BAE DAE DNE (4) 0,5
b)
2,0 điểm
Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia DN tại M 0,25
Mà DAB DNB (góc nội tiếp cùng chắn một cung) 0,25
ACM DNB
CBM END; CMB ENB
CB = CM
AD = CM, AD//CM suy ra ADCM là hình bình hành đpcm 0,25
Gọi độ dài các cạnh của tứ giác là a, b, c, d (a, b, c, d *) Giả
sử không có 2 cạnh nào của tứ giác bằng nhau Không mất tính tổng quát, giả sử a > b > c > d (*)
0,5
Do tứ giác lồi nên a < b + c +d
a < b + c + d < 3a
2a < a + b + c + d < 4a
0,5
Từ giả thiết của bài toán suy ra a + b + c + d chia hết cho các số
a, b, c, d nên ta có : a + b + c + d = 3a (1) 0.25 Đặt a + b + c + d = mb với m * (2)
a + b + c + d = nc với n * (3)
0,25
Do a > b > c n > m > 3 n 5, m 4 0,25
Cộng (1), (2), (3) được 3(a + b + c + d) = 3a + mb + nc 3a +4b + 5c
(b – d) + 2(c – d) 0 , mâu thuẫn (*)
Tứ giác có ít nhất 2 cạnh bằng nhau
0,25
(Thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)