1 ham so bac nhat va bac hai ts lê hồng đức image marked

TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐĐịnh nghĩa: Điểm Ia; b là tâm đối xứng của đồ thị y = fx  với phép biến đổi toạ độ: hai điểm bất kỳ thuộc d ta sẽ có được đồ thị của d... Từ đồ thị hàm số

khi đó D gọi là tập xác định của hàm số

2 SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b).

1 Một hàm số y = f(x) gọi là tăng hay đồng biến trong khoảng (a, b) nếu với x1,

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

 Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn nếu với mọi xD ta có:

Định nghĩa 1: Đường thẳng x = a là trục đối xứng của đồ thị y = f(x)

 với phép biến đổi toạ độ:

5 TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Định nghĩa: Điểm I(a; b) là tâm đối xứng của đồ thị y = f(x)

 với phép biến đổi toạ độ:

hai điểm bất kỳ thuộc (d) ta sẽ có được đồ thị của (d)

 Nếu b = 0, đồ thị của (d) đi qua gốc toạ độ O và điểm A(1, a)

 Nếu b  0, đồ thị của (d) đi qua hai điểm B(0, b) và C( , 0).b

a

Hệ số góc: hệ số a được gọi là hệ số góc của đường thẳng (d).

 Chú ý: Cho hai đường thẳng (d1) và (d2):

y=ax+b y=ax

a<0

BC

1

b a

22

b x a

Như vậy, nếu gọi (P0): y = ax2 thì để có được đồ thị của parabol y = ax2 + bx + c

ta tịnh tiến hai lần như sau:

1 Tịnh tiến (P0) sang phải p đơn vị nếu p > 0, sang trái p đơn vị nếu p < 0, ta nhận được đồ thị hàm số y = a(x  p)2 gọi là (P1)

2 Tịnh tiến (P1) lên trên q đơn vị nếu q > 0, xuống dưới q đơn vị nếu q < 0,

 Hướng bề lõm lên trên nếu a > 0

 Hướng bề lõm xuống dưới nếu a < 0

Từ đồ thị hàm số bậc hai, ta suy ra bảng biến thiên:

o Hàm số đồng biến trên khoảng

b hàm số đạt cực tiểu

Vậy, ta có kết luận:

o Hàm số đồng biến trên khoảng (-;- )

2

b a

o Hàm số nghịch biến trên khoảng (- ; +)

2

b a

o Khi

x=-a 2

b hàm số đạt cực đại

 Lấy ba điểm chủ đạo, gồm đỉnh S và hai điểm A, B đối xứng với nhau qua S.

 Nối ASB để được một góc rồi thực hiện vẽ đường cong parabol lựon theo đường góc này

Ta có các trường hợp:

 Với a > 0 thỡ:

 Với a < 0 thỡ:

Nhận xét chung:

  > 0 Parabol cắt trục hoành tại hai điểm phõn biệt

  = 0 Parabol tiếp xỳc với trục hoành

  < 0 Parabol khụng cắt trục hoành

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN LIấN QUAN

(P)

-b/2a

-b/a -/4a

y

x

S O

y

x

S O

(P)

-b/2a

-b/a -/4a

y

x

S O

-b/2a

-b/a -/4a

 f(x) = 1 điều kiện là

2

( )( )





  

Vậy, tập xác định của hàm số là D = \{3, 1}

x x x





  

Vậy, tập xác định của hàm số là D = [1; 1][2; +)

 Chú ý: Trong câu a), nếu các em học sinh biến đổi hàm số về dạng y = 1

3

xrồi khẳng định hàm số xác định khi x + 3  0  x  3 và do đó tập

D = \{3} Đây là lời giải sai vì phép biến đổi hàm số không phải là phép biến đổi tương đương

víi x x

;2

 

x x





 

Vậy, ta được D = 

 Nhận xột: Như vậy, trong thớ dụ trờn:

 Ở cõu a), miờu tả điều kiện cú nghĩa của biểu thức trong dấu căn

Điều kiện cần: Bất phương trỡnh nghiệm đỳng với x[1; 3]

 Nghiệm đỳng với x = 1, x = 2

| 3 23 | 1

m m

3

m m

Vậy, với m = 8 là điều kiện cần để (1) nghiệm đỳng với x  [1; 3]

Điều kiện đủ: Với m = 8, ta cú:

(1)  2x2  8x + 7  1  1  2x2  8x + 7  1

2 2

Vậy, với m = 8 thoả món điều kiện đầu bài

Dạng toán 2: Xột sự biến thiờn của hàm số

Phương phỏp thực hiện

Ta lựa chọn một trong hai phương phỏp sau:

Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa

Phương pháp 2: Thực hiện theo cỏc bước:

Bước 1: Lấy x1, x2(a, b) với x1  x2 ta thiết lập tỉ số:

 Nếu A < 0 với mọi x1, x2(a, b) và x1  x2 thì hàm số nghịch biến trên (a, b).

ThÝ dô 1. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số:

 Nếu x1, x2 >  thì A > 0 suy ra hàm số đồng biến trên ( ; +).1

2

12

 Nếu x1, x2 <  thì A < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên (;  ).1

2

12

 Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến trên 

 Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến trên 

 Nếu x1, x2 >  thì A > 0 nên hàm số đồng biến trên ( 

2

b a

 + )

2

b a

 Nếu x1, x2 <  thì A < 0 nên hàm số nghịch biến trên

2

b a

(;  )

2

b a

b Với a < 0, ta có:

 Nếu x1, x2 >  thì A < 0 nên hàm số nghịch biến trên

2

b a

(  + )

2

b a

 Nếu x1, x2 <  thì A > 0 nên hàm số đồng biến trên

2

b a

(;  )

2

b a

ThÝ dô 2 Khảo sát sự biến thiên của các hàm số:

x x

= [(x1 1 + x2)2 +6(x1 + x2) + 9] + ( ) +

2

12

2 = [(x1 1 + x2) + 3]2 + ( ) + > 0, x

2

12

2Vậy, hàm số đồng biến trên 

ThÝ dô 3 Khảo sát sự biến thiên của các hàm số:

a y = f(x) = 2 1 b y = f(x) =

x x

33x1 < 3x2  3x1  1 < 3x2  1  3(3x1  1) < 3(3x2  1)

1

53(3x 1) 2

53(3x 1)

2

53(3x 1)

2

53(3x 1)

x

 

Với x1, x2  \{1} và ở về cùng một phía so với 1, ta có: 

Vậy, hàm số luôn đồng biến trên \{1}

ThÝ dô 4 Khảo sát sự biến thiên của các hàm số:

 Nếu x1, x2 > 0 thì A > 0 suy ra hàm số đồng biến trên (0; +).

 Nếu x1, x2 < 0 thì A < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên (; 0)

 Nếu x1, x2 > 1 thì A > 0 suy ra hàm số đồng biến trên (1; +)

 Nếu x1, x2 < 1 thì A < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên (; 1)

b Để hàm số đồng biến trên (2; +) điều kiện là:

A > 0 với mọi x1, x2(2; +) và x1  x2  2a > 0  a < 0

Vậy, với a < 0 thoả mãn điều kiện đầu bài

 Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ

ThÝ dô 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a y = f(x) = 2 1 b y = f(x) =

1

x x

c Tập xác định D = \{0}  là tập đối xứng Xét:

2( x) 1

  

Vậy, với m = 1 thoả mãn điều kiện đề bài

 Chú ý: Với hàm đa thức bậc n dạng: y = f(x) = thì:

0

n i i i

ThÝ dô 4 Cho hàm số y = f(x) = 12 Tuỳ theo m hãy xét tính

f(x) = 12 = = f(x),

(x) 1 2

11

x 

do đó, nó là hàm chẵn

Trường hợp 2: Với m = 1, ta được:

y = 1

1

xHàm số này xác định trên D = \{1} là tập không đối xứng do đó hàm số không chẵn, không lẻ

 Ngoài ra nó không chẵn, không lẻ

ThÝ dô 5 Cho a, b  , xác định tất cả các hàm số f(x) sao cho:

Sử dụng kết quả: Trong mặt phẳng toạ độ, cho (G) là đồ thị của hàm số y = f(x),

p và q là hai số tuỳ ý Khi đó:

1 Đồ thị hàm số y = f(x) + q có được khi tịnh tiến (G)

 Lên trên q đơn vị nếu q > 0.

 Xuống dưới q đơn vị nếu q < 0.

2 Đồ thị hàm số y = f(x  p) có được khi tịnh tiến (G)

 Sang phải p đơn vị nếu p > 0.

 Sang trái p đơn vị nếu p < 0.

ThÝ dô 1. Cho (H): y = Hỏi muốn có đồ thị hàm số y = 2 thì phải tịnh

x

2 3x x

Vậy, muốn có đồ thị của hàm số này ta cần tịnh tiến (H) xuống dưới 3 đơn vị

ThÝ dô 2 Hãy lựa chọn phép tịnh tiến song song với trục Oy để nhận được đồ thị

hàm số y = từ đồ thị (H): y =

2

x x

 Chú ý: Các em học sinh hẳn sẽ thắc mắc về lí do xác định được phép biểu

diễn trên cho hàm số y = , để trả lời câu hỏi này thông thường chúng ta lựa

2

x x



chọn cách trình bày, giả sử:

y = = f(x) + b

2

x x

y = 2 7 = f(x)  2

2

x x

1 Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = f(x) nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng, ta thực hiện theo cỏc bước sau:

Bước 1: Với phộp biến đổi toạ độ

Bước 2: Nhận xột rằng hàm số (1) là hàm số chẵn

Bước 3: Vậy, đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng

2 Tỡm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y = f(x) nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng, ta thực hiện theo cỏc bước sau:

Bước 1: Với phộp biến đổi toạ độ

Bước 2: Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng

 hàm số (1) là hàm số chẵn  tham số

Bước 3: Kết luận

3 Tỡm phương trỡnh đường cong đối xứng với (C): y = f(x) qua đường thẳng y = a,

ta thực hiện theo cỏc bước sau:

Bước 1: Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C): y = f(x) qua đường y = a

Bước 2: Khi đú, với mỗi M(x, y)(H)

 M1(x1; y1)(C) sao cho M đối xứng với M1 qua đường thẳng y = a

  x1, y1 thoả món:

(I)

1 1

Bước 3: Khử x1, y1 từ hệ (I) ta được phương trỡnh của đường cong (H)

Thí dụ 1. Tỡm trục đối xứng của đồ cỏc thị hàm số:

Y = (X + a)2 + 4(X + a) + 3 là hàm số chẵn.

Ta có:

Y = (X + a)2 + 4(X + a) + 3 = X2 + 2(a + 2)X + a2 + 4a + 3 (1)Hàm số (1) là hàm số chẵn

Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy là x = a (a  0)

Khi đó, với phép biến đổi toạ độ:

Y = (X + a)4 + 4m(X + a)3 – 2(m–1)(X + a)2 – 2m(X + a) + 1 là chẵn

Ta có:

Y = (X + a)4 + 4m(X + a)3 – 2(m – 1)(X + a)2 – 2m(X + a) + 1

= X4 + (4a + 4m)X3 + (6a2 + 12ma – 2m + 2)X2 +

+ (4a3 + 12ma2 – 4ma + 4a – 2m)X +

+ a4 + 4ma2–2(m–1)a2–2ma + 1 (1)Hàm số (1) chẵn:

Bước 2: Nhận xột rằng hàm số (1) là hàm số lẻ.

Bước 3: Vậy, đồ thị hàm số nhận điểm I(a, b) làm tõm đối xứng

2 Tỡm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y = f(x) nhận điểm I(a, b) làm tõm đối xứng, ta thực hiện theo cỏc bước sau:

Bước 1: Thực hiện phộp biến đổi toạ độ

Bước 1: Lấy hai điểm A(xA, y(xA)) và B(xB, y(xB)) thuộc đồ thị hàm số

Bước 2: Hai điểm A và B đối xứng qua điểm I(a, b)

Bước 1: Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C) qua điểm I(x0, y0)

Bước 2: Khi đú, với mỗi M(x, y)(H)

 M1(x1, y1)(C) sao cho M đối xứng với M1 qua I

  x1, y1 thoả món:

Bước 3: Khử x1, y1 từ hệ (I) ta được phương trỡnh của đường cong (H).

Thí dụ 1. Tỡm tõm đối xứng của đồ thị cỏc hàm số sau:

a Giả sử hàm số nhận điểm I(a, b) làm tõm đối xứng

Với phộp biến đổi toạ độ:

Vậy, hàm số cú tõm đối xứng I(0; 3)

b Viết lại hàm số dưới dạng:

2 2(2 x 1)

Giả sử hàm số nhận điểm I(a; b) làm tõm đối xứng

Với phộp biến đổi toạ độ:

b a

b a

Vậy, hàm số có tâm đối xứng I( ; ).1

2

12

a c

e d

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân

biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ.

  



 

Vậy, với < m  hoặc m < 0 thoả mãn điều kiện đầu bài.1

2

43

D¹ng to¸n 7: Tìm phương trình đường cong đối xứng

ThÝ dô 1. Tìm phương trình đường cong đối xứng với đồ thị hàm số (C) qua

đường thẳng y = 1, biết:

a (C): y = 2x + 3 b (C): y = 1

1

x x





 Giải

a Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C) qua đường thẳng y = 1

Khi đó, với mỗi M(x; y)(H)

 M1(x1; y1)(C) với y1 = 2x1 + 3 (1)sao cho M đối xứng với M1 qua đường thẳng y = 1   x1, y1 thoả mãn:

y = – 2x – 1

Vậy, đường cong (H) có phương trình: y = – 2x – 1

b Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C) qua đường thẳng y = 1

Khi đó, với mỗi M(x; y)(H)

 M1(x1; y1)  (C) với y1 = 1 (1)

1

11

x x



sao cho M đối xứng với M1 qua đường thẳng y = 1   x1, y1 thoả mãn:

x x





Tìm phương trình đường cong đối xứng với đồ thị (C) qua điểm I(1; 1).

 Giải

Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C) qua điểm I(1; 1)

Khi đó, với mỗi M(x; y)(H)

 M1(x1, y1)(C) với y1 =

2 1 1

( 1)2

x x



(1)

sao cho M đối xứng với M1 qua điểm I(1; 1)   x1, y1 thoả mãn:

1

1

22

22

c Trong OAB, ta có ABO = , suy ra:

 y > 0  x < 3, ứng với phhần đồ thị phía trên trục Ox

 y  0  x  3, ứng với phhần đồ thị phía dưới trục Ox

 Tia Ot trùng với đồ thị hàm số y = 2x với x  0

 Tia Ot' trùng với đồ thị hàm số y = x với x < 0.1

2

b Đồ thị gồm hai tia:

 Tia A1B đi qua hai điểm A(1; 2) và B(2; 3)

 Tia A2B đi qua hai điểm A(0; 4) và B(2; 3)

ThÝ dô 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:

y = |x1|

I

1

a Tìm m để hàm số là đồng biến, nghịch biến, không đổi.

b Chứng tỏ rằng khi m thay đổi (Cm) luôn đi qua 1 điểm cố định.

x y

 



  

Vậy, đồ thị hàm số luôn đi qua điểm cố định M(–2 ; –1)

ThÝ dô 5 Cho họ đường thẳng (dm) có phương trình:

(dm): (m  1)x + (2m  3)y  m  1 = 0

1 Xác định m để:

a (dm) đi qua A(2, 1).

b (dm) có hướng đi lên.

c (dm)//Ox

d (dm) vuông góc với đường thẳng (1): 3x + 2y  100 = 0

e (dm) song song với đường thẳng (2): x  2y + 12 = 0

2 Tìm điểm cố định mà họ (dm) luôn đi qua.

2 Giả sử đồ thị hàm số luôn đi qua điểm M(x0 ; y0), ta có:

52

x y





  

Vậy, đường thẳng (dm) luôn đi qua điểm cố định M(5 ; – 2)

ThÝ dô 6 Cho hai hàm số f(x) = (m2 + 1)x  4 và g(x) = mx + 2, với m  0

ThÝ dô 7 Cho hàm số y = f(x) = ax + b, với a  0.

a Chứng minh rằng với một giá trị x0 tuỳ ý cho trước, bao giờ cũng

tìm được hai số m và n sao cho f(m) < f(x0) < f(n)

b Chứng minh rằng hàm số bậc nhất không có giá trị lớn nhất và nhỏ

Trường hợp 2: Với a < 0, khi đó hàm số nghịch biến, do đó:

Theo kết quả câu a), luôn tìm được hai số m và n sao cho:

f(x1) < f(n)  f(x1) không phải là giá trị lớn nhất

f(x2) > f(m)  f(x2) không phải là giá trị nhỏ nhất

ThÝ dô 8 Cho hàm số y = f(x) = ax, với a  0

a Chứng minh rằng f(kx1) = kf(x1) và f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)

b Các hệ thức trong câu a) còn đúng với hàm số:

y = g(x) = ax + b, với b  0 hay không ?

Thực hiện theo các bước:

ThÝ dô 1. Viết phương trình y = ax + b của các đường thẳng:

a Đi qua hai điểm A(4, 3) và B(2, 1).

b Đi qua điểm A(1, 1) và song song với Ox.

 Giải

a Ta có:

A(4, 3)  (d): y = ax + b  3 = 4a + b (1)

B(2, 1)  : y = ax + b  1 = 2a + b (2)

Giải hệ phương trình tạo bởi (1) và (2) ta được a = 2 và b = 5

Vậy, phương trình đường thẳng (d) có dạng: y = 2x  5

b Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1, 1) và song song với trục hoành nên có phương trình: y = 1

ThÝ dô 2 Cho hàm số y = ax  3a

a Xác định giá trị của a để đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 4) Vẽ đồ

thị hàm số với a vừa tìm được.

b Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng tìm được trong a).

 Giải

a Đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 4) khi và chỉ khi:

4 = a.0  3a  3a = 4  a =  4

3Vậy, hàm số có dạng y =  x + 4.4

3

Để vẽ đồ thị hàm số ta lấy thêm điểm B(3; 0)

b Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng

Trong OAB vuông tại O, ta có:

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

b Từ đó lựa chọn phép tịnh tiến song song với trục Ox để nhận được

Do đó, đồ thị của hàm số được suy ra bằng phép tịnh tiến theo Ox đồ thị hàm số

y = f(x) sang trái 2 đơn vị

c Vì số nghiệm của mỗi phương trình đúng bằng số giao điểm của đường thẳng y = m với

đồ thị của các hàm số y = x2  4x + 2 và y = x2  2, do đó chúng đều có cùng số nghiệm

ThÝ dô 2 Cho hai hàm số (P1) và (P2), biết:

O

y=x 2 4x+2 y=x 2 2

2

2

x x





 

Khi đó, toạ độ các giao điểm là:

b Viết phương trình đường thẳng đi qua đỉnh của (P0) và giao điểm

của (P0) với Oy.

c Xác định m để (Pm) là Parabol Tìm quĩ tích đỉnh của Parabol

(Pm) khi m thay đổi.

d Chứng tỏ rằng (Pm) luôn đi qua một điểm cố định, tìm toạ độ điểm

(d)

A B

C -3 1

y

x

S1O

(P1)4

-5

3 S2

(P2)

b Giả sử phương trình đường thẳng (d) có dạng:





41

m x m y m

1

y y y y

 

 

Vậy, quĩ tích đỉnh Sm là đường thẳng (): 2x + y  2 = 0

d Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định mà (Pm) luôn đi qua, khi đó:

10

x y





 

Vậy, họ (Pm) luôn đi qua điểm cố định M(1; 0)

ThÝ dô 4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = |x  1|(x + 3)





y=x  1(x + 3)

B

Dạng toán 4: Hàm số dạng y = ax 2 + bx + c, với a  0

Phương phỏp thực hiện

Thực hiện theo cỏc bước:

Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số (P): y = ax2 + bx + c, với a  0

Bước 2: Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c gồm hai phần:

 Phần từ trục hoành trở lờn của đồ thị (P)

 Đối xứng phần đồ thị phớa dưới trục hoành của (P) qua trục hoành

Bước 3: Dựa vào đồ thị ta lập được bảng biến thiờn của hàm số y = ax2 + bx +

c

Thí dụ 1. Cho hàm số (P): y = x2 + 2x  3

a Khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số.

b Dựa vào đồ thị vừa vẽ trờn, tuỳ theo giỏ trị của m, hóy cho biết số

nghiệm của phương trỡnh |x2 + 2x  3| = m

Đồ thị: ta lấy thờm hai điểm trờn đồ thị là A(3; 0), B(1; 0)

b Số nghiệm của phương trỡnh bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = |x2 + 2x  3| (phần đường đậm) và đường thẳng (d): y = m, ta được:

 Với m < 0, phương trỡnh vụ nghiệm

 Với m = 0, phương trỡnh cú hai nghiệm x = 1 và x = 3

 Với 0 < m < 4, phương trỡnh cú bốn nghiệm phõn biệt

 Với m = 4, phương trỡnh cú ba nghiệm phõn biệt

 Với m > 4, phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt

Dạng toán 5: Lập phương trỡnh Parabol

Phương phỏp thực hiện

Thực hiện theo cỏc bước:

Bước 1: Giả sử Parabol (P): y= ax2 + bx + c, với a  0

Bước 2: Dựa vào điều kiện K để xỏc định a, b, c