Bài giảng số 1: Hàm số bậc hai và đồ thị

Xác định toạ độ của M, N và tính diện tích tứ giác MHKN.[r]

BÀI GIẢNG SỐ 01: HÀM SỐ BẬC HAI

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Tính chất của hàm số 2

ax ( 0)

y a

Nếu a > 0 thì hàm số 2

ax

y  nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0 Nếu a < 0 thì hàm số 2

ax

y  đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm hàm số bậc hai

Ví dụ 1: Xác định hệ số a của hàm số 2

ax

y  để đồ thị (P) của hàm số đi qua điểm

a A(-2; 4) b 1;1

2

B 

 

Giải:

a Đồ thị (P): 2

ax

y  đi qua A(-2; 4) 2

4 a( 2) 4a a 1

Vậy 2

yx

b Đồ thị (P): 2

ax

y  đi qua 1;1

2

B 

 

2

.1

Vậy 1 2

2

y x

Dạng 2: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc hai

ax

y  (P) a) Xác định hệ số a biết rằng đồ thị của nó cắt đường thẳng d: y = -2x + 3 tại điểm A có hoành

độ bằng 1

b) Vẽ đồ thị của hàm số y = - 2x + 3 và của hàm số với giá trị a vừa tìm được trong câu a) trên cùng một mặt phẳng tọa độ

c) Nhờ đồ thị xác định tọa độ giao điểm thứ hai của hai đồ thị vừa vẽ trong câu b)

Giải:

a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là

2

ax  2x3 (1)

Vì đường thẳng d cắt (P) tại điểm A có hoành độ bằng 1 nên x = 1 phải là nghiệm của phương trình (1)

Vậy (P) có dạng: 2

yx

12

10

8

6

4

2

-2

-4

c) Giao điểm thứ hai B  3;9

Dạng 3: Tìm điểm trên Parabol thỏa mãn điều kiện cho trước

ax

y  có đồ thị (P)

a Tìm a biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm M (-1; -2)

Giải:

Vậy y = - 2x2

Vậy có hai điểm trên (P) có tung độ bằng -4 là: A( 2; 4),  A'(  2; 4) 

P : yx

a) Tìm trên (P) hai điểm M, N sao cho tam giác OMN đều Đs:  3 3;  ,  3 3; 

b) Tìm trên (P) hai điểm P, Q sao cho tam giác OPQ cân tại O và có diện tích bằng 8

Đs: 2 4;  , 2 4; 

Giải:

a) Gọi M a b N( ; ), (a b; )( )P (a b , 0) Khi đó tam giác OMN cân tại O

Phương trình đường thẳng OM: x y y b x

a  b  a  hệ số góc của OM là b

a

Phương trình đường thẳng ON: x y y b x



a



Để tam giác OMN đều thì góc giữa hai đường thẳng OM và ON bằng 0

60

2 2 0

2

2

1

b b

a a

a







2 2

2ab 3 a b

Vì M N, ( )P nên 2

ba Thay vào (1) ta có

3b 10b 3b 0b (3b 10b3)0











Vậy M 3;3 , N  3;3hoặc 1 ;1 , 1 ;1

M  N 

b) P m n Q( ; ), (m n; )( )P 2

n m

  (1) Khi đó tam giác OPQ cân tại O Gọi H PQOyOH n, PQ = 2m

2

OPQ

S   OH PQ n m mn (2)

Thay (1) vào (2) ta có: 3

m  m n 4

Vậy P(2; 4),Q ( 2; 4)

Bài tập:

ax

y  để đồ thị (P) của hàm số đi qua điểm

a A   2; 16 b B  4; 4

4

y  x b) 1 2

4

y  x

Bài 2: Cho hàm số:

a) Biết điểm A(-2; b) thuộc đò thị, hãy tính b Điểm A’(2;b) có thuộc đồ thị hàm số không? Vì sao?

b) Biết điểm C(c, 6) thuộc đồ thị, hãy tính c Điểm D(c; -6) có thuộc đồ thị không ? Vì sao?

ĐS: a) A( )P b) D( )P

0, 2

y x và yx

a) Vẽ đồ thị của những hàm trên trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b) Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị

Bài 4: Cho hàm số 3 2

4

y x

a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm trên đồ thị điểm A có hoành độ bằng – 2 Bằng đồ thị, tìm tung độ của A

c) Tìm trên đồ thị các điểm có tung độ bằng 4

ĐS: b) A3; 2   c) 4;4 3 , ' 4; 4 3

B  B   

2

P : y x

Vẽ parabol (P) và tìm trên (P) các điểm cách đều hai trục toạ độ

Đs: 1 1 1 1

M ; ,N ; 

P : y ax a) Tìm a để (P) đi qua điểm M 4 4; .

b) Lấy điểm A0 3;  và điểm B trên   1 2

4

P : y x Tìm độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng AB

2

d : y  x trên cùng một hệ trục toạ độ

d) Gọi M và N là hai giao điểm của (P) và d; H, K lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục Ox Xác định toạ độ của M, N và tính diện tích tứ giác MHKN

Đs: a 1

4

a  b AB min 2 2 B2 1;  hoặc B 2 1;  d S MHKN 15