UBND HUYỆN HÒA BÌNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Đề gồm 01 trang.. Chứng minh rằng:.[r]
Trang 1UBND HUYỆN HÒA BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2016-2017
MÔN: TOÁN LỚP 9
(Đề gồm 01 trang) Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ
Câu 1 (5.0 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta đều có a3 5a là số nguyên chia hết cho 6
b) Tìm số tự nhiên n sao cho n + 24 và n – 65 là hai số chính phương
Câu 2 (5.0 điểm)
a) Giải phương trình sau:
3x 8 6 3x 1 3x 8 6 3x 1 3 x 4 b) Giải hệ phương trình sau:
2 2 2 2
7 21
x y z
Câu 3 (5.0 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15
b) Cho a > 1, b > 1, c > 1 Chứng minh rằng: 1 1 1 6
a b c
Câu 4 (5.0 điểm)
Cho đường tròn (O; R), đường kính BC A là một điểm trên đường tròn (A khác B và C) Hai tiếp tuyến vẽ từ A và B cắt nhau tại P Gọi H là hình chiếu của A lên BC, E là giao điểm của PC và AH
a) Chứng minh E là trung điểm của AH
b) Tính AH theo R và khoảng cách PO = d
HẾT
Trang 2-UBND HUYỆN HÒA BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2016-2017
MÔN: TOÁN LỚP 9
(HDC gồm 03 trang) Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1 (5.0 điểm)
a) Ta có a3 5aa3 a 6aa 1 a a 1 6a
(0.5đ)
Do a – 1, a , a + 1 là ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3 (0.5đ)
Mà 2;3 1 nên a1 a a 1 6 (0.5đ) Mặt khác, ta có 6a 6 (0.5đ) Vậy 3
6 6
(0.5đ)
b) Ta có:
¿
¿ {
¿
(0.5đ)
2 2
24 65
n k
n h
2 2
⇔(k − h) (k +h) =89=1 89 (0.5đ)
89 1
k h
k h
45 44
k h
Câu 2 (5.0 điểm)
a) 3x 8 6 3x1 3x 8 6 3x1 3 x4
( 3x 1 3) 2 ( 3x 1 3) 2 3x 4 (ĐK:
1 3
x
) (0.5đ)
3x 1 3 3x 1 3 3 x 4 ( )I
(0.25đ) +) 3x 1 3 0
10 3
x
(0.25đ)
(I) 2 3x 1 3 x 4 (
10 3
x
9x2 12x 20 0
Trang 3 (3x 2)2 16 0 (vô nghiệm) (0.25đ) +) 3x 1 3 0
2 3
x
Vậy nghiệm của phương trình là
2 3
x
(0.25đ)
b)
2 2 2
2
7 21
x y z
(I)
+z2= (7 − y)2− 2 xz (*) (0.5đ) Mà: x2+y2+z2=21⇒ x2
+z2=21− y2 (0.25đ) zx= y2
Nên PT (*) ⇔21 − y2
=(7 − y )2− 2 xz=(7 − y )2− 2 y2 (0.25đ) ⇔21 − y2
=49 −14 y − y2 (0.25đ)
⇔14 y=28
⇔ y =2
(0.25đ)
Thay y = 2 vào hệ (I) ta có hệ sau:
¿
x+z =5
xz=4
¿ {
¿
(0.5đ)
Giải hệ trên ta được x=1 , z =4 hoặc x=4 , z =1
(0.25đ)
Vậy hệ PT có nghiệm là: (1;2;4) , (4;2;1) (0.25đ)
Câu 3 (5.0 điểm)
Ta có: C = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15
= x2 + 2(2 – y)x + (4 – 4y + y2) + (y2 + 2y + 1) + 10 (0.5đ) =
x2 + 2(2 – y)x + (2 – y)2 + (y + 1)2 + 10 (0.5đ) = (x + 2 – y)2 + (y + 1)2 + 10 10 với mọi x, y (0.5đ)
Dấu “=” xảy ra
ïï
íï + =
ì = -ïï
íï =
Vậy minC = 10 khi x = – 3, y = – 1 (0.25đ) b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a – 1 và 1, ta được:
(a 1) 1 2 (a 1).1 1
2
a a
Do đó: 1 2
a
Chứng minh tương tự, ta được:
Trang 42 1
b
và 1 2
c
Từ (1), (2) và (3) suy ra: 1 1 1 6
a b c (0.25đ) Dấu “=” xảy ra a = b = c = 2 (0.25đ)
Câu 4 (5.0 điểm)
a) Ta có: AH // PB ( Vì AH và PB cùng vuông góc với BC)
EH CB CH PB (1) (0.5đ) AC// PO ( Vì AC và PO cùng vuông góc với AB) (0.25đ) Nên AHC PBO (g.g)
AH BO PB CH (2) (0.5đ)
Từ (1), (2) suy ra EH.CB = AH.BO (0.25đ)
Mà CB = 2BO nên AH = 2 EH (0.5đ) Vậy E là trung điểm của AH (0.25đ)
b) Ta có: AH2 HB HC. = 2R HC HC . (0.5đ)
.
EH CB HC
PB
) (0.25đ) =
R
( AH = 2EH c/m ở câu a) (0.25đ) 4PB AH2. 2 4 R PB AH R AH R .2 . .2 (0.25đ) 4PB AH2. 2 8 R PB AH2 4 R AH2 2 (0.25đ) PB AH2 2 R PB R AH2 2. (0.25đ) 2 2 2
(0.25đ)
Mà PB2 d2 R2 (0.25đ)
E
P
A
B
Trang 5
2
2 2 2
2
R
d
(0.25đ)
* Ghi chú: Học sinh giải cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa của ý đó.
HẾT