Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: BC2 = NB.BF a2 = NB.DE đpcm Áp dụng đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên... Do DA = DC nên DM là đường trung trực của AC.[r]
Trang 1UBND HUYỆN HÒA BÌNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
(Đề thi gồm có 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
NĂM HỌC 2017 -2018 MÔN : TOÁN
LỚP : 9 Thời gian : 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ Câu 1: (5 điểm)
a) Chứng minh: n3 2013n2 2n chia hết cho 6 với mọi số dương n
b)Tìm số tự nhiên n sao cho A n 2 10n136 có giá trị là số chính phương
Câu 2: ( 5 điểm )
a) Giải phương trình x 2 + 10 x = x2 12x 40
b) Giải hệ phương trình sau: 2
1 1 1
2
4
Câu 3: ( 5 điểm )
a) Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
y z z x x y
b) Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 3 Chứng minh rằng: 2 2 2
3
Câu 4: ( 5 điểm )
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E là giao điểm của CN và DA Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F Lấy M là trung điểm của EF
a) Chứng minh: CM vuông góc với EF
b) Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng
c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2UBND HUYỆN HÒA BÌNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
(Hướng dẫn chấm gờm 04 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
NĂM HỌC 2017 -2018 MƠN : TỐN
LỚP : 9 Thời gian : 150 phút
HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1:( 5,0 điểm)
a) (2,5 điểm)
Ta cĩ
2
n 2013n 2n n 3n 2n 2010n (0,5đ)
=n n 3n 2 2010n (0,5đ)
=n n+1 n 2 2010n
2
(0,5đ)
n n+1 n 2 6 (0,25đ)
Vì:
2010n 6
2
(0,25đ) Nên : n n+1 n 2 2010n 6 (0,25đ)
Vậy: n 2013n 2n chia hết cho 6 với mọi số dương n (0,25đ)
b) ( 2,5 điểm)
Vì n N, A là số chính phương nên:
n 10n 136 k (0,25đ)
n+5 111 k
2 2
(0,25đ)
k n+5 111 3.37 1.111 (0,25đ)
Do: k+n+5>k-n-5>0 nên ta có hai hệ phương trình
k n 5 3
(I) (0,25đ)
k n 5 37
k n 5 1 hoặc(II)
Trang 3
k=20 (Giải hệ pt (I) tìm được (0,5đ)
n=12
k=56 Giải hệ phương trình (II) tìm được (0,5đ)
n=50
Vậy n 12;50 thì A là số chính phương (0,25đ)
Câu 2: ( 5 điểm )
a) (2,5 điểm)
Giải phương trình x 2 + 10 x = x2 12x 40
ĐK: 2x 10 (0,25đ)
Ta cĩ :
Vế phải: x2 12x 40 = (x2 12x 36)+4 = (x - 6)2 +4 4 (1) (0,5đ)
Vế trái: áp dụng BĐT Cauchy cho hai số khơng âm ta cĩ:
2
x + 10 x =
2
x
+
2
x
2 4 4
x
+
4
x
= 4 (2) (1,0đ)
Từ (1) và (2) dấu bằng xảy ra khi
6
2 4
x x x
(0,5đ)
Vậy phương trình cĩ nghiệm là x = 6 (0,25đ)
a) (2,5 điểm)
b) Giải hệ phương trình sau: 2
1 1 1
2
4
ĐK : x,y,z 0 (0,25đ)
xyz x y z xyxzyz (0,5đ) Thay vào pt thứ hai của hệ ta được : 2
x y z xyxz yz (0,5đ) 2 2 2
0
x y z xz yz (0,25đ)
0
(0,25đ)
2 2
0
(0,5đ)
Trang 4
¿
1
x+
1
z=0
1
y+
1
z=0
⇔ x= y =− z
¿ {
¿
1 (0,5đ)
Thay vào hệ đã cho ta được (x ; y; z) =
; ;
(0,25đ)
Câu 3: ( 5 điểm )
a) Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương
2
x
y z và 4
y z
ta có:
2
x
(0,5đ)
Tương tự ta có:
y
z x
(0,5đ)
z
x y
(0,5đ)
Suy ra:
4
x y z
1 2
(0,25đ) Vậy A đạt GTNN là 1 khi
2 3
x y z
(0,25đ) b) Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
1
Tương tự ta có: 2
1
1
b c
(0,5đ) 2
1
1
c a
(0,5đ) Cộng ba đẩng thức trên vế theo vế ta được:
3
3
a b c
(0,75đ)
Dấu”=” xảy ra khi a = b = c = 1 (0,25đ)
Trang 5Câu 4: ( 5 điểm )
Vẽ hình đúng ( 0,25đ)
M
F E
C
B A
D
N
a) Chứng minh CM vuông góc với EF (1,25đ)
Ta có: ECD BCF (cùng phụ với ECB) (0,25đ)
CE = CF
Mà CM là đường trung tuyến nên cũng là đường cao CM EF (0,25đ)
b) Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng (1,5đ)
Vì EDC = FBC (câu a) ED = FB (0,25đ)
NCF vuông tại C Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
Áp dụng đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên
EF 2
CM
,
EF 2
AM
Trang 6 CM = AM (0,5đ)
Do DA = DC nên DM là đường trung trực của AC (0,25đ)
Vì ABCD là hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực của AC (0,25đ)
B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của AC (đpcm) (0,25đ)
c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD (2,0đ)
SACFE = SACF + SAEF = 1AF AE CB
1
(AB BF) AE AD
2
(0,25đ) SACFE = 3.SABCD
1
2
(0,25đ)
(2a x)(3a x) 0
(0,25đ)
Do x > 0; a > 0 3a + x > 0 2a x 0 x = 2a
N là trung điểm của AB
Vậy với N là trung điểm của AB thì SACFE = 3.SABCD (0,25đ)
-Hết -Chú ý: Học sinh giải cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa của ý đó