CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình

CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình

CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

IV Dạng 4: Phương trình

1 Phương trình bậc nhất một ẩn

A Bài toán

Bài 1: Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC, đoạn nằm ngang CD, đoạn xuống dốc

DB , tổng cộng dài 30 km Một người đi từ A đến B rồi đi từ B về A hết tất cả 4 giờ 25 phút.Tính quãng đường nằm ngang, biết rằng vận tốc lên dốc ( cả đi lẫn về) là 10km h ; vận tốc xuống/dốc (cả đi lẫn về ) là 20km h ; vận tốc trên đoạn đường nằm ngang 15/ km h /

B Lời giải

Bài 1: Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC, đoạn nằm ngang CD, đoạn xuống dốc

DB , tổng cộng dài 30 km Một người đi từ A đến B rồi đi từ B về A hết tất cả 4 giờ 25 phút.Tính quãng đường nằm ngang, biết rằng vận tốc lên dốc ( cả đi lẫn về) là 10km h ; vận tốc xuống/dốc (cả đi lẫn về ) là 20km h ; vận tốc trên đoạn đường nằm ngang 15/ km h /

Gọi vận tốc lên, vận tốc ngang, xuống lần lượt là v v v 1; ;2 3

Thời gian đi và về là: 4 25 53

 

s km

Vậy quãng đường ngang CD là 5 km  

2 Phương trình bậc hai và định lí Vi-et

A Bài toán

Bài 1: Cho phương trình: 2

2013x (m2014)x2015 0 , với m là tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm x ; 1 x thỏa mãn 2 2 2

Bài 3: Cho phương trình: x22a b x  4ab (0 x là ẩn số; ,a b là tham số) Tìm điều kiện của

a và b để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt trong đó có ít nhất một nghiệm dương.

Bài 4: Cho phương trình: x2 2m2x m 2  , với 0 m là tham số Tìm m để phương trình có

hai nghiệm phân biệt x ; 1 x thỏa mãn 2 x1x2; x1  x2  6

Bài 5: Cho phương trình x42m4 x2m2  8 0  1 với m là tham số.

1) Giải phương trình  1 khi m0.2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình  1 có 4 nghiệm phân biệt x ; 1 x ; 2 x ; 3 x thỏa4

mãn điều kiện 4 4 4 4

x x x x 

Bài 6: Cho phương trình (ẩn x): x23m1 x2m25m  Tìm giá trị của 2 0 m để phương

trình có hai nghiệm phân biệt x và 1 x thỏa mãn 2 x1x2 2 x1x2 .

Bài 7: Tìm m để phương trình: x2 x3 x4 x5  có 4 nghiệm phân biệt.m

Bài 8: Giải phương trình: 3 x3 8 2x23x10

Bài 9: Cho phương trình x2(m21)x m  2 0(1), m là tham số Tìm m để phương trình (1)

có hai nghiệm phân biệt x , 1 x thỏa mãn 2 1 2

Bài 10: Cho phương trìnhx22 2 m3x m 2  , với 0 m là tham số Tìm tất cả các giá trị của m

để phương trình có hai nghiệm x , 1 x khác 2 0, (chúng có thể trùng nhau) và biểu thức

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn x13x2326m

b) Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên.

Bài 12: Cho phương trình: x2  2 mx  2 m   1 0

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm.

b) Gọi x x1, 2 là các nghiệm của phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Chứng minh rằng phương trình x2 mx  n x  2 nx  m  luôn có nghiệm0

Bài 15: Do bị bệnh bại não nên tay chân của Cảnh (11 tuổi, bản Tà Ọt, xã Châu Hạnh, huyện

Quỳnh Châu, tỉnh Nghệ An) bị co quắp, không đi lại được từ lúc mới chào đời Lên 6 tuổi, nhìn bạn

bè cắp sách đến trường em cũng muốn mẹ cho đi học Thương con ham học, những ngày đầu Cảnhđược người thân cõng đến trường Ít ngày sau, chứng kiến cảnh người thân của bạn phải vất vả bỏ

bê công việc, Khanh đã quyết định cõng bạn vượt qua con đường dài 1,8 km nhiều sỏi đá để tớitrường

Lúc về, trên quãng đường dài 1,8 km, trời nắng, Khanh cõng bạn với vận tốc ít hơn lúc đi 0,2 m/s

Do đó, thời gian cõng bạn lúc về của Khanh chậm hơn lúc đi là 12 phút 30 giây Tính vận tốc lúc

cõng bạn đi của Khanh.

Bài 16: Giả sử x x1, 2là hai nghiệm của phương trình x22kx 4 0( k là tham số) Tìm tất cảcác giá trị của k sao cho :

Bài 17: Cho phương trình x22(m1)x m 2 3 0 ( x là ẩn, m là tham số) Tìm m để phương

trình có hai nghiệm x , 1 x sao cho 2 2

x x 2(1 x x ) khi m thay đổi.

Bài 19: Xét phương trình x2 – m2x + 2m + 2 = 0 (1) (ẩn x) Tìm các giá trị nguyên dương của m đểphương trình (1) có nghiệm nguyên

Bài 20: Cho phương trình: x2(2m 1)x m  2  m 6 0 (m là tham số) Tìm m để

phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

Bài 21: Cho phương trình: x26x  (Với m là tham số) Tìm m để phương trình đã cho có m 0

hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn 2 2

x x 

Bài 22: Cho phương trình x2mx m  1 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn biểu thức 2 2 1 2

x x A

Bài 23: Tìm 2 số m, n cùng dấu thỏa mãn điều kiện: m 2n đạt giá trị nhỏ nhất sao cho hai

phương trình sau có nghiệm chung: 2

x  m x m   Tìm các giá trị của m để phương trình có

một nghiệm nhỏ hơn 2 và một nghiệm lớn hơn 2

Bài 25: Cho phương trình x2 + 4x – m = 0 (1) (m là tham số) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thoả mãn  2 2

Bài 28: Cho phương trình x2  2mx m 4   (1) (m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn:

a) Giải phương trình (1) khi m = -3

b) Tìm m để phương trình (2) có một nghiệm bằng -3 Tìm nghiệm còn lại.

c) Tìm m để phương trình (1) và (2) tương đương

Bài 32: Cho phương trình: x22mx2m  1 0

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm

b) Gọi x x1, 2 là các nghiệm của phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 33: Cho phương trình x22mx m 2   (m 6 0 m là tham số).

a) Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có hai nghiệm x và 1 x sao cho2

187





b) Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có hai nghiệm x và 1 x sao cho2

x  x 

Bài 34: Cho phương trình 5x² + mx – 28 = 0 (m là tham số) Tìm các giá trị của m để phương trình

có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện 5x1 + 2x2 = 1

Bài 35: Cho phương trình x4 – 2(m – 2)x² + 2m – 6 = 0 Tìm các giá trị của m sao cho phương trình

có 4 nghiệm phân biệt

Bài 36: Cho phương trình x22m2xm22m40 Tìm m để phương trình

có hai nghiệm thực phân biệt x , 1 x thỏa mãn 2

m x

x x

11

2

2 1

2 2

2 1

Bài 39: Biết phương trình (m2)x22(m1)x m 0 có hai nghiệm tương ứng là độ dài hai

cạnh góc vuông của một tam giác vuông Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của tam

giác vuông đó bằng 2

.5

Bài 40: Cho phương trình x2(m21)x m   2 0 (1), m là tham số Tìm m để phương trình (1)

có hai nghiệm phân biệt x , 1 x thỏa mãn 2 1 2

Bài 3: Cho phương trình: x22a b x  4ab (0 x là ẩn số; ,a b là tham số) Tìm điều kiện của

a và b để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt trong đó có ít nhất một nghiệm dương.

Phương trình có ít nhất một nghiệm dương

 phương trình có 2 nghiệm trái dấu hoặc phương trình có 2 nghiệm đều dương

TH1: Phương trình có 2 nghiệm trái dấu 1.4ab 0 ab0

TH2: Phương trình có 2 nghiệm đều dương  

Bài 4: Cho phương trình: 2   2

x  m x m  , với m là tham số Tìm m để phương trình có

hai nghiệm phân biệt x ; 1 x thỏa mãn 2 x1x2; x1  x2  6

Với m5, ta có phương trình: x26x25 0Giải phương trình ta được: x1   3 34 ; x2   3 34

t  m t m    2Phương trình  1 có 4 nghiệm phân biệt x ; 1 x ; 2 x ; 3 x4

 phương trình  2 có 2 nghiệm dương phân biệt

1 2 2

Bài 6: Cho phương trình (ẩn x): x23m1 x2m25m  Tìm giá trị của 2 0 m để phương

trình có hai nghiệm phân biệt x và 1 x thỏa mãn 2 x1x2 2 x1x2 .

m

m

m m

Vậy với 49 144

thì phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt

Bài 8: Giải phương trình: 3 2

Bài 9: Cho phương trình x2(m21)x m  2 0(1), m là tham số Tìm m để phương trình (1)

có hai nghiệm phân biệt x , 1 x thỏa mãn 2 1 2

Ta có D =¢ 25 0> Þ phương trình có 2 nghiệm:

a = (Nhận); a2=- (Loại, vì 6 a< )0+) Với a=4Þ m2= Þ4 m= ±2Vậy m= ; 2 m=- là giá trị cần tìm.2

Bài 10: Cho phương trìnhx22 2 m3x m 2  , với 0 m là tham số Tìm tất cả các giá trị của m

để phương trình có hai nghiệm x , 1 x khác 2 0, (chúng có thể trùng nhau) và biểu thức

m m m



3

 

Dấu bằng xảy ra khi m3

Bài 11: Cho phương trình x22mx m  4 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn x13x2326m

b) Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên.

Thử lại m=0, m=1, m=-3,m=4 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Bài 12: Cho phương trình: x2  2 mx  2 m   1 0

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm

b) Gọi x x1, 2 là các nghiệm của phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

(hoặc tính theo  để biện luận)

Do PT luôn có nghiệm nên theo ĐL Vi-et ta có:

   khi đó m = -1, vậy minB = -1/2 khi m = -1

Bài 13: Cho phương trình x23m 2 x 2m   25m 3 0  , x là ẩn, m là tham số Tìm tất cả giá trị của m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương

Lời giải

3m 2 4 2m 5m 3 m 4 0, m

Do đó phương trình luôn có nghiệm: x12m 1; x 2  m 3

Phương trình có ít nhất 1 nghiệm dương khi và chỉ khi:

1 2

Cách 2: Do   0, m nên phương trình luôn có 2 nghiệm

Ta có thể giải bài toán ngược: “Tìm m để PT có 2 nghiệm không dương”

Suy ra trong  và 1  có ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng 2 0

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm

Bài 15: Do bị bệnh bại não nên tay chân của Cảnh (11 tuổi, bản Tà Ọt, xã Châu Hạnh, huyện

Quỳnh Châu, tỉnh Nghệ An) bị co quắp, không đi lại được từ lúc mới chào đời Lên 6 tuổi, nhìn bạn

bè cắp sách đến trường em cũng muốn mẹ cho đi học Thương con ham học, những ngày đầu Cảnhđược người thân cõng đến trường Ít ngày sau, chứng kiến cảnh người thân của bạn phải vất vả bỏ

bê công việc, Khanh đã quyết định cõng bạn vượt qua con đường dài 1,8 km nhiều sỏi đá để tớitrường

Lúc về, trên quãng đường dài 1,8 km, trời nắng, Khanh cõng bạn với vận tốc ít hơn lúc đi 0,2 m/s

Do đó, thời gian cõng bạn lúc về của Khanh chậm hơn lúc đi là 12 phút 30 giây Tính vận tốc lúc

cõng bạn đi của Khanh.

Giải phương trình ta được x1 0,8 (nhận); x2  0,6 (loại)

Vậy vận tốc lúc cõng bạn đi của Khanh là 0,8 (m/s).

Bài 16: Giả sử x x1, 2là hai nghiệm của phương trình x22kx 4 0( k là tham số) Tìm tất cảcác giá trị của k sao cho :

Vậy tất cả các giá trị của k cần tìm là :  2 5   k 2 và 2 k 2 5

Bài 17: Cho phương trình x22(m1)x m 2 3 0 ( x là ẩn, m là tham số) Tìm m để phương

trình có hai nghiệm x , 1 x sao cho 2 2

Để phương trình có hai nghiệm x , 1 x2   ' 0 4 2m0m2

Khi m2 thì phương trình có hai nghiệm x , 1 x 2

Ta có  ' (m1)2  0, m nên phương trình có hai nghiệm với mọi m.

Theo định lí viet, ta có x1x2 2 ,m x x1 2 2m1, suy ra

4 1

m P



1.2

Với m = 3 thay vào pt ta được nghiệm của pt đã cho là x =1; x = 8 thỏa mãn Vậy m= 3

Bài 20: Cho phương trình: x2(2m 1)x m  2  m 6 0 (m là tham số) Tìm m để

phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

Bài 21: Cho phương trình: x26x  (Với m là tham số) Tìm m để phương trình đã cho có m 0

hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn x12x22 12

Lời giải

Để phương trình có nghiệm  /  0 m  9(*)

2 4 2 6 12

6

2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1

m x x x x m x x x x x x m x x x x

TM ĐK (*)

Bài 22: Cho phương trình x2mx m  1 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn biểu thức 2 2 1 2

x x A

a) Phương trình x2mx m   có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi1 0

m m

m m

m m

   Vậy Min A = -1; khi đó

m

  Vậy với m = -2 thì phương trình có hai nghiệm thỏa m ãn đề bài

Bài 23: Tìm 2 số m, n cùng dấu thỏa mãn điều kiện: m 2n đạt giá trị nhỏ nhất sao cho hai

phương trình sau có nghiệm chung:x2mx  ; 2 0 x22nx  6 0

n n

n n

thì hai phương trình có nghiệm chung x0  2

Bài 24: Cho phương trình: x22m3x m   Tìm các giá trị của 3 0 m để phương trình có

một nghiệm nhỏ hơn 2 và một nghiệm lớn hơn 2

Lời giải

Xét phương trình: x22m3x m  3 0Giả sử: x1 2 x2

Để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 2 và một nghiệm lớn hơn 2 thì:

113

m thì phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 2 và một nghiệm lớn hơn 2

Bài 25: Cho phương trình x2 + 4x – m = 0 (1) (m là tham số) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thoả mãn  2 2

Kết hợp với điều kiện m 4;m t được 0 m4thỏa mãn

Bài 26: Cho ba số thực dương phân biệt a b c , , thỏa a b c    3 Xét ba phương trình bậc hai

Bài 28: Cho phương trình x2  2mx m 4   (1) (m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn:

 thì A có giá trị lớn nhất bằng 4.

3

Bài 30: Cho hai số thực a, b không âm thỏa mãn18a4b2013 (1)

Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: 18ax2 4bx671 9 a0 (2)

Lời giải TH1: Với a = 0 thì (2) 4bx6710

Từ (1)  b 0 Vậy (2) luôn có nghiệm 671

Vậy phương trình luôn có nghiệm

Bài 31: Cho hai phương trình: x2 - x + m + 1 = 0 (1)

x2 + (m + 2)x + 2m + 4 = 0 (2) (m là tham số).

a) Giải phương trình (1) khi m = -3

b) Tìm m để phương trình (2) có một nghiệm bằng -3 Tìm nghiệm còn lại.

c) Tìm m để phương trình (1) và (2) tương đương

Vậy khi m = -3 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1  ;1 x2 2

Vậy để phương trình (2) có một nghiệm bằng –3 thì m = 7, nghiệm còn lại là –6

c) Ta thấy cả hai phương trình đã cho đều là phương trình bậc hai ẩn x

Gọi biệt thức của hai phương trình (1), (2) lần lượt là  và 1 2

Gọi tập nghiệm của hai phương trình (1), (2) lần lượt là S1 và S2

Hai phương trình (1) và (2) tương đương với nhau khi và chỉ khi:

* Hoặc S1S2   : Khi đó hai phương trình (1) và (2) tương đương với nhau khi:

1

2

00

* Hoặc S1S2   : Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1)

x3, x4 là hai nghiệm của phương trình (2)

Khi đó hai phương trình (1) và (2) tương đương với nhau khi:

2 33

m m m m

Bài 32: Cho phương trình: x2  2 mx  2 m   1 0

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm

b) Gọi x x1, 2 là các nghiệm của phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

m  , đặt 1 0, ( ê 0)

4

t m n n t

t t t

4

t C

Bài 33: Cho phương trình x22mx m 2   (m 6 0 m là tham số).

a) Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có hai nghiệm x và 1 x sao cho2

187

60

+ Nếu x và 1 x trái dấu thì 2 2    

Bài 34: Cho phương trình 5x² + mx – 28 = 0 (m là tham số) Tìm các giá trị của m để phương trình

có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện 5x1 + 2x2 = 1

x

x  

(4)Thay (4) vào (2) suy ra 5x1(1 – 5x1) = –56

<=> 25x1² – 5x1 – 56 = 0

<=> x1 = 8

5 hoặc x1 =

75

Với x1 = 8

5 → x2 =

72

Bài 35: Cho phương trình x4 – 2(m – 2)x² + 2m – 6 = 0 Tìm các giá trị của m sao cho phương trình

có 4 nghiệm phân biệt

Phương trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Ứng với mỗi nghiệm t > 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt Do đó, phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương

<=> 2m – 6 > 0 và 2(m – 2) > 0 <=> m > 3

Vậy m > 3 thỏa mãn yêu cầu

Bài 36: Cho phương trình x22m2xm22m40 Tìm m để phương trình

có hai nghiệm thực phân biệt x , 1 x thỏa mãn 2

m x

x x

11

2

2 1

2 2

2 1

Nếu c ¹ 0,phương trình có nghiệm 4.

5

x = Với a ¹ 0,

çè ø Suy ra, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình luôn có nghiệm

Bài 38: Cho phương trình: 2

2x 3mx  2  (m là tham số) Có hai nghiệm 0 x và 1 x Tìm giá 2

Bài 39: Biết phương trình (m2)x22(m1)x m 0 có hai nghiệm tương ứng là độ dài hai

cạnh góc vuông của một tam giác vuông Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của tam

giác vuông đó bằng 2

.5

Bài 40: Cho phương trình 2 2

A Bài toán (giữ nguyên màu)

Bài 1: Giải phương trình: x4 + 9 = 5x(3 – x2)

Bài 2: Giải phương trình: 2 2 2 5

Bài 7: Giải phương trình (x - 4x+11)(x - 8x +21) 352 4 2 

Bài 8: Cho phương trình x3 – 5x2 + (2m + 5)x – 4m + 2 = 0, m là tham số

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3.b) Tìm giá trị của m để x1 + x2 + x3 = 11

Bài 9: Giải phương trình: 6x4  5x3  38x2  5x 6 0  

Bài 10: Giải phương trình: x3- 3x2+2x+ =6 0

Bài 11: Gọi a , b , c là ba nghiệm của phương trình 2x39x26x 1 0 Không giải phương

trình, hãy tính tổng:

a b b c c a S

a b b c c a

Bài 12: Giải phương trình (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2

B Lời giải (giữ nguyên màu)

Bài 1: Giải phương trình: x4 + 9 = 5x(3 – x2)

3 x

3 x

2 x

3 x

0 3 x x

x

3 x 1 x

Bài 2: Giải phương trình: 2 2 2 5

Dể thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả tử và mẫu mỗi phân thức cho x, do

đó phương trình đã cho tương đương với

t t

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =1

Bài 3: Giải phương trình

a)x24x x  24 20.

b))x42x3 4x4

Lời giải

x

Xét x không là nghiệm.0Xét x , phương trình đã cho tương đương với 0

24

t t

x x

Với t 4 2x 5 3 4

x

Vậy phương trình có tập nghiệm là 3;2

Giải (2) vô nghiệm

Vậy chỉ có hai giá trị của x ở (3) thỏa bài toán

Bài 6:Cho hai số thức ,m n khác 0 thỏa mãn 1 1 1

Phương trình (2) là PT bậc hai có  2 n24m

Suy ra trong  và 1  có ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng 2 0

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm

Bài 7: Giải phương trình (x - 4x+11)(x - 8x +21) 352 4 2 

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với (x2)27 (   x24)2535(1)

Bài 8: Cho phương trình x3 – 5x2 + (2m + 5)x – 4m + 2 = 0, m là tham số

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3.b) Tìm giá trị của m để x1 + x2 + x3 = 11

Lời giảia) x3 – 5x2 + (2m + 5)x – 4m + 2 = 0 (1)

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình

Chia cả 2 vế của phương trình cho x2 ta được:

<=> (3x – 1)(x – 3) = 0 <=> 1

2

1 x 3

(x- 2) + ¹2 0 " nên pt này vô nghiệm.x

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = -{ }1

Bài 11: Gọi a , b , c là ba nghiệm của phương trình 2x39x26x 1 0

Không giải phương trình, hãy tính tổng:

a b b c c a S

a b c

ab bc ca abc

a b c

ab bc ca abc

+ x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1)

+ Với x¹ 0 chia hai vế (1) cho x2 ta được:

(1) <=> ( 8 6 )( 8 9 )

x

x x

Với t = -2 ta có

x

x8 = - 2 <=> x2 + 2x + 8 = 0 PT này vô nghiệm

Với t = -2 ta có

x

x8 = - 13 <=> x2 +13x + 8 = 0.<=> x = - 13  137.Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = - 13  137

4 Phương trình chứa ẩn ở mẫu

z xy

z

y zx

1 1

Bài 4: Giải phương trình: 1 1 2 2

3( 1)

Vậy nghiệm của phương trình là: 3 5

2,1

x t x

t  ta được

2 2

t   ta được

2 2

x 

Bài 3: Với 0  x;y;z 1 Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:

z y x yz x

z xy

z

y zx

1 1

<=> 1 zx x z    Dấu “=” xảy ra khi: x=1 hoặc z=1.

+ Ta lại có: 1 zx x z     1 yzxxyz

 1y xzxxy xz+ Tương tự: 1z yxy xy yz

1x zyz xy z z

1 1

z y x yz x

z xy

z

y zx

VP Dấu “=” xảy ra khi : x = y = z = 1 (3)+ Từ (2) và (3) VT VP chỉ đúng khi: VT  VP1.Khí đó x = y = z =1.

* Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x; y; z  1;1;1.

Bài 4: Giải phương trình: 1 1 2 2

x x

4

x 

là nghiệm của phương trình

Bài 6: Giải phương trình:

t   ta được

2 2

2

x y

2

x y

2,1

x t x

,3

t  ta được

2 2

5 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài 2: Tìm x thỏa 9 x   8 7 x   6 5 x   4 3 x    2 x 0.

Lời giải

Từ đề bài suy ra x < 0Suy ra 9x – 8 < 0; 7x – 6 < 0; 5x – 4 < 0; 3x – 2 < 0Phương trình đã cho trở thành    9 x 8 7 x   6 5 x   4 3 x    2 x 0

 -23x + 20 = 0 Kết luận pt vô nghiệm.

Bài 3: Giải phương trình: x 2014  x 2016  y 2016  x 2016

6 Phương trình vô tỉ

A Bài toán

Bài 1: Giải phương trình: 2 2 x 1 3 5x 6 3x 8

Bài 2: Giải phương trình: 262 5 2 26 5 3 2 30

Bài 4: Giải phương trình: 5 x3 1 2x22

Bài 5: Giải phương trình x2 9 x216 1

Bài 6: Giải phương trình x24x12 2 x 4 x 1

Bài 7: Giải phương trình: 2  2   

x  x  x  x

Bài 8: Giải phương trình: 2

2x 3 4x 9x 2 2 x 2 4x 1

Bài 9: Giải phương trình: x2  x 4 2 x1 1 x  

Bài 10: Giải phương trình 1 1 1

Bài 13: Giải phương trình: x2- x 1- = 8x 1+

Bài 14: Giải phương trình x212 5 3  x x25

Bài 15: Giải phương trình: x2 x2018 2018

Bài 16: Giải phương trình:

Bài 17: Tìm tất cả các số của x thỏa mãn x4 x  2 2 x6 x  2 7 7

Bài 18: Giải phương trình : 6x2 2x  1 3x 6x 3

Bài 19: Giải phương trình: 2

2014 2014

x  x 

Bài 20: Giải phương trình: 4x24x2 11 x4 4

Bài 21: Giải phương trình: 2x2 5x12 2x23x  2 x 5

Bài 22: Giải phương trình

Bài 24: Giải phương trình: x24x 1 3x  1 0

Bài 25: Giải phương trình: 2 2x 1 x 3 5x11 0

Bài 26: Giải phương trình 4x2  5x 1  2 x2 x 1  9x 3

Bài 27: Giải phương trình: x2+ 5x +1 = (x+5) x21

Bài 28: Tìm x biết: 24 8 9 x2  x 2 3 x 4

Bài 29: Giải phương trình 32  x 1 x1

Bài 30: Giải phương trình: 4x215x20 4 x 10 7 x 1

Bài 31: Giải phương trình: 8 3 4

Bài 36: Giải phương trình 32  x 1 x1

Bài 37: Giải phương trình: 2017 2017x2016 2018x2017 2018

Bài 38: Giải phương trình: 4x215x20 4 x10 7 x1