Lời Giải Bài Hình Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Tỉnh Thanh Hóa Năm 2011 – 2012

[r]

Bài Hình Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Tỉnh Thanh Hóa

Năm 2011 - 2012

Cho tam giác nhọn ABC có AB AC Gọi M là trung điểm BC; H là trực tâm; AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC Kí hiệu  C1 và  C2 lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF và DKE, với K là giao điểm của EF và

BC Chứng minh rằng:

a) ME là tiếp tuyến chung của  C1 và  C2

b) KH AM

Giải

a) ME là tiếp tuyến chung của  C1 và  C2

Gọi I là trung điểm của AH, ta có I là tâm của đường tròn  C1

M là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC

Ta có: IHF cân tại I IFH  IHE BHD

BME

 cân tại M EBM  MEB

90

IEM  IEH MEB BHD EBM 

ME

 là tiếp tuyến của đường tròn  C1

Gọi N là giao điểm của MI và EF

Ta có MI là đườnng trung trực của EF (đường nối tâm ha đường tròn là đường

trung trực của dây cung chung) MI EF tại N

Ta có : MDI MNK MD MN MN MI MD MK

MI MK

MEI

 vuông tại E có đường cao EN ME2 MN MI

Từ đó ta có: ME2 MN MI MD MK

Gọi J là tâm đường tròn  C2 và R là bán kính của 2  C2 , MJ cắt  C2 tại P, Q

ME MD MK MP MQ MJ R MJ R MJ R MJ JE

     vuông tại E hay ME là tiếp tuyến của  C2

b) Chứng minh KH  AM

Ta có tứ giác BDEA nội tiếp đường tròn đường kính AB EDCCAB  1

Tứ giác AFHE nội tiếp có ME là tiếp tuyến CABFEM  2

Tam giác MEF cân tại M FEM MFE  3

     1 , 2 , 3 EDC EFM  tứ giác MFED nội tiếp KE KF KD KM  4

Gọi T là giao điểm của  C1 với AK (T  A)

Tứ giác AFET nội tiếp KE KF KT KA  5

   4 , 5 KT KA KD KM

 tứ giác ATDM nội tiếp đường tròn

Vì ADM 900 nên AM là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ATDM

90

MTA

  hay MT  AT  6

Vì tứ giác AFHT nội tiếp đường tròn  C1 có đường kính là AH

Nên HT  AT  7

   6 , 7 M H T, , thẳng hàng và MT  AK

Trong tam giác AMK thì H là trực tâm nên suy ra KH  AM