CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại số

CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại số

CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

Dạng 6: Bất đẳng thức, cực trị đại số

A Bài toán (giữ nguyên màu)

Bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện 1 1 1 2

3

thực dương thỏa mãn abc = 1

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 2 2 2

.2x y 5 6y z 6 3z 4x 16 2

41

x M y

Bài 16: Với ,x y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 4x24y217xy5x5y 1

Bài 26: Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: 12 12 12 1

x  y  z  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Bài 29: Cho ba số a, b, c1 thỏa mãn 32abc18(a  b c) 27. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 33: Chứng minh bất đẳng thức: ab  c a c     c b c    (với a > c, b > c, c > 0)

Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương Chứng minh rằng:

Bài 36: Cho x; y thỏa mãn

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

b) Với giá trị nào của góc nhọn  thì biểu thức P3sin 3 cos có giá trị lớn nhất?Cho biết giá trị lớn nhất đó

Bài 38: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 2xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Bài 41: Cho biểu thức B = x 2 4 Tìm giá trị lớn nhất của B và giá trị x tương ứng.x

Bài 42: Cho x, y là 2 số dương thỏa mãn x + y = 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Dấu đẳng thức sảy ra khi nào?

Bài 44: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2 ab  6 bc  2 ac  7 abc Tìm giá

Bài 46: Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B 31 3 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 5

2 khi và chỉ khi x y  .

Bài 48:Cho x; y thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.

Bài 50: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

Bài 57: Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác)

Bài 58:Cho các số thực dương , , a b c Chứng minh rằng

Bài 64: Cho a, b ,c là ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 67: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab ac bc    3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Bài 70: Chứng minh với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1 ta có 2 3 4 n1 n  3

Bài 71: Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn 2

2 1

1 2

1

1 2

Bài 73: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017

Bài 74: Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác Chứng minh:

ab  



Bài 76:

a/ Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x2 12 y2 12

Chứng minh rằng: 1 1 1 3

3x 3y 2z3x 2y 3z2x 3y 3z 2

Bài 77: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2 Ký hiệu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác Tìm

Bài 80: Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y +z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4

a a

ì ¹ïïïí

p q r là ba số thỏa mãn: p q r  0. Chứng minh rằng: apq bqr crp  0.

2) Cho các số dương a b, thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:1

1) Cho ba số a b c, , không âm thỏa mãn điều kiện: a2b2c2 2ab bc ca   và

, ,

p q r là ba số thỏa mãn: p q r  0. Chứng minh rằng: apq bqr crp  0.

2) Cho các số dương a b, thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:1

b) Với các số thực dương a b c, , thay đổi thỏa mãn điều kiện 2 2 2

Bài 104: Cho x; y; z là các số thực dương thoả mãn: xyz = 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 13 3 13 3 13

a b  b c c a   là độ dài 3 cạnh của một tam giác.

Bài 106: Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta luôn có: 1x  1y  x 4 y

Bài 107: Cho x, y, z là ba số dương Chứng minh rằng:

2 5

.2

a b c    Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 111: Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn ab bc ca  28 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  2   2  2







b a

b a

Đặt B = A + x – 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B

Bài 115: Cho a b c, , 0 Chứng minh rằng a b c 2

Bài 119: Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2+ 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1

Bài 120: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

Bài 129: Cho a,b,c là các số thực dương CMR:     

Bài 131: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4x+32

của một tam giác

Bài 136: Cho , ,x y z thỏa mãn 0 2 y z 1

x

x  y  z 

B Lời giải (giữ nguyên màu)

Bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện 1 1 1 2

3

   Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Bài 2: Cho x, y, z, t là các số thực dương Chứng minh rằng:

Bài 3: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c  3 Chứng minh rằng

02

Lời giải

y x z x bc

y z y x ca

a b 2 ab   ; b c 2 bc   ; c a 2 ca   2a 2b 2c 2 ab 2 bc 2 ca

,2x y 5 2(xy x 2)

,6x z 6 2(yz y 1)

.3z 4x 16 zx 2z 2)

Cộng các bất đẳng thức theo vế, ta được

P2(xy x 2) 2(yz y 1) zx 2z 2

Do vai trò của a, b, c là như nhau theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số a2

-1, b2-1,c2-1 luôn tồn tại 2 số cùng dấu, giả sử b2-1; c2-1

Bài 11: Giả sử ba số thựca b c, , thỏa mãn điều kiệna0,b3a2,a b c abc   Chứng

3a2 1 2 3 3  a2 1 2 3 0

2 2 2 2

1 2 33

1 2 33

1 2 33

a a a a

a 

 

1 2 33

Bài 14: Với x, y là các số thực thay đổi thỏa mãn 1  và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:y 2

2 2

41

x M y

411

x M y



Dấu “ = ” xảy ra khi x1 và y2

2

x MinM

x y x z

x y x z x

x y y z

x y y z y

x z y z

x z y z z

2 2

24

M

1003

xyz S

0

x x x

x x

Dấu “ = ” xảy ra khi a b c 

Bài 22: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z   Chứng minh rằng1

Bài 25: Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện 3

Bài 26: Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: 12 12 12 1

x  y  z  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

3 32

3 32

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1.

Bài 36: Cho x; y thỏa mãn

Bài 37: a) Cho bốn số thực bất kì , , ,a b c d Chứng minh: ab cd  a2c2 b2d2

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

b) Với giá trị nào của góc nhọn  thì biểu thức P3sin 3 cos có giá trị lớn nhất? Cho biết giá trị lớn nhất đó

2 (3)2

a b c    Mặt khác a² + 1 ≥ 2a; b² + 1 ≥ 2b; c² + 1 ≥ 2c

Bài 41: Cho biểu thức B = x 2 4 Tìm giá trị lớn nhất của B và giá trị x tương ứng.x

4xy xy   xy  => P  1 + 8 = 9 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1

Ta có 2013a + bc=(a + b + c)a + bc =a2 + ab + ac + bc = a2 +bc + a(b + c)

Theo BĐT Cô-Si cho hai số dương ta có a2 + bc  2a bc Từ đó

a2 + bc + a(b + c)  2a bc +a(b + c) = a(b + c + 2 bc) = a( b c)2

Dấu “=” xảy ra

2 2

Vậy GTNN của C là 7 khi a =2; b =1; c = 1

Bài 45: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=3

4()

4()

4(

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

z x y z xz

xyz

z y y x yz

xyz

z x y x M

3

3 3

312)

4)(

4)(

4(

6)

4)(

4)(

4(

6

)4(

1)

4(

1)

4(

12)4(

1)

4(

1)

4(

12

)4()4()4(2

)4(

22)4(

22)4(

22

xy xz

yz xyz xy

xz yz

xyz xy

xz yz

xyz N

yx x yz zx yz y yx

y yz x yz z N

yx yx

z x xz

xz

z x yz

yz

z y N

N yx xyz

yz xz xz

xyz

yz xy yz

xyz

xz xy M

4

123

4

44

43

)4)(

4)(

4(

y x z y x

3 3

4

33)4)(

4)(

4(3814

123

)4)(

4)(

4(

33

312

Bài 46: Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B 31 3 1

Vậy, Bmin  4 2 3, đạt được khi 1 2 33 1 1 2 33 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 5

2 khi và chỉ khi x y  .

Bài 48:Cho x; y thỏa mãn

Bài 49:Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2+ 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1

( )

( ) 02

Vậy Amin   1 khi x = -2

Bài 52:Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng: 2 1 2 1 2 1 3

   Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1

Bài 53: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q 2016 2 22 2016

Chỉ ra được: Min A = -1 khi x = 4 (tmđk)

Bài 56: Cho x, y, z là các số không âm và x + y + z = 1

Bài 58:Cho các số thực dương , , a b c Chứng minh rằng

c a

b c

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a= = =b c 1

Bài 59: Cho a b c, , 0 Chứng minh rằng a b c 2

3 2

14

14

14

abc + a2 + b2 + c2 + 1 + 2a + 2b + 2c + 2ab + 2ab + 2bc ≥ 0

Từ (1) và (2)  P ≥

17

8 2

Áp dụng Côsi ta có:

a  a2 +

4 1

b b2 +

4 1

1 

=

2 17

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng

2

17 khi a = b =

2 1

Bài 64: Cho a, b ,c là ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Kết luận :giá trị nhỏ nhất của

7(y + z) dấu “=” xảy ra khi y = z

2z2 3zx 2x2 ≥ 2

7(z + x) dấu “=” xảy ra khi z = x

A = 2x2 3xy2y2  2y2 3yz2z2  2z2 3zx2x2

≥ 7(x + y + z) = 3 7

Vậy minA = 3 7khi x = y = z = 1

Bài 66: Cho c¸c sè thùc d¬ng a, b, c tho¶ m·n a + b + c =6 Chứng minh rằng:

Bài 67: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab ac bc    3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 33

Dấu “=” xảy ra khi a b c   1

Bài 68: Cho ba số thực dương a b c , , thỏa mãn a b c    1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2

Ta có điều phải chứng minh.

Bài 71: Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn 2

2 1

1 2

1

1 2

2 1 (

4 2

2 1

2 2

1

2 2

1

1 1 2 1

1 1 2 1

1

z y

yz z

z y

y z

2 1 (

4 2

2 1

1 , ) 2 1 )(

2 1 (

4 2

2 1

1

y x

xy z

z x

64 1

) 2 1 )(

2 1 )(

2 1 (

8

8 ) 2 1 )(

2 1 )(

2 1 (

1

) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 (

64

8 2 1

1 2 1

1 2 1

1

2 2

2

2 2 2

z y

x

xyz z

y x

z y

x

z y x z

y x

Vậy minA = 2014 khi y =-1 và x =0

Bài 74: Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác Chứng minh:

a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên a+b-c >0, a+c -b >0, c +b- a >0,

Áp dụng bđt(I) với các số x= a+b-c, y= a+c -b dương ta có:

ab  



Lời giải

a/ Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x2 12 y2 12

b) Áp dụng BĐT 1 1 4

a b  a b

 (với a, b > 0)

Bài 77: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2 Ký hiệu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác Tìm

Và có ít nhất 4 cách chia như sau:

Bài 80: Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y +z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 81: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện: µ

a 02b c

4

a a

ì ¹ïïïí

2

(2) 4

(3) 4

p q r là ba số thỏa mãn: p q r  0. Chứng minh rằng: apq bqr crp  0.

2) Cho các số dương a b, thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:1

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 8 khi a b  1

a) Ta có, a, b, c là ba số không âm có tổng bằng 1

3 ab bc ac   a b c  1b)a2b2c2 4ab bc ac  1

P  với dấu bằng đạt được tại x y z , ,  0,1, 2 (và các hoán vị

nên

2 3

Dấu bằng xảy ra khi a b c 

Bài 90: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì

Dấu bằng xảy ra khi a= = = b c 1

Bài 91: Cho các số thực dương a b c d, , , thoả mãn a1, b1, c1, d 1 Chứng minh bất

    Dấu bằng xảy ra khi a b c d   2

Bài 92: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a c b c     4c2 Tìm giá trị lớn nhất,

b) Với các số thực dương a b c, , thay đổi thỏa mãn điều kiện 2 2 2

Ta có điều phải chứng minh.

b) Trong ba số a b c, , , tồn tại hai số cùng 1

2

2

 Không mất tính tổng quát, tagiả sử hai số đó là a b,

1c a b 2abc2ab2abc2ab 1 hay c 1 c 2ab (1)

Bài 96: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 32 4

1

x B x





Lời giải

; Dấu " " xảy ra khi x 3

Bài 97: Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn abc1

Bài 102: Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn x y z   1 0. Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức :      

3 3

2

x y P

x y z

40

271

y y

21

2 2

51

x y z

Đặt t z 1,

2 2

2 3

729, đạt được tại

2.5

x y z

2 3

Vậy dấu bằng xảy ra  X   1 a b

Bài 104: Cho x; y; z là các số thực dương thoả mãn: xyz = 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 13 3 13 3 13

Vậy giá trị lớn nhất của A là 1  x = y = z = 1

Bài 105: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác Chứng minh rằng:

a b b c c a   là độ dài 3 cạnh của một tam giác (Đpcm)

Bài 106: Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta luôn có: 1x  1y  x 4 y

y xz  y xz

.2

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z

Từ (2) và (3) suy ra: x yz1  y xz1  z xy1  x xyz y  z  yz1  xz1  xy1 (4)

2 5

.2

2 2

212

1 11

Từ  1 và  2 suy ra điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi a b c ,    1 x y z.

Bài 109: Cho a b c, , là các số thực thỏa mãn a2b2c2 12 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S 4a3b3c3  a4 b4c4

Vậy giá trị lớn nhất bằng 48 xảy ra khi a b c, ,   2, 2, 2

Bài 110: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a b c  3. Chứng minh rằng:

Bài 111: Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn ab bc ca  28 Tìm giá trị nhỏ nhất của





b a

b a

Giải:

b a

ab b

a b a

b a

a b a

Vậy GTNN của biểu thức B=-2 khi x=1

Bài 115: Cho a b c, , 0 Chứng minh rằng a b c 2

(Trái với giả thiết)

Vậy dấu = không xảy ra suy ra đpcm

Bài 116: Cho x y z , ,  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Suy ra

2 2

1 1 13

      dấu “=” có khi a=b=c=1

Bài 119: Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2+ 2xy + 7x + 7y + 10 = 0

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Bài 122: Cho ba số dương a b c, , thoả mãn: a2b2  b2c2  c2a2  2011

2 2

Bài 126: Cho x, y là các số thực dương thoả mãn :  1 2 2

Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương:

Dự đoán a=b=c tách mẫu để a+c=b+c=2b

Giá trị lớn nhất của M là 3 khi và chỉ khi x = y = z = 1

Bài 131: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4x+32

1

x A

x



Dấu "=" xảy ra      x 2 0 x 2

Vậy Amin   khi x = -21

Bài 132: Cho a; b; c là các số thuộc đoạn 1;2 thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 6 hãy chứng minh rằng: a+ b + c  0

Lời giải

Do a; b; c thuộc đoạn 1;2 nên a + 1  0; a – 2  0 nên (a + 1)(a – 2)  0

Hay: a2 – a – 2  0  a2  a + 2

Tương tự: b2  b + 2; c2  c + 2

Ta có: a2 + b2 + c2  a + b + c + 6 theo đầu bài: a2 + b2 + c2 = 6 nên: a + b + c  0

Bài 133: Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n , ta có:

Bài 136: Cho , ,x y z thỏa mãn 0 2 y z 1