Tức là Px = x – a.Qx Trong đó Qx là đa thức thương có bậc ít hơn 1 bậc so với bậc của Px Các công thức biến đổi căn thức bậc hai.. Điều kiện để.[r]
Trang 1-CHUYÊN ĐỀ : RÚT GỌN, CHỨNG MINH BIỂU THỨC
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1 Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số (Rút gọn phân thức)
2 Chứng minh đẳng thức (thường dùng các phương pháp sau)
3 Phân tích đa thức thành nhân tử
4 Nếu đa thức P(x) có nghiệm x = a thì P(x) chia hết cho x – a Tức là P(x) = (x – a).Q(x) Trong đó Q(x) là đa thức thương có bậc ít hơn 1 bậc so với bậc của P(x)
5 Các công thức biến đổi căn thức bậc hai
Nếu x = a
a x
0 x
2
Điều kiện để A có nghĩa (xác định) là A ≥ 0
0 A nÕu A
-0 A nÕu A
Với A ≥ 0, B > 0 ta có B
A
= B A
Đa thừa số ra ngoài, vào trong dấu căn (B ≥ 0)
B
B A
nÕu
nÕu
0 A
0 A
A B =
B A
2 2
nÕu
nÕu
0 A
0 A
Khử mẫu biểu thức lấy căn B
A
AB (A.B ≥ 0 và B 0) Trục căn thức ở mẫu Với B > 0, ta có B
A
= B
B A
C
B A
) B A ( C
Trang 2a
6 Các ví dụ.
Ví dụ 1 Phân thức các đa thức sau thành nhân tử.
Giải
a/ Tách -6x hoặc 8 hoặc cả -6x và 8 sau đó nhóm để xuất hiện nhân tử chung hoặc HĐT
c/ x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + 1 = … = (x2 + x + 1)(x3 – x + 1)
5 x x 4
3 2
15 x 17 x x 4
2
2 3
a/ Tìm x để giá trị của P và Q được xác định.
b/ Rút gọn P và Q.
Giải.
5 x 5 x 4 x 4
3 2
) 5 x 4 )(
1 x (
3
5 x 4
2
15 x 3 x x 20 x 4 x 4
2
2 2
3
) 3 x 4 )(
5 x x (
2 2
= 4x + 3
Ví dụ 3 Cho biểu thức
1 x : x 2 1
1 1 x 4
x 5 x 2 1
2
2 2
a/ Tìm x để giá trị của A được xác định.
b/ Rút gọn A.
c/ Tìm các giá trị nguyên của x sao cho A cũng là số nguyên.
Giải
0 1 x 4 x 4
0 1 x
0 1 x 4
2 2
1
x
) 1 x 2 ( 1 x
4
1
2
1 x 2
2
c/ A nguyên 2x – 1 là Ư(2) tức là 2x – 1 = 1 hoặc 2x – 1 = 2 x = 0 thoả mãn
1 : xy 3 y x 6 y x
xy 2 y x y x
y x y x
y x
3 2
2 3
2 2
(với x, y 0, x y)
Trang 3-a/ Rút gọn B.
b/ Tìm điều kiện giữa x và y để B > 0.
Giải.
a/ Rút gọn B ta được B =
) y x (
) y x ( xy 3
y x y x
xy 4
) y x ( 4
b/ B > 0 3(x y)2
) y x ( 4
> 0
Ví dụ 5 Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng :
a/ a 3 + b 3 + c 3 = 3abc.
b/ (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 = 2(a 4 + b 4 + c 4 ).
Giải.
a/(Dùng phương pháp sử dụng giả thiết)
b/ (Dùng phương pháp biến đổi một vế)
Ta có a4 + b4 + c4 = a2.a2 + b2.b2 + c2.c2 = a2(b + c)2 + b2(c + a)2 + c2(a + b)2
= 2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2 + 2abc(a + b + c)
= (a2 + b2 + c2)2 – a4 – b4 – c4 + 0
Ví dụ 6 Cho biểu thức
y x
xy y
x : x y
y x
y x
y x A
2 3
3
a Tìm những điều kiện của x và y để biểu thức A xác định.
b Rút gọn biểu thức A
c Chứng minh A ≥ 0
d So sánh A với A
Giải.
xy
xy
Trang 4-Mặt khác có x y nên dấu “=” không xảy ra Vậy 1 > A 0
Nếu A = 0 A = A
Nếu 0 < A < 1 1 - A > 0 A (1 - A ) > 0 A - A > 0 hay A < A
B BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Bài 1 Tính hoặc rút gọn:
a) 3 2 4 18 2 32 50 b) 5 48 4 27 2 75 108
c) 2 24 2 54 3 6 150 d) 125 2 20 3 80 4 45
e) 2 28 2 63 3 175 112 f)
3
2
g) 3 2 3 3 3 2
h)
9 25 49
i)
k)
m)
1 16
7 : 7
15 6
35 14
10 15
8 12
p)
15 5 5 2 5
3 1 2 5 4
18 48 30 162
s)
u)
5 2 2 2 3 2 v)
:
w)
3 2 2 3 2 2
17 12 2 17 2 2
175
Bài 2 Rút gọn các biểu thức (giả sử các biểu thức đã cho đều có nghĩa)
a)
2
c)
x y2 4 xy x y y x
2
4 4
Trang 5-e)
g)
2
ab
a b
x y
1
a
k)
3
x
m)
: 2
2
a b
Bài 3: Thực hiện phép tính
1 15
8 : ) 5
4 5
4 3
1 2
3 2
1 2
1
HD: Nhân căn thức, đa ra ngoài dấu căn HD: Dùng chia đa thức cho đơn thức >Rg
5 2 : 5 5
4 4
5 20 2
1 5
1
4 8 6 3 2
1 2 5 3 3
HD: Phân tích tử thành nhân tử > Rg với mẫu
1 3
216 2
8
6 3 2
HD: Viết biểu thức trong căn dới dạng bình phơng một tổng, hiệu
6 12
5 7 2 7
6 7
3
1 11
4
HD: Dùng công thức trục căn thức ở mẫu
1 5 3 5
3 5 3 5
3 5
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức
1 5
1
1
Trang 63 4 3
2 2 6 2
3
2 2 5 , 4 60 6 , 1
2
) 1 3 ( 75 2 48 2
1
Bài 5: Rút gọn biểu thức
1 1
24 7
1
(5 2 6 )(49 20 6 ) 5 2 6
9 3 11 2
3 1
1 3
3
6 2 5 6 2 5
6 2 5
3
2
3 2
3 2 6
2 2
3 2
3 5
2
1 3
5
2
4 1 2
1 2
5
3
1 15
4 : ) 50 5
2 5 , 4 2
3 2
1 2
1
Bài 6: Rút gọn biểu thức sau Bài 7: Tìm giá trị của x để biểu thức có nghĩa
6 1 1 2
1 2 2 1 3
4 3 2
5 5 : ) 5 3
1 5
3
1
1
5 3
5 3
3 2
3 2
5 3 5 3
5 3
1 2002
1 1
4
1 3
1 1 3
1 2
1
1
3 2
1 2
1
1
Trang 71
3 2
1 2
1
1
1 ) x 1
1 x
1
1 ( : ) x 1
1 x
1
1
a Rút gọn biểu thức
2 a : a a
1 a a a a
1 a a
a Tìm giá trị của a để biểu thức xác định ?
b Rút gọn biểu thức ?
c Với giá trị nguyên nào của a thì biểu thức là số nguyên ?
x x 2 1 x
x
a Rút gọn biểu thức
b Tính giá trị của biểu thức khi x = 3 + 8
c Với giá trị nào của x thì biểu thức C > 0 ; C < 0 ; C = 0
a 3 6 a 2
3 a
.
a Tìm giá trị của a để biểu thức xác định ?
b Rút gọn biểu thức ?
c Với giá trị nào của a thì biểu thức A > 1 ; A < 1 ?
d Tìm giá trị của a để biểu thức có giá trị bằng 4?
a a b
a
a ( : ) a b
a b a
a
a Tìm giá trị của a; b để biểu thức xác định?
b Rút gọn biểu thức?
1 b
a
thì biểu thức có giá trị bằng 1 Hãy tìm giá trị của a; b?
Bài 13: Cho biểu thức N =
ab
b a a ab
b b
ab
a Rút gọn biểu thức
1 a b
a
thì N có giá trị không đổi?
ab 6 6
b 3 a 2 ab
b 3 a 2
.
Trang 8-a Rút gọn biểu thức ?
81 b
thì khi đó a
b
là một số nguyên chia hết cho 3?
3 x 2 x 1
2 x 3 3 x 2 x
11 x 15
.
a Rút gọn biểu thức ?
b Tìm x để biểu thức có giá trị bằng 2
1 ?
c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức?
Bài 16: Cho biểu A =
; ab
a b b a b
a
ab 4 ) b a
a > 0 ; b > 0.
a Rút gọn biểu thức
b Tính giá trị của biểu thức khi a = 2567 ; b = 3 + 2 2
Bài 17: Cho biểu thức B =
2 2
2
x 1 2
1 x x 1
1 x
1
1
a Tìm giá trị của x để biểu thức có nghĩa
b Rút gọn biểu thức
c Giải phương trình theo x khi B = - 2
2 x : 1 x
1 1
x x
x x 2
.
1 : x x x x
1 x
2
.
a Rút gọn biểu thức ?
b Coi A là hàm số đối với x hãy vẽ đồ thị của hàm số A
b 2 ) b a ( : ) ab b
a
b b a a (
.
a Tìm giá trị của a; b để biểu thức có nghĩa ?
b CMR giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào a; b ?
Bài 21: Cho biểu thức: A =
1 1
x
1
:
1 1
x
1
.
a Rút gọn biểu thức?
b
và b > a > 0
Bài 22: Cho biểu thức : A =
n mn
m mn
m
n mn
n m : n m
n m
.
Trang 9-a Rút gọn biểu thức ?
1 xy
1 x 1
xy
x xy 1
: 1 xy 1
x xy 1
xy
1 x
.
a Rút gọn biểu thức ?
b Cho
6 y
1 x
1
Tìm giá trị lớn nhất của P
x 2 1 : 1 x x x x
x 2 1
x
1
.
a Tìm giá trị của x để biểu thức xác định ?
x x 2 1 1 x x
x
.
a Rút gọn biểu thức ?
b Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 2 ?
c Giả sử x > 1 CMR : B - B = 0
d Tìm giá trị nhỏ nhất của B ?
Bài 26: Cho biểu thức : A =
2 2
2
n
1 1 n 1
mn 2 m n
1
mn 2
.với m0;n1
a Rút gọn biểu thức ? Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào n ?
c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ?
Bài 27: Cho biểu thức: A = (1 – a 2 ) :
1 a a 1
a a 1 a a 1
a a 1
.
a Rút gọn biểu thức A?
b Tính giá trị của biểu thức khi a = 9 ?
ab a
b ab
a
b ab
2
b a ab
a
1 b a
.
a Hãy đơn giản biểu thức B ?
b Tính giá trị của biểu thức khi a = 6 + 2 5 ?
c Hãy so sánh B với – 1 ?
b a 1 : b a a
1 b
a a 1
.
Trang 10-a Đơn giản biểu thức A ?
c Tìm giá trị của A khi a = 5 + 4 2 ; b = 2 + 6 2
Bài 30: Cho biểu thức A =
a
1 a a 4 1 a
1 a 1 a
1 a
.
a Rút gọn biểu thức ?
6
Bài 31: CMR biểu thức sau không phụ thuộc vào biến :
a B =
1 a
; 0 a
; x
1 x x x x 1 x
2 x 1 x 2 x
x 2
b M =
0 x
; 6 x 5 x
10 x 3
x 4 x
x 5 2
x 3 x
x 2
c
1 1 a 1
1 a a 2 2
1 a
2 2
1
2 2
(với a > 0, a ≠ 1)
y y
x
x 2 y x 2
y x y
x
xy 2
(với x, y > 0, x ≠ y)
Bài 32 : Cho biểu thức : K =
2 1 a
1 : a a
1 1 a
a
.
c) Tìm giá trị của a sao cho K < 0
2 x 2 x
1 x : x 4
x x
2
x 4
.
c Tìm giá trị của m để với mọi x > 9 ta có m( x - 3)P > x +1
xy
y x x xy
y y
xy
x : y x
xy y
x
.
a Với giá trị nào của x; y thì biểu thức có nghĩa?
Bài 35: Cho biểu thức : A =
1
; 2 x
; 2 x
) x 1 ( x : x 1 x
1 x x 1 x
1 x
2
2 2 3
3
.
Trang 11c Tìm giá trị của x để A = 3
Bài 36 Cho biểu thức : A =
x
; 2
1 x : x 1
1 1
x x
x 1
x x
2 x
và x > 0.
Bài 37: Cho biểu thức P =
2
2
x 1 1 x 2 x
2 x 1
x
2 x
.
a Rút gọn biểu thức P ?
b CNR nếu 0 < x < 1 thì P > 0 ?
c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P ?
Bài 38: Rút gọn các biểu thức sau:
4 2 2
y xy 2 x
y x y
y x
27
và y = ( 7
27 )2003
HD: Viết biểu thức trong căn dưới dạng hằng đẳng thức rồi đưa ra ngoài dấu căn, chú ý khi đưa biểu thức chữ ra ngoài dấu căn phải giá trị tuyệt đối
) 1 x ( 2 x
x x 2 1 x x
x
x2
.
c/ Tìm giá trị của x để biểu thức Q = P
x 2 nhận giá trị nguyên ? (chứng minh Q = 1)
x 1
x x 2
1 x 1
x
x x 1
x x
x x x x 2
a Tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa ?
b Rút gọn biểu thức M ?
c Tìm giá trị của x để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất ?
Bài 41 : Chứng minh các đẳng thức sau
5 , 1 6
1 3
216 2
8
6 3 2
Trang 124 5
2
4
2
2 5 7
1 : 3 1
5 15 2
1
7 14
1 : ab
a b b
a
(a, b > 0, a ≠ b) 6/
a 1 1 a
a a 1 1 a
a a
(a > 0, a ≠ 1)
2 a
1 a 1 a
2 a 1 a 2
a
2 a
(với a > 0, a ≠ 1)
b a b
1 a
1 :
ab
2
2
2
(với a, b > 0, a ≠ b)
9 a 6 b 3 a 2 ab
ab 6 6
b 3 a 2 ab
b 3 a 2
b 2 a b
b 2 b 2 a 2
b a b
2 a
2
b a
(a, b ≥ 0, a ≠ b)
11/
1 b
a
b a ab b
a
b b a
(a, b ≥ 0, a ≠ b)
Bài 43 : Cho biểu thức
ab
a b b a b
a
ab 4 b a A
2
1 Tìm điều kiện để A có nghĩa
2 Khi A có nghĩa, chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a
x 1
x 1 1 x x
x 1
x
1 x 2 B
3 3
với x ≥ 0 và x 1
x
1 x 3 x
1 x 3 : x 9
9 x x 3
x C
với x > 0 và x 9
x 5 2 2 x
x 2 2 x
1 x P
1 a
2 a 2 a
1 a : a
1 1 a
1 Q
1
Trang 13-3 Tìm giá trị của a để Q dương
a a 2 1 1 a a
a a M
2
với a > 0
36 x x 6 x
1 x 6 x 6 x
1 x 6
2 2
2
a a
a
a
1
1 1
1
1 1 1
1
1 1
1 Rút gọn biểu thức B
2 Chứng minh biểu thức B luôn dương với mọi a
1
2 3 4
3 4
x x x x
x x x
3
5 5
3 15
2
25 :
1 25
5
x
x x
x x
x
x x
x x
1 x
2 x
1
x 1 x
1 : 1 x
1 x 1 x
1 x
2
3 Tìm giá trị của x để E = -3
x x 1
x 1 x x 1
x 1 : x 1
) x
2
2 2
3 Tìm giá trị của x để cho 3.F = 1
Bài 55 Cho biểu thức : A =
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa và rút gọn A
Bài 56 Cho biểu thức: B =
:
1 6
B
Trang 14
Bài 58 Cho biểu thức: P =
1 1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 59 Cho biểu thức: D =
2 1
Bài 60 Cho biểu thức: E =
:
1
a
a
Bài 61 Cho biểu thức F =
:
x
4 5
3 20
e/ x2 9 3 x 3 0
3 4
x
x
Bài 64 : Tìm x để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất ,tìm GTNN đó
Bài 65 : Tìm x để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất ,tìm GTLN đó
1
x x
Bài 66: Tìm các giá trị nguyên của x để các biểu thức sau có giá trị nguyên
2
x
x
x
2
1 3
3
x
x
1 2
x x
Bài 67: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Trang 15
Bài 68: So sánh
1
1 6
17 2
1
1
17 2
1
1
1
1 6
1