Bài 2: Một số phân phối liên tục đặc biệt

Đại lượng ngẫu nhiên liên tục - Continuous Random Variable Định nghĩa ĐLNN liên tục Tham số đặc trưng của ĐLNN liên tục Phân phối chuẩn - Normal Distribution Phân phối chuẩn chuẩn tắc -

Trang 1

Vinh LươngUniversity of Economics and Finance vinhlx@uef.edu.vn

September 2018

Trang 2

Đại lượng ngẫu nhiên liên tục - Continuous Random Variable

Định nghĩa ĐLNN liên tục

Tham số đặc trưng của ĐLNN liên tục

Phân phối chuẩn - Normal Distribution

Phân phối chuẩn chuẩn tắc - Standard Normal Distribution

Phân phối đều - Uniform Distribution - tham khảo

Xấp xỉ pp nhị thức về pp chuẩn - tham khảo

Trang 3

Định nghĩa ĐLNN liên tục

Trang 5

GIỚI THIỆU

Xét bài toán khác:

Khảo sát chiều dài của các vỏ nghêu ta thấy: phần lớn chiều dài tậptrung ở gần 45mm, một số ít vỏ nghêu có chiều dài trên 55mm và đồngthời cũng có một số ít vỏ nghêu có chiều dài dưới 35mm

Nếu gọi X là chiều dài của vỏ nghêu thì phân bố của X dạng như sau:

Trang 6

GIỚI THIỆU

lượng mưa trong 1 năm ở TP.HCM

I Kết quả sẽ có dạng đồ thị tương tự

I Người ta sử dụng một đường cong 𝑓 (𝑥) có dạng hình chuông (bellcurve) để mô tả phân bố của X

Trang 7

Định nghĩa

Definition

𝑋 là một đại lượng ngẫu nhiên liên tục, nếu:

2 Tồn tại một hàm số 𝑓 (𝑥) thỏa 2 điều kiện

I Với ĐLNN liên tục, hàm mật độ 𝑓 (𝑥) không trực tiếp cho ta xácsuất mà phải tính toán thông qua tích phân

Trang 8

Xác suất của ĐLNN liên tục

1 Xác suất tại 1 điểmluôn bằng 0:

Trang 9

Với ĐLNN liên tục: xác suất là diện tích bên dưới đường cong mật độ

1 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥0) = 𝑃 (𝑋 < 𝑥0)

2 𝑃 (𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃 (𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑏) − 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑎)

Trang 10

điểm𝑋 = 𝑥.

Trang 11

Trang 12

So sánh với ĐLNN rời rạc và ĐLNN liên tục

Trang 13

Trang 14

đạt giá trị cực đại

𝑀 𝑜𝑑(𝑋) =𝑥*⇔ 𝑓 (𝑥*) max

cong mật độ bị tách thành2 phần có diện tích bằng nhau

𝑀 𝑒𝑑(𝑋) = 𝑥0 ⇔ 𝑃 (𝑋 < 𝑥0) = 𝑃 (𝑋 > 𝑥0) = 1

2Lưu ý: để tìm 𝑀 𝑒𝑑(𝑋) = 𝑥0 của ĐLNN liên tục, ta giải pt

∫︁ 𝑥 0

Trang 15

I Phân vị: phân vị thứ 𝛼, ký hiệu 𝑥𝛼, là giá trị của 𝑋 mà tại đó

𝐹 (𝑥𝛼) = 𝑃 (𝑋 < 𝑥𝛼) =𝛼

I Ví dụ phân vị thứ 0.7 (bách phân vị thứ 70), ký hiệu 𝑥0.7, là giátrị mà tại đó 𝐹 (𝑥0.7) = 𝑃 (𝑋 < 𝑥0.7) = 0.7

Trang 16

và 𝑃(︂ 1

2 < 𝑋 <

34)︂

Trang 18

1 Thế hàm 𝑓 (𝑥) vào công thức tính được:

Trang 19

Trang 20

Phân phối chuẩn trong tự nhiên

I Trong tự nhiêncó rất nhiều đại lượng tuân theo pp chuẩn, hoặc cóthể xấp xỉ phân phối chuẩn

I Một số ví dụ:

I Chiều cao, cân nặng, chiều cài cánh tay, chỉ số IQ

I Điểm số trong một kỳ thi SAT

I Lượng mưa trong 1 vùng, thu nhập hàng năm của 1 gia đình.

I Chiều cao cây lúa, chiều dài của những con cá hồi

trung nhiều gần giá trị trung bình và phân bố ít dần đều sang 2 bên

Trang 21

Example 3

Người ta thu thập một số lượng rất lớn vỏ sò và đo chiều ngang củachúng Số liệu được thống kê lại theo khoảng và thể hiện trên biểu đồ

Với biểu đồ tần số như trên, người ta có thể dự đoán "chiều ngang của

vỏ sò" sẽ tuân theo phân phối chuẩn

Trang 23

Phân phối chuẩn

Trang 24

Một số tính chất của phân phối chuẩn:

I Đồ thị: có dạng hình chuông,đối xứng qua trục 𝑥 = 𝜇

I 2 điểm uốn nằm ở vị trí 𝑥 = 𝜇 ± 𝜎

I 𝜎 càng nhỏ, đồ thị càng hẹp, các giá trị của 𝑋 càng tập trung gầngiá trị trung bình 𝜇

Trang 25

Qui tắc ước lượng xác suất đơn giản (qui tắc 3 sigma )

Qui tắc 3 sigma: Với X là ĐLNN có phân phối chuẩn thì:

Trang 26

Example 4

Nếu chiều cao 𝑋 của sinh viên nam có phân phối chuẩn với trungbình 166cm, độ lệch chuẩn 4cm, sử dụng qui tắc 3 sigma ước lượngxem có bao nhiêu % sv nam có chiều cao:

Trang 27

Example 5

Ở Mỹ các bé gái 3 tuổi có chiều cao tuân theo phân phối chuẩn vớitrung bình 38.5 inches và độ lệch chuẩn là 3 inches

1 Tính xs một bé gái 3 tuổi bất kỳ có chiều cao lớn hơn 42 inches

2 Tính xs một bé gái 3 tuổi bất kỳ có chiều cao nằm trong khoảng từ

36 đến 42 inches

3 Một bé gái có chiều cao dưới bao nhiêu inches thì sẽ bị rơi vào 20%các bé gái có chiều cao thấp nhất

Trang 29

I Một bé gái có chiều cao dưới bao nhiêu inches thì sẽ bị rơi vào 20%các bé gái có chiều cao thấp nhất ???

I Ta cần tìm giá trị x sao cho 𝑃 (𝑋 < 𝑥) = 20% = 0.2

I 𝑥 = 𝑁 𝑂𝑅𝑀.𝐼𝑁 𝑉 (0.2, 38.5, 3) = 35.97 ≈ 36 inches

I Vậy: Một bé gái có chiều cao dưới 36 inches thì sẽ bị rơi vào 20%các bé gái có chiều cao thấp nhất

Trang 30

Example 6

Giả sử đường kính trong của các vòng đệm cao su do một máy sản xuất

có phân phối chuẩn, với đường kính trong trung bình là 1.27cm vàđộlệch chuẩn là 0.01cm Đường kính trong của các vòng đệm này được phép

từ 1,25 đến 1,29 cm, ngược lại thì các vòng đệm được xem bị hỏng Hãyxác định tỷ lệ phần trăm các vòng đệm do máy này sản xuất bị hỏng

Trang 31

Giải ví dụ

sản xuất, thì 𝑋 có phân phối chuẩn 𝑁(︀𝜇, 𝜎2)︀, với

Trang 32

Phân phối chuẩn ứng dụng

Trong một số bài toán thực tế, mặc dù ĐLNN là rời rạc nhưng giá trịcủa X nhiều thì người ta vẫn có thể coi nó như liên tục và sử dụng phânphối chuẩn để tính toán

Example 7

Gọi X là chỉ số thông minh (IQ) của 1 học sinh bất kỳ trong lứa tuổi12-15 Khi đó X có phân phối chuẩn 𝑋 ∼ 𝑁 (90, 25)

1 Tính tỷ lệ học sinh có chỉ số IQ trên 100

2 Tính tỷ lệ học sinh có chỉ số IQ trong khoảng (95,105)

3 Một lớp có 50 học sinh, anh chị tin chắc có bao nhiêu học sinh có

Trang 33

Trang 34

Phân phối chuẩn chuẩn tắc: 𝑍 ∼ 𝑁 (0, 1)

ở trên với 𝜇 = 0 và 𝜎 = 1

Definition

phối chuẩn chuẩn tắc

√2𝜋𝑒

Trang 35

Chuẩn tắc hóa phân phối chuẩn

bằng 1 ) gần như không có trong thực tế

chuẩn về phân phối chuẩn tắc bằng 1 phép biến đổi đơn giản

mềm máy tính và phải tra bảng để tìm xác suất

Trang 36

Example 8

IQ là chỉ sổ để đo lường mức độ thông minh của một người Theo thống

kê thì chỉ số IQ có phân phối chuẩn với trung bình là 100 và độ lệchchuẩn là 16 Chọn 1 người bất kì

Trang 39

1 𝑃 (𝑍 < 1.23) = 0.8907

2 𝑃 (𝑍 > 1.23) = 1 − 0.8907 = 0.1093

Trang 41

Example 10

Giả sử đường kính trong của các vòng đệm cao su do một máy sản xuất

có phân phối chuẩn, với đường kính trong trung bình là 1.27cm vàđộlệch chuẩn là 0.01cm Đường kính trong của các vòng đệm này đượcphép có dung sai từ 1,25 đến 1,29 cm, ngược lại thì các vòng đệm đượcxem bị hỏng Hãy xác định tỷ lệ phần trăm các vòng đệm do máy nàysản xuất bị hỏng

Giải: Chuấn tắc hóa đại lượng 𝑋 ∼ 𝑁 (1.27; 0.012) bằng cách đặt

𝑋 − 1.270.01

Khi đó: 1.25 ≤ 𝑋 ≤ 1.29 ⇔ (1.25 − 1.27)

(1.29 − 1.27)0.01

𝑃 (1.25 ≤ 𝑋 ≤ 1.29) = 𝑃 (−2 ≤ 𝑍 ≤ 2) = 94.45%

Suy ra : Tỷ lệ phần trăm vòng đệm bị hỏng là 4.55%

Trang 42

Exercise 3

Điểm GMAT được sử dụng rất rộng rãi ở Mỹ để xét tuyển đầu vào trênđại học cho các ngành về kinh tế Thống kê cho thấy điểm GMAT củacác sinh viên có trung bình là 494 và độ lệch chuẩn là 100

trong khoảng 494 đến 600

Trang 43

2 Sử dụng PP chuẩn để tính xác suất 1 em bé có thời gian trong bụng

mẹ trong khoảng 230 đến 260 ngày

Trang 44

3 Giả sử kì thi có 500 sinh viên,với thời gian làm bài là 90 phút Bạn

dự đoán sẽ có bao nhiêu sinh viên không thể hoàn tất bài thitrong thời gian 90 phút

Trang 45

Bài tập

Exercise 6

Khảo sát kết quả thi học kỳ môn Lịch sử các năm học thì thấy điểm cóphân phối chuẩn với trung bình là 62 và độ lệch chuẩn là 13 Bộ mônLịch sử quyết định năm nay chỉ cho 80% sinh viên qua môn này Hãycho biết bạn cần thấp nhất bao nhiêu điểm để qua được môn Lịch sử

Exercise 7

In 1972 the heights of rugby players were found to be normally

distributed with mean 179 cm and standard deviation 7 cm Find theprobability that a randomly selected player in 1972 was:

1 at least 175 cm tall

Trang 46

Exercise 8

The points for the final exam are normally distributed, with a mean of

72 and a standard deviation of 9 Grades are assigned according to thefollowing rule: ∙ The top 10% receive A’s ∙ The next 20% receive B’s ∙The middle 40% receive C’s ∙ The next 20% receive D’s ∙ The bottom10% receive F’s

Find the lowest score on the final exam that would qualify a student for

an A, a B, a C, and a D

Trang 47

Trang 48

Phân phối đều (Uniform or Rectangular Distribution)

phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục mà người ta chỉ biết giá trịMin và Max

khoảng [𝑎, 𝑏] và ứng với mỗi giá trị là hàm mật độ xác suất nhưnhau thì X sẽ có phân phối đều

Definition

Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối đều trong

khoảng [𝑎, 𝑏] nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:

𝑓 (𝑥) =

⎧

Trang 49

Trang 50

Trang 51

Example 11

Gọi X là biến ngẫu nhiên liên tục thể hiện thời gian bay (flight time) từHCM đến HN Người ta khảo sát và thấy rằng X có thể nhận giá trị bất

kì trong khoảng 120 phút đến 140 phút Hãy cho biết:

2 Tính xác suất 1 chuyến bay bất kì sẽ đến Hà Nội trong khoảng 120phút đến 130 phút

Trang 52

I Đồ thị hàm 𝑓 (𝑥) sẽ có dạng hình chữ nhật như sau:

I Xác suất 𝑃 (120 ≤ 𝑋 ≤ 130) =∫︀120130𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 là diện tích sau:

Trang 53

sai bằng Excel và so sánh với công thức ở định nghĩa.

Trang 54

Trang 55

Xấp xỉ pp nhị thức về pp chuẩn

Theorem

Khi 𝑛 đủ lớn và 𝑝cố định, phân phối Nhị thức 𝐵(𝑛, 𝑝) sẽ xấp xỉ về phân

𝑛𝑝𝑞

Trong thực tế, người ta hay chọn “mốc” 𝑛𝑝, 𝑛𝑞 ≥ 5 làm điều kiện xấp xỉ

Trang 57

Example 12

Cho 𝑋 ∼ 𝐵(25, 0.5), dùng nhị thức để tính chính xác 𝑃 (8 ≤ 𝑋 ≤ 10).Sau đó sử dụng PP chuẩn để tính xấp xỉ

I Ta có thể xấp xỉ 𝐵(𝑛 = 25, 𝑝 = 0.5) về phân phối chuẩn 𝑁 (𝜇, 𝜎), với

𝜇 = 𝑛𝑝 = 12.5 và 𝜎 =√𝑛𝑝𝑞 = 2.5

I 𝑃 (8 ≤ 𝑋 ≤ 10) ≈ 𝑃 (𝑋 ≤ 10.5) − 𝑃 (𝑋 ≤ 7.5) = 0.1819

Trang 58

Example 13

David là chuyên viên bán bảo hiểm Anh thường hay gọi điện cho kháchhàng để sắp xếp 1 buổi nói chuyện về công việc Kinh nghiệm của Davidthấy rằng, thông thường 40% khách hàng bắt máy điện thoại sẽ đồng ýsắp xếp 1 buổi gặp mặt Hỏi rằng nếu David liên lạc được với 100 sốđiện thoại thì xác suất để có 45 đến 50 cuộc gặp là bao nhiêu?

Trang 60

a) Nhiều nhất 30 sản phẩm bị hỏng.

b) Trong khoảng từ 30 đến 50 sản phẩm bị hỏng

c) Trong khoảng từ 35 đến 45 sản phẩm bị hỏng

d) Ít nhất 65 sản phẩm bị hỏng

Trang 61

a) Tìm số trứng gà trung bình có được trong 1 ngày.

b) Tính xác suất để trong ngày có ít nhất 2900 trứng

c) Tìm số trứng gà tin chắc nhất có được trong 1 ngày

d) Nếu tiền chi phí nuôi 1 con gà trong 1 ngày là 150 đồng và tiền bán 1quả trứng là 550 đồng Tìm số tiền lãi trung bình có được trong 1 ngày

Trang 62

Bài tập

Exercise 13

Bài tập 4.49

Đề thi trắc nghiệm có 100 câu, mỗi câu có 5 câu trả lời, trong đó chỉ có

1 câu trả lời đúng Nếu trả lời đúng thì được 1 điểm, Thí sinh thi đậu khiđiểm thi đạt từ 56 điểm trở lên Đối với học sinh trung bình thì xác suấtchọn được câu trả lời đúng ở mỗi câu hỏi là 53%:

a) Tính XS để 1 học sinh trung bình đạt ít nhất 60 điểm

b) Tính XS để 1 học sinh trung bình đạt nhiều nhất 40 điểm

c) Tính XS để 1 học sinh trung bình thi đậu

d) Hãy tính số học sinh trung bình thi đậu tin chắc nhất trong số 600học sinh trung bình tham dự kỳ thi?

Định dạng
Số trang	62
Dung lượng	1,33 MB