Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác

Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác trên là: A.. Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp rcủa tam giác trên là: 2 Chương... Ta có: S=m +m +m là tổng bình phương độ dài ba t

Tailieumontoan.com



Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

CHUYÊN ĐỀ

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Tài liệu sưu tầm, ngày 8 tháng 12 năm 2020

CHUYÊN ĐỀ 3

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

b= c= A= Độ dài cạnh a là:

A 2 13 B 3 12. C 2 37. D 20

Lời giải

Ch ọn A

Ta có: a2 =b2+c2− 2bccosA= 36 + 64 − 2.6.8.cos 600= 52 ⇒ =a 2 13

Câu 2 Cho ∆ABC có S= 84,a= 13,b= 14,c= 15. Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam

giác trên là:

A 8,125. B 130. C 8. D 8,5.

L ời giải

Ch ọn A

Ta có: . . 13.14.15 65

ABC

Câu 3 Cho ∆ABC có a=6,b=8,c=10 Diện tích S của tam giác trên là:

A 48. B 24. C 12. D 30.

L ời giải

Ch ọn B

Ta có: Nửa chu vi ∆ABC:

2

Áp dụng công thức Hê-rông: S= p p( −a p)( −b p)( −c) = 12(12 − 6)(12 8)(12 10) − − = 24

Câu 4 Cho ∆ABC thỏa mãn : 2 cosB= 2 Khi đó:

A B= 30 0 B B= 60 0 C B= 45 0 D B= 75 0

Lời giải

Ch ọn C

Ta có: 2  0

2

Câu 5 Cho ∆ABC vuông tại B và có  0

25

C= Số đo của góc A là:

A A= 65 0 B A= 60 0 C A= 155 0 D A= 75 0

Lời giải

Ch ọn A

Ta có: Trong ∆ABC   A+ + =B C 180 0 ⇒ = A 180 0 − − =  B C 180 0 − 90 0 − 25 0 = 65 0

Câu 6 Cho ∆ABC có 0

60 , 8, 5

= = =

B a c Độ dài cạnh b bằng:

L ời giải

Ch ọn A

Ta có: b2=a2+c2− 2accosB= 82+ 52− 2.8.5.cos 600 = 49 ⇒ =b 7

Câu 7 Cho ∆ABC có  0  0

45 , 75

C= B= Số đo của góc A là:

A A= 65 0 B A= 700 C A= 60 0 D A= 75 0

Lời giải

Ch ọn C

Ta có:    0  0   0 0 0 0

Câu 8 Cho ∆ABC có S =10 3, nửa chu vip=10 Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp rcủa tam

giác trên là:

2

Chương

L ời giải

Ch ọn D

Ta có: 10 3 3.

10

S

p

4, 5, 150

= = =

a c B Diện tích của tam giác là:

L ời giải

Ch ọn B

Ta có: 1 .sin 1.4.5.sin1500 5.

ABC

Câu 10 Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2 cosA= 1 Khi đó:

A A= 30 0 B A= 45 0 C.A= 120 0 D A= 60 0

L ời giải

Ch ọn D

Ta có: 1  0

2

Câu 11 Cho tam giác ABC có b = 7; c = 5, cos 3

5

=

A Đường cao h c a ủa tam giác ABC là

A 7 2

L ời giải

Ch ọn A

Ta có: 2 2 2 2 cos 72 52 2.7.5.3 32 4 2.

5

Mặt khác: 2 2 2 2 9 16 4

A+ A= ⇒ A= − A= − = ⇒ A= (Vì sinA> 0)

Mà:

4 7.5.

a

Câu 12 Cho tam giác ABC, chọn công thức đúng trong các đáp án sau:

A

2

2 4

a

b c a

m = + +

B

2

2 4

a

a c b

m = + −

C

2

2 4

a

a b c

m = + −

D

4

a

c b a

m = + −

L ời giải

Ch ọn D

Ta có:

.

a

Câu 13 Cho tam giác ABC Tìm công thức sai:

sin

a

R

A= B sin

2

a A R

a

L ời giải

Chọn C

Ta có: 2

R

Câu 14 Chọn công thức đúng trong các đáp án sau:

2

S = bc A B 1 sin

2

S = ac A C 1 sin

2

S = bc B D 1 sin

2

S = bc B

L ời giải

Ch ọn A

Ta có: 1 sin 1 sin 1 sin

S= bc A= ac B= ab C

Câu 15 Cho tam giác ABC có a= 8,b= 10, góc C bằng 0

60 Độ dài cạnh clà ?

A c=3 21 B c=7 2 C c=2 11 D c=2 21

L ời giải

Ch ọn D

Ta có: c2 =a2+b2− 2 cosa b C= 82+ 102− 2.8.10.cos 600= 84 ⇒ =c 2 21

Câu 16 Cho tam giác ABC Khẳng định nào sau đây là đúng ?

2

ABC

sin

a R

C

cos

2

B

bc

4

c

L ời giải

Chọn D

Câu 17 Cho tam giác ABC, chọn công thức đúng ?

A AB2 =AC2+BC2−2AC AB cosC B AB2 =AC2−BC2+2AC BC cosC

AB AC BC AC BC C D 2 2 2

AB AC BC AC BC C

Lời giải

Ch ọn C

Câu 18 Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b+ =c 2a Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

A cosB+ cosC= 2 cos A B.sinB+ sinC= 2sin A

C sin sin 1sin

2

L ời giải

Ch ọn B

Ta có:

2

+

+

Câu 19 Cho tam giác ABC Đẳng thức nào sai ?

B C A

A B C C

L ời giải

Ch ọn D

Ta có:

S=m +m +m là tổng bình phương độ dài ba trung tuyến của tam giác ABC Trong các

mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?

A 3( 2 2 2)

4

C 3( 2 2 2)

2

S = a +b +c D S = 3(a2+b2+c2)

L ời giải

Ch ọn A

Ta có:

Câu 21 Độ dài trung tuyến m c ứng với cạnh c của ∆ABC bằng biểu thức nào sau đây

A

2 4

b +a −c

B

2 4

b +a +c

4

+ −

b a c

L ời giải

Ch ọn C

Ta có:

(2 2 )

2 4 2 4 2

b a c b a c

m + m + b a c

= − ⇒ = − = + −

Câu 22 Tam giác ABC có cos B bằng biểu thức nào sau đây?

A

2

b c a bc

+ −

B 1 sin− 2B C cos(A C+ ). D

2

a c b ac

+ −

L ời giải

Chọn D

Ta có:

2

ac

Câu 23 Cho tam giác ABC có a2+b2−c2 > 0 Khi đó :

A Góc C> 900 B Góc C< 900

C Góc C= 900 D Không thể kết luận được gì về góc C.

L ời giải

Chọn B

Ta có:

cos

2

C

ab

Mà: a2+b2−c2 > 0 suy ra: cosC> ⇒ < 0 C 900

Câu 24 Chọn đáp án sai : Một tam giác giải được nếu biết :

A Độ dài 3 cạnh B Độ dài 2 cạnh và 1 góc bất kỳ

C Số đo 3 góc D Độ dài 1 cạnh và 2 góc bất kỳ

L ời giải

Ch ọn C

Ta có: Một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố

độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2)

Câu 25 Một tam giác có ba cạnh là 13,14,15 Diện tích tam giác bằng bao nhiêu ?

L ời giải

Chọn A

Ta có: 13 14 15 21

Suy ra: S = p p( −a p)( −b p)( −c) = 21(21 13)(21 14)(21 15) − − − = 84

Câu 26 Một tam giác có ba cạnh là 26, 28,30. Bán kính đường tròn nội tiếp là:

L ời giải

Ch ọn B

Ta có: 26 28 30 42.

8.

42

S

Câu 27 Một tam giác có ba cạnh là 52,56,60.Bán kính đường tròn ngoại tiếp là:

A.65.

4

L ời giải

Ch ọn C

Ta có: 52 56 60 84.

Suy ra: S = p p( −a p)( −b p)( −c) = 84(84 52)(84 56)(84 − − − 60) = 1344

Câu 28 Tam giác với ba cạnh là 3, 4,5. Có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu ?

L ời giải

Chọn A

Ta có: 3 4 5 6.

Suy ra: ( )( )( ) 6(6 3)(6 4)(6 5) 1.

6

S

Câu 29 Tam giác ABC có a= 6,b= 4 2,c= 2. M là điểm trên cạnh BC sao cho BM= 3 Độ dài đoạn

AM bằng bao nhiêu ?

2

L ời giải

Ch ọn C

Ta có: Trong tam giác ABCcó a= ⇒ 6 BC= 6 mà BM = 3 suy ra M là trung điểm BC.

Suy ra:

a

Câu 30 Cho ∆ABC, biết a =AB=( ;a a1 2)

và b=AC=( ;b b1 2)

Để tính diện tích S của ∆ABC Một

học sinh làm như sau:

( )I Tính cos .

a b A

a b

=









( )II Tính ( )

2 2

2 2

sin 1 os 1

a b

A c A

a b

= − = −









S = AB AC sinA= a b  − a b 

1 2

S = a +a b +b − a b +a b

( )2

1 2

S= a b +a b

1( 1 2 2 1)

2

Học sinh đó đã làm sai bắt đàu từ bước nào?

A ( )I B ( )II C (III) D (IV)

Lời giải

Ch ọn A

Ta có:

cos

a b A

a b

=









Câu 31 Câu nào sau đây là phương tích của điểm M(1; 2) đối với đường tròn ( )C tâm I( 2;1) − , bán

kính R= 2:

L ời giải

Ch ọn A

Ta có: MI = − ( 3;1) ⇒MI= 10

Phương tích của điểm M đối với đường tròn ( )C tâm I là:

Câu 32 Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy Người ta

xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 78 24'o Biết

CA= m CB= m Khoảng cách AB bằng bao nhiêu ?

Lời giải

Ch ọn B

Ta có: AB2=CA2+CB2− 2CB CA .cosC= 2502+ 1202− 2.250.120.cos 78 24'o  64835 ⇒ AB 255.

Câu 33 Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc

0

60 Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30km h/ , tàu thứ hai chạy với tốc độ 40km h/ Hỏi sau 2

giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km?

Lời giải

Ch ọn

Không có đáp án

Ta có: Sau 2h quãng đường tàu thứ nhất chạy được là: S1 = 30.2 = 60km.

Sau 2h quãng đường tàu thứ hai chạy được là: S2= 40.2 = 80km.

Vậy: sau 2h hai tàu cách nhau là: S= S12+S22− 2 S S1 2.cos 600 = 20 13.

Câu 34 Từ một đỉnh tháp chiều cao CD= 80m, người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các

góc nhìn là 72 12 '0 và 34 26'0 Ba điểm A B D, , thẳng hàng Tính khoảng cách AB?

L ời giải

Ch ọn B

Ta có: Trong tam giác vuông CDA: tan 72 12 '0 0 800 25, 7.

tan 72 12 ' tan 72 12 '

AD AD

Trong tam giác vuông CDB: tan 34 26 '0 0 800 116, 7.

tan 34 26 ' tan 34 26 '

BD BD

Suy ra: khoảng cách AB= 116, 7 − 25, 7 = 91 m

Câu 35 Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy Người ta

xác định được một điểm Cmà từ đó có thể nhìn được A và Bdưới một góc 0

56 16 ' Biết

200

CA= m, CB= 180m Khoảng cách AB bằng bao nhiêu ?

L ời giải

Ch ọn

Không có đáp án

Ta có: AB2=CA2+CB2− 2CB CA .cosC= 2002+ 1802− 2.200.180.cos 56 16'0  32416 ⇒AB 180.

Câu 36 Cho đường tròn ( )C đường kính AB với A( 1; 2) − − ; B(2;1) Kết quả nào sau đây là phương tích

của điểm M(1; 2) đối với đường tròn ( )C

L ời giải

Ch ọn D

Ta có: AB= (3;3) ⇒AB= 3 2

Đường tròn ( )C đường kính AB có tâm 1; 1

2 2

  là trung điểm AB và bán kính

3 2

AB

Suy ra: phương tích của điểm M đối với đường tròn ( )C là: MI2−R2 = 2.

Câu 37 Cho các điểm A(1; 2), ( 2;3), (0; 4) − B − C Diện tích ∆ABC bằng bao nhiêu ?

A.13.

4

L ời giải

Ch ọn A

Ta có: AB= − ( 3;5) ⇒AB= 34

, AC= − ( 1;6) ⇒AC= 37

, BC = (2;1) ⇒BC= 5

Mặt khác 37 34 5

Suy ra: ( )( )( ) 13.

2

Câu 38 Cho tam giác ABC có A(1; 1), (3; 3), (6;0) − B − C Diện tích ∆ABC là

L ời giải

Ch ọn B

Ta có: AB= (2; 2) − ⇒AB= 2 2

,AC= (5;1) ⇒AC= 26

, BC = (3;3) ⇒BC= 3 2

Mặt khác  AB BC = ⇒ 0 AB⊥BC

Suy ra: 1 6.

2

ABC

Câu 39 Cho a =(2; 3)−

và b=(5; )m

Giá trị của mđể a và  

b cùng phương là:

2

2

L ời giải

Ch ọn D

Ta có: a b  ,

cùng phương suy ra 5 15.

m m

Câu 40 Cho các điểm A(1;1), (2; 4), (10; 2).B C − Góc BAC bằng bao nhiêu?

L ời giải

Chọn A

Ta có: AB= (1;3)

, AC= (9; 3) −

Suy ra:   0

.

AB AC

AB AC

 

Câu 41 Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn ngoại tiếp là ?

11

2

L ời giải

Ch ọn C

Ta có: 52 122 132 13.

2

R

+ = ⇒ = (Tam giác vuông bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

2 cạnh huyền )

Câu 42 Cho tam giác ABC có a= 4,b= 6,c= 8 Khi đó diện tích của tam giác là:

L ời giải

Ch ọn B

Ta có: 4 6 8 9.

Suy ra: S = p p( −a p)( −b p)( −c) = 3 15.

Câu 43 Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu ?

L ời giải

Ch ọn A

Ta có: 5 12 13 15

2

Mà 52 122 132 1.5.12 30.

2

S

Mặt khác S p r. r S 2.

p

Câu 44 Tam giác với ba cạnh là 6;8;10 có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng bao nhiêu ?

L ời giải

Ch ọn A

Ta có: 62 82 102 10 5.

2

R

+ = ⇒ = = (Tam giác vuông bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

2

cạnh huyền )

Câu 45 Cho tam giác ABC thoả mãn : 2 2 2

3

b +c −a = bc Khi đó :

A A= 30 0 B A= 45 0 C A= 60 0 D A= 750

L ời giải

Chọn A

Ta có:

0

Câu 46 Tam giác ABC có a= 16,8; B=56 13'0 ; C=710 Cạnh cbằng bao nhiêu?

Lời giải

Ch ọn D

Ta có: Trong tam giác ABC:    0  0 0 0 0

Mặt khác .sin 16,8.sin 710 0 19,9.

c

Câu 47 Cho tam giác ABC, biết a= 24,b= 13,c= 15. Tính góc A?

Lời giải

Chọn B

Ta có:

0

bc

Câu 48 Tam giác ABC có A=68 12 '0 , B=34 44 '0 , AB= 117. Tính AC?

L ời giải

Ch ọn A

Ta có: Trong tam giác ABC:   A+ + =B C 180 0 ⇒ =C 180 0 − 68 12 ' 34 44 ' 0 − 0 = 77 4 ' 0

Mặt khác .sin 117.sin 34 44 '00 68.

AC

a= c= B= Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu ?

L ời giải

Ch ọn C

Ta có: b2=a2+c2− 2accosB= 82+ 32− 2.8.3.cos 600 = 49 ⇒ =b 7

Câu 50 Cho tam giác ABC, biết a= 13,b= 14,c= 15. Tính góc B ?

L ời giải

Ch ọn C

Ta có:

0

ac