BAI 3 HE THUC LUONG TRONG TAM GIAC CAU HOI

Với tam giác ABC ta kí hiệu h h h a, ,b c là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC CA AB, , ; R r, lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ; là nửa c

Bài 3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

• Chương 2 TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Định lí cô – sin

Định lí 1.

Trong tam giác ABC với BC a AC b ,  và AB c Ta có

,

2 cos

a b c  bc A

b c a  ca B

c a b  ab C

Ta có thể suy ra hệ quả sau

Hệ quả 1.

,

cos

2

b c a A

bc



cos

2

c a b B

ca



cos

2

a b c C

ab



2 Định lí Sin

Định lí 2.

Trong tam giác ABC với BC a AC b AB c ,  ,  và là bán kính đường tròn ngoại tiếp Ta cóR

2

a b c

R

A B C 

3 Công thức đường trung tuyến

Định lí 3.

Cho tam giác ABC với m m m a, b, c lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A B C, , Ta có

 2 2 2

4

a

b c a



 2 2 2

4

b

a c b



 2 2 2

4

c

a b a



4 Công thức diện tích tam giác

Định lí 4 Với tam giác ABC ta kí hiệu h h h a, ,b c là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC CA AB, , ; R r, lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ;

là nửa chu vi tam giác ; là diện tích tam giác Khi đó ta có 2

a b c

p  

S  ah  bh  ch

4

abc

pr p p a p b p c R

II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

DẠNG 1 TÍNH TOÁN CÁC ĐẠI LƯỢNG

* Sử dụng định lí cô-sin và định lí sin

* Sử dụng công thức xác định độ dài đường trung tuyến và mối liên hệ của các yếu tố trong các công thức tính diện tích trong tam giác

Bài tập tự luận

a) a12,b13,c15 Tính độ lớn góc A b) AB5,AC8,A60o Tính cạnh BC

a) A60 ,o B 45 ,o b4 Tính cạnh và b c b)  60 ,A o a6 Tính R

a) a7,b8,c6 Tính m a

b) a5,b4,c3 Lấy D đối xứng của qua Tính B C m a và AD

a) a7,b8,c6 Tính và S h a

b) 7, 5,cos 3 Tính và

5

b c A S R r,

Câu 5. Cho tam giác ABC, biết a3,b4,c6 Tính góc lớn nhất và đường cao tương ứng với cạnh

lớn nhất

Câu 6. Tính các góc A B, và h R a, của tam giác ABC biết a 6,b2,c 3 1

Câu 7. Cho tam giác ABC, biết a21,b17,c10

a) Tính diện tích của tam giác S ABC và chiều cao h a

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và trung tuyến r m a

Câu 8. Cho tam giác ABC, có  60 ,A o b20,c25

a) Tính diện tích và chiều cao S h a

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp R r

Câu 9. Cho tam giác ABC, có AB8,AC9,BC10 Một điểm M nằm trên cạnh BC sao cho

Tính độ dài đoạn thẳng

7

Câu 10 Cho tam giác ABC, có BC12,CA13, trung tuyến AM 8 Tính và cạnh S AB

Câu 11 Cho tam giác ABC, có B60 ,o C 45 ,o BC a

a) Tính độ dài hai cạnh AB AC,

b) Chứng minh cos 75 6 2

4

o  

Câu 12 Cho tam giác ABC, có độ dài ba trung tuyến bằng 15,18, 27

a) Tính diện tích tam giác b) Tính độ dài các cạnh của tam giác

Câu 13 Cho tam giác ABC, có đoạn thẳng nối trung điểm AB và BC bằng , cạnh 3 AB9 và

Tính cạnh

 60o

ACB BC

Câu 14 Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC Biết 3, 8,cos 5 13 Tính độ

26

AB BC AMB dài cạnh AC và góc lớn nhất của tam giác ABC

DẠNG 2 CHỨNG MINH HỆ THỨC

* Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản để biến đổi vế này thành vế kia, hai vế cùng bằng một vế hoặc biến đổi tương đương về một đẳng thức đúng

* Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản, bất đẳng thức cạnh trong tam giác và bất đẳng thức cổ điển (Cô-si, Bu-nhi-a-cốp-xki, …)

Bài tập tự luận

Câu 1. Tam giác ABC có b2c2a Chứng minh rằng

a) 2sinAsinBsinC b) 2 1 1

a b c

h  h h

Câu 2. Tam giác ABC có bc a 2 Chứng minh rằng

a

b c

h h h

4

a b c

m m m  a b c

3

GA GB GC  a b c

bốn cạnh của nó

Câu 6. Cho tứ giác ABCD Gọi M N, lần lượt là trung điểm hai đường chéo AC BD, Chứng minh

AB BC CD AD  AC BD  MN

cot

4

b c a A

S

 

4

a b c

S

a) a b cosC c cosB b) sinAsin cosB Csin cosC B

a) b2c2 a b cosC c cosB b) b2c2cosA a c  cosC b cosB

B C

a r   

1

2

S   AB AC  AB AC

Câu 12 Tam giác ABC có b2c2a Chứng minh rằng

a) 2sinAsinBsinC b) 2 1 1

a b c

h  h h

Câu 13 Cho tứ giác ABCD nội tiếp được và có các cạnh a b c d, , , Chứng minh rằng diện tích tứ giác đó

được tính theo công thức sau S  p p a p b p c p d        , trong đó là nửa chu vi tứ p

giác

Câu 14 Cho tam giác ABC, là bán kính đường tròn bàng tiếp trong góc Chứng minh rằng:r a A

2

a

A

r  p

b)  tan

2

A

r p a

Câu 15 Tam giác ABC vuông tại , đồng dạng với tam giác A A B C   Gọi aB C b  ,  A C a  , A B 

và h  a là đường cao hạ từ A của tam giác A B C   Chứng minh rằng:

a) a a     b b c c

a a b b c c





Câu 16 Tam giác ABC vuông tại Gọi là đường phân giác của góc Chứng minh rằng:A d A

a) d 2bc

b c





2

r b c a 

c

m c

Câu 18 Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh a b c, , và diện tích Trên ba cạnh về phía ngoài của tam S

giác đó dựng các tam giác vuông cân A BC B AC C AB A B C ,  ,     , , lần lượt là đỉnh ) Chứng minh rằng A B 2B C 2C A 2 a2b2c26S

Câu 19 Cho điểm D nằm trong tam giác ABC sao cho DAB DBC   DCA Chứng minh rằng

a) sin3sin(A) sin( B) sin( C);

b) cot cotAcotBcotC

4

a b c

S

lượt là độ dài các cạnh BC AC AB, , và là diện tích tam giác).S

Câu 21 Cho hai tam giác ABC Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ và B C

vuông góc với nhau là 2 2 2

5

b c  a

DẠNG 3: NHẬN DẠNG TAM GIÁC

Tam giác ABC vuông tại khi A  90A  hoặc cosA0 hoặc 2 2 2

a b c

Tam giác ABC cân tại khi A b c hoặc góc B C hoặc sinBsinC hoặc cosBcosC

Tam giác ABC đều khi a b c  hoặc góc A B C  hoặc a b và một góc bằng 60

Tam giác ABC nhọn khi cả ba góc đều nhọn

Chú ý sử dụng phối hợp các hệ thức cơ bản về tam giác, biến đổi về tích số bằng 0, biến đổi tổng bình phương, các bất đẳng thức cơ bản, so sánh, …

Bài tập tự luận

a) Góc nhọn A  2 2 2;

a b c

b) Góc tù A  a2 b2c2;

c) Góc vuông A  a2 b2c2;

a b c

Câu 3. Cho tam giác ABC thoả mãn a4 b4c4 Chứng minh ABC là tam giác nhọn

Câu 4. Cho tam giác ABC thoả mãn sinA2sinBcosC Chứng minh ABC là tam giác cân

diện tích và chiều cao h a của tam giác

B a c

B a c



Câu 7. Cho tam giác ABC có chiều cao h a  p p a  .Chứng minh ABC là tam giác cân

Câu 8. Chứng minh tam giác ABC vuông tại khi và chỉ khi A 5m a2 m b2m c2

Câu 9. Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp bằng và các bán kính đường tròn bàng tiếp r

các góc A B C, , tương ứng bằng r r r a, ,b c Chứng minh rằng nếu r r  a r b r c thì góc là góc A

vuông

2

a b c

c

a b c

 



Câu 11 Cho tam giác ABC biết a7, b8,c5 Chứng minh tam giác ABC có góc 60

Câu 12 Cho tam giác ABC thoả mãn c42a2b c2 2a4a b2 2c4 0 Chứng minh tam giácABC

có góc 60 hoặc 120

Câu 13 Cho tam giác ABC thoả mãn a b c  2acosA b cosB c cosC Chứng minh tam giác

đều

ABC

60 , 10,

3

2

a c b

b

a c b

 

3 sin sin

4

A C 

2

a b c

m m m  R

Câu 17 Cho tam giác ABC thỏa mãn sinC2sin cos B A Chứng minh rằng tam giác ABCcân

cos cos

B C A

B C





a) sina A b sinB c sinC h a h b h c





DẠNG 4: GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ

Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên một số điều kiện cho trước.

Trong các Câu toán giải tam giác người ta thường cho tam giác với ba yếu tố như sau: biết một cạnh và hai góc kề cạnh đó; biết một góc và hai cạnh kề góc đó; biết ba cạnh.

Để tìm các yếu tố còn lại ta sử dụng định lí cô-sin và định lí sin; định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng 180 và trong một tam giác đối diện với góc lớn hơn thì có cạnh lớn hơn và ngược lại đối diện với cạnh lớn hơn thì có góc lớn hơn.

Bài tập tự luận

a) c14,A60 , B40 

b) b4,5, A 30 ,C75

a) c35, A40 ,  C120 

b)a137,5, B 83 , C 57

Câu 3. Giải tam giác ABC, biết a6,3; b6,3; C 54

Câu 4. Giải tam giác ABC, biết b32; c45;  87 A 

Câu 5. Giải tam giác ABC, biết a7; b23; C 130  

Câu 6. Giải tam giác ABC, biết b14; c10;  145 A 

Câu 7. Giải tam giác ABC, biết a14; b18; c20

Câu 8. Giải tam giác ABC, biết a6; b5; c7

Câu 9. Giải tam giác ABC, biết a6; b7,3; c4,8

Câu 10 Giải tam giác ABC, biết  60B   45; C ; BC a

Câu 11 Từ hai vị trí và của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh của ngọn núi Biết rằng độ cao A B C

, phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc , phương nhìn tạo với

70

phương nằm ngang một góc 15 30 (như hình vẽ) Tính độ cao CH của ngọn núi so với mặt đất

Câu 12 Các góc nhìn đến đỉnh núi so với mực nước biển được đo từ hai đèn tín hiệu A và B trên biển

được thể hiện trên hình vẽ Nếu các đèn tín hiệu cách nhau 1536 m thì ngọn núi cao bao nhiêu (tính gần đúng sau dấu phẩy hai chữ số)?

Câu 13 Một người quan sát đứng cách một cái tháp 15m, nhìn thấy đỉnh tháp một góc 450 và nhìn dưới

chân tháp một góc 150 so với phương nằm ngang như trong hình vẽ Tính chiều cao của tháp.h

Câu 14 Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc A 600

Tàu chạy với tốc độ B 20 hải lí một giờ Tàu chạy với tốc độ C 15 hải lí một giờ Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí?

Câu 15 Vịnh Vân Phong – tỉnh Khánh Hòa nổi tiếng vì có con đường đi bộ xuyên biển nối từ Hòn Quạ

đến đảo Điệp Sơn Một du khách muốn chèo thuyền kayak từ vị trí trên Hòn Quạ đến vị trí C B

trên Bè thay vì đi bộ xuyên qua con đường qua vị trí rồi mới đến vị trí Nếu người đó chèo A B

thuyền với vận tốc không đổi là km/h thì sẽ mất bao nhiêu thời gian biết 4 AB0, 4 km,

km và góc giữa và là ?

0, 6

Câu 16 Trong một lần đi khảo sát các đảo thuộc quần đảo Trường Sa của Việt Nam, các nhà khoa học

phát hiện có một đảo có dạng hình tròn, tâm của đảo này bị che bởi một bãi đá nhỏ mà các nhà khoa học không thể tới được Các nhà khoa học muốn đo bán kính của đảo này, biết rằng các nhà khoa học chỉ có dụng cụ là thước thẳng dài Nêu cách để các nhà khoa học tính được bán kính đảo?

Câu 17 Giả sử chúng ta cần đo chiều cao ABcủa một tòa tháp với là chân tháp và là đỉnh tháp Vì B A

không thể đến chân tháp được nên từ hai điểm và C Dcó khoảng cách CD30m sao cho ba điểm B C D, , thẳng hàng người ta đo các góc  43BCA  và gócBDA 67  Hãy tính chiều cao của tòa tháp

AB

Câu 18 Trong tam giác vuông AHC ta có AH AC.cosHAC6,30.cos35 5,16 (km)

Từ hai vị trí , người ta quan sát một cái cây (hình vẽ) Lấy là điểm gốc cây, A B C D là điểm ngọn cây ,A

cùng thẳng hàng với điểm thuộc chiều cao của cây Người ta đo được , ,

, Tính chiều cao của cây đó

63

    48

Câu 19 Một người quan sát đỉnh của một ngọn núi nhân tạo từ hai vị trí khác nhau của tòa nhà Lần đầu

tiên người đó quan sát đỉnh núi từ tầng trệt với phương nhìn tạo với phương nằm ngang 350 và lần thứ hai người này quan sát tại sân thượng của cùng tòa nhà đó với phương nằm ngang 150

(như hình vẽ) Tính chiều cao ngọn núi biết rằng tòa nhà cao 60 m 

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG 1 ĐỊNH LÝ COSIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ COSIN ĐỂ GIẢI TOÁN

A a2b2 c2 2 cosbc A B a2 b2 c2 2 cosbc A

C a2b2 c2 2 cosbc C D a2 b2 c2 2 cosbc B

Câu 2 Cho tam giác ABC, có độ dài ba cạnh là BC a AC b AB c ,  ,  Gọi m a là độ dài đường trung

tuyến kẻ từ đỉnh , là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và là diện tích tam giác đó A R S

Mệnh đề nào sau đây sai?

2

a

b c a

  a2 b2 c2 2 cosbc A

4

abc S R

a b c

R

A B  C 

Câu 3. Cho tam giác ABC có a 8,b 10, góc bằng C 600 Độ dài cạnh là?c

Câu 4. Cho ABCcó b 6,c 8, A 60 0 Độ dài cạnh là:a

A 2 13 B 3 12 C 2 37 D 20.

Câu 5. Cho ABC có B60 ,0 a8,c5 Độ dài cạnh bằng:b

Câu 6 Cho ABC có AB9;BC8;B 60  0 Tính độ dài AC

Câu 7 Cho tam giác ABC có AB2,AC1 và A60 0 Tính độ dài cạnh BC

Câu 8. Tam giác ABC có a 8,c 3,B  60 0 Độ dài cạnh bằng bao nhiêu?b

Câu 9 Tam giác ABCcó C 150 ,0 BC 3,AC 2 Tính cạnh AB?

Câu 10 Cho a b; ;c là độ dài cạnh của tam giác 3 ABC Biết b7;c5; 4 Tính độ dài của

cos

5

2

23

Câu 11 Cho  30xOy .Gọi A B, là 2 điểm di động lần lượt trên Ox Oy, sao cho AB2 Độ dài lớn

nhất của OB bằng bao nhiêu?

Câu 12 Cho a b; ;c là độ dài cạnh của một tam giác Mệnh đề nào sau đây không đúng?3

A a2ab ac B a2c2 b22ac C b2c2 a22bc D ab bc b  2

Câu 13 Cho tam giác ABC có AB4cm, BC7 cm, AC9cm Tính cos A

3

A  cos 1

2

A cos 1

3

A cos 2

3

A

Câu 14 Cho tam giác ABC có a2b2c2 0 Khi đó:

Câu 15 Cho tam giác ABC thoả mãn: b2c2 a2  3bc Khi đó:

Câu 16 Cho các điểm A(1;1), (2;4), (10; 2).B C  Góc BAC bằng bao nhiêu?

Câu 17 Cho tam giác ABC, biết a 24,b 13,c 15. Tính góc ?A

A 33 34'.0 B 117 49'.0 C 28 37'.0 D 58 24'.0

Câu 18 Cho tam giác ABC, biết a 13,b 14,c 15. Tính góc ?B

A 59 49'.0 B 53 7'.0 C 59 29'.0 D 62 22'.0

Câu 19 Cho tam giác ABC biết độ dài ba cạnh BC CA AB, , lần lượt là a b c, , và thỏa mãn hệ thức

với Khi đó, góc bằng

 2 2  2 2

b b a c c a b c BAC

Câu 20 Tam giác ABC có AB c BC a CA b ,  ,  Các cạnh a b c, , liên hệ với nhau bởi đẳng thức

Khi đó góc bằng bao nhiêu độ

b b a c a c BAC

Câu 21 Cho tam giác ABC vuông cân tại A và M là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho

khi đó góc bằng bao nhiêu?

Câu 22 Cho tam giác ABC, chọn công thức đúng trong các đáp án sau:

A 2 2 2 2 B

a

b c a

a

a c b

m   

a

a b c

4

a

tam giác có độ dài là

Câu 24 Cho tam giác ABC có AB3,BC5 và độ dài đường trung tuyến BM  13 Tính độ dài

AC

Câu 25 Cho ABC vuông ở A, biết C 30 ,  AB3 Tính độ dài trung tuyến AM?

2

7 2

Câu 26 Tam giác ABC có a 6,b 4 2,c 2. M là điểm trên cạnh BC sao cho BM  3 Độ dài đoạn

bằng bao nhiêu?

AM

108 2

mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

4

S a b c S a 2 b2 c2

2

S a b c S 3(a2 b2 c2 )

Câu 28 Cho ABCcó AB2;AC3;A 60 0 Tính độ dài đường phân giác trong góc của tam giác A

ABC

5

6 2 5

6 3 5

6 5

DẠNG 2 ĐỊNH LÝ SIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ SIN ĐỂ GIẢI TOÁN

sin

a

R

2

a A R

a



Câu 30 Cho ABC với các cạnh AB c AC , b BC, a Gọi R r S, , lần lượt là bán kính đường tròn

ngoại tiếp, nội tiếp và diện tích của tam giác ABC Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

4

abc S R



sin

a R

A



2

S  ab C a2 b2c2 2abcosC

Câu 31 Cho tam giác ABC có góc  60BAC  và cạnh BC 3 Tính bán kính của đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC

Câu 32 Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC có AC4 cm, góc  60A   45, B  Độ dài cạnh BC là

Câu 33 Cho ABC có AB5;A 40  B 60;   Độ dài BC gần nhất với kết quả nào?

Câu 34 Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b c  2a Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A cosB cosC 2cos A B sinB sinC 2sin A

C sin sin 1sin D

2

Câu 35 Tam giác ABC có a 16,8; B56 13'0 ; C 710 Cạnh bằng bao nhiêu?c

Câu 36 Tam giác ABC có A68 12'0 , B 34 44'0 , AB 117. Tính AC?

DẠNG 3 DIỆN TÍCH TAM GIÁC, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN

Câu 37 Chọn công thức đúng trong các đáp án sau:

2

2

2

2

S bc B

Câu 38 Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng Góc a BAD 30  Diện tích hình thoi ABCD là

2 4

2

2

a

Câu 39 Tính diện tích tam giác ABC biết AB3,BC 5,CA6

Câu 40 Cho ABCcó a6,b8,c10 Diện tích của tam giác trên là:S

Câu 41 Cho ABCcó a4,c5,B150 0 Diện tích của tam giác là:

Câu 42 Một tam giác có ba cạnh là 13,14,15 Diện tích tam giác bằng bao nhiêu?

Câu 43 Cho các điểm A(1; 2), ( 2;3), (0;4)  B  C Diện tích ABC bằng bao nhiêu?

13 4

Câu 44 Cho tam giác ABC có A(1; 1), (3; 3), (6;0)  B  C Diện tích ABC là

Câu 45 Cho tam giác ABC có a 4,b 6,c 8 Khi đó diện tích của tam giác là:

3

Câu 46 Cho tam giác ABC Biết AB2; BC3 và  60ABC  Tính chu vi và diện tích tam giác

ABC

A 5 7và 3 B và

2

C 5 7và 3 3 D và

2

Câu 47 Tam giácABC có các trung tuyến m a 15,m b 12,m c 9.Diện tích S của tam giácABC bằng

5

b c A h a ABC

Câu 49 Cho tam giác ABC có AB2 ;a AC 4a và BAC 120  Tính diện tích tam giác ABC?

Câu 50 Cho tam giác ABC đều cạnh Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác a ABC bằng

2

3

4

2

a