Chương I: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Chủ đề 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Phương pháp: +Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông b
Trang 1Chương I: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Chủ đề 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Phương pháp:
+Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh
góc vuông bằng tích của cạnh huyền với hình chiếu
của cạnh góc vuông đó lên cạnh huyền
+ Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng
tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền
Công thức: 2
' '
+ Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền
với đường cao tương ứng
Công thức: ah=bc
+ Trong một tam giác vuông, nghịch đảo bình phương đường cao bằng tổng các
nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông
Công thức: 2 2 2
Hướng dẫn giải
Bài tập mẫu 1: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, đường cao AH
Biết: BH = 9cm CH, = 16cm
a Tính độ dài các cạnh AB, AC b Tính chiều cao AH
Trang 2a Ta có BC=BH+HC= +9 16=25(cm)
Tam giác ABC vuông ở A, AH ⊥BC(theo giả thiết) Sử dụng hệ thức về góc
vuông và hình chiếu của nó lên cạnh huyền ta có :
2
2
Từ đây suy ra AC= 400 = 20( )cm
Chú ý: Sau khi tính được AB (hoặc AC) ta có thể sử dụng định lý Pitago để tính
cạnh còn lại
b Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao thuộc cạnh huyền và hai hình chiếu của
hai góc vuông trên cạnh huyền
Cách khác: Trong tam giác vuông ABH, theo Pitago
Ta có : 2 2 2 2 2
Hướng dẫn giải
a Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác vuông AHB vuông tại H
Ta có: 2 2 2 2 2
6 4, 5 56, 25
Bài tập mẫu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH
a Biết AH = 6cm, BH = 4,5cm, Tính AB, AC, BC,HC
b Biết AB = 6cm, BH = 3cm, Tính AH,AC,CH
Trang 3Suy ra: AB= 56, 25 = 7, 5( )cm
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC vuông tại A, AH là chiều
cao ta được: 2 2 2
Suy ra :
7, 5 6 2025 100
AB AH
AC AH AB AB AH
Vậy: 2
100
AC = hay nói cách khác: AC= 100 = 10( )cm
Theo định lý Pi-Ta-Go ta có: 2 2 2 2 2
7, 5 10 156, 25
Suy ra : BC= 156, 25 = 12, 5( )cm
Theo hệ thức lượng trong tam giác ta có: 2
.
8
12, 5
AC
BC
b Trong tam giác vuông ABH vuông tại H
Ta có: 2 2 2
Vậy: AH = 27 ≈ 5, 2( )cm
Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, AH là đường cao ta có: 2 2 2
Suy ra
Mặt khác: 2 2 2
36 108 144
Trang 4Áp dụng hệ thức lượng ta có: 2 2 108 ( )
12
AC
BC
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác AHB vuông tại H
Ta có: 2 2 2 2 2
Vậy: AB= 225 = 15( )cm
Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, AH là đường cao ta có: 2 2 2
Suy ra
Tam giác ABC là tam giác vuông tại A, AB và AC là hai cạnh góc vuông của tam
Hướng dẫn giải
Bài tập mẫu 4: Cho tam giác ABC, biết BC = 7,5 cm, CA= 4,5cm, AB= 6cm
a Tam giác ABC là tam giác gì? Tính đường cao AH của tam giác ABC ;
b Tính độ dài các đoạn thẳng BH, CH
Bài tập mẫu 3: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, đường cao AH, tính
diện tích tam giác ABC, biết AH = 12cm, BH = 9cm
Trang 5a Tam giác ABC là tam giác vuông
Thật vậy : 2 2 2
7, 5 = 4, 5 + 6 ⇔ 5625 = 5625 Thỏa mãn hệ thức 2 2 2
Do đó ∆ABC là tam giác vuông tại A Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, AH là đường cao ta có:
6 4, 5 729 12, 96
AB AC
AH AB AC AB AC
Vậy 2
12, 96
AH = ⇒ AH = 12, 96 = 3, 6( )cm
b Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác AHB vuông tại H ta được:
6 3, 6 23, 04
AB = AH +BH ⇒BH = AB −AH = − =
Do đó: BH = 23, 04 = 4,8( )cm
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho ∆AHC vuông tại H ta được:AC2 = AH2 +HC2
4, 5 3, 6 7, 29
HC AC AH
Hướng dẫn giải
Không mất tính tổng quát gọi các cạnh của tam giác vuông có độ dài lần lượt như
hình vẽ
Áp dụng hệ thức lương trong tam giác vuông ABC vuông tại B, AH là đường cao
Bài tập mẫu 5: Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông lần lượt là 7 và
24 Kẻ đường cao ứng với cạnh huyền Tính độ dài đường cao và các đoạn
thẳng mà đường cao đó chia ra trên cạnh huyền
Trang 6Ta được:
.
+
2 2
7 24 28224 45,1584
+
45,1584
Do đó: AH = 45,1584 =6, 72
Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành các đoạn HB, HC
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vuông AHC vuông tại H, ta có:
24 6, 72 530,8416
AC =AH +HC ⇔HC = AC −AH = − = ⇒ HC= 530,8416=23, 04
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vuông AHB vuông tại H, ta có:
7 6, 72 3, 8416
AB = AH +BH ⇔BH = AB −AH = − = ⇒ BH = 3, 8416 = 1, 96( )cm
Hướng dẫn giải
Không mất tính tổng quát gọi các cạnh của tam giác vuông có độ dài lần lượt như
hình vẽ
Gọi độ dài của AB=x cm( ), khi đó độ dài của 5 ( )
12
Do tam giác ABC là tam giác vuông tại A nên áp dụng định lý Pi-Ta-Go ta được:
2
Bài tập mẫu 6: Cho một tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vuông là 5
12, cạnh huyền là 26cm Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của cạnh
góc vuông trên cạnh huyền
Trang 72 169 2
144
⇔ = ⇔ = ⇔ x= 576 = 24( )cm
Vậy AB= 24(cm) và AC = 5 ( )
.24 10 12
cm
Ta lại có
.
+
2 2
24 10 57600 14400
+
Nên: 14400 120( )
169 13
AH = = cm
Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành các đoạn HB, HC
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vuông AHC vuông tại H ta có:
2
10
Do đó: 2500 50 ( )
3,85
169 13
HC= = ≈ cm
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vuông AHB vuông tại H ta có:
2
24
Do đó: 82944 288 ( )
22,15
169 13
Bài tập mẫu 7: Cho tam giác ABC vuông ở A Biết 5
7
AB
AC= , đường cao
AH = 15cm Tính HB, HC
Trang 8Hướng dẫn giải
AB
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
ta có : 2 2 2
.
+
=
2
2
4 2
1
5
7
AC
Do đó:
2 2
666
AC
Suy ra: 5 5.25,81 18, 44( )
Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành các đoạn HB, HC
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vuông AHC vuông tại H
666 225 441
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vuông AHB vuông tại H
18, 44 15 115, 0336
Do đó: BH = 115, 0336 ≈ 10, 73( )cm
Bài tập mẫu 8: Cho hình thang cân ABCD (AB// CD), biết AB=26cm, AD
=10cm và đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC Tính diện tích của
hình thang ABCD
Trang 9Hướng dẫn giải
Gọi các đỉnh của hình thang cân như hình vẽ
Hạ chiều cao CH của hình thang cân ABCD
Do ABCD là hình thang cân nên:AD=CB=10( )cm
Mặt khác: tam giác ACB là tam giác vuông tại C(theo giả thiết )
Do đó: Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác ACB ta có:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACB, với CH là đường cao ta được:
9, 23 676
26
CB
AB
Mặt khác: DC= AB−2HB=26−2.2,85=20, 3( )cm
Nên diện tích hình thang cân ABCD là: 20,3 26 ( )2
Hướng dẫn giải
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :
12 16 36864
+
Bài tập mẫu 9: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 12cm, AC =16cm, phân
giác AD, đường cao AH Tính độ dài các đoạn thẳng HB, HD, HC
Trang 10Vậy: 2 36864 36864 ( )
9, 6
AH = ⇒AH = = cm
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong ∆ABC , ta được:
Ta lại có: 2 2 122 144 ( )
AB
BC
20
AC
BC
Theo tính chất của đường phân giác ta được: DB DC ( )1
Mà DC =BC−BD (2)
Thay (2) vào (1) ta được hệ thức: 20
16BD 20 BD 12 16BD 240 12BD 28BD 240 BD 8, 57 cm
Nhìn vào hình vẽ ta được: HD=BD−BH ≈8, 57−7, 2≈1, 37( )cm
Hướng dẫn giải
Ta có: BC=BD+DC= +15 20=35( )cm
Áp dụng tính chất đường phân giác ta có tỉ lệ thức:
( )
1 4
Bài tập mẫu 10: Cho tam giác ABC vuông ở A, phân giác AD đường cao AH
Biết BD = 15cm, CD = 20cm Tính độ dài các đoạn thẳng BH, HC
Trang 11Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho ∆ABC vuông tại A ta được: 2 2 2 ( )
2
BC = AB +AC
Thay (1) vào (2) ta được:
2
2
Từ đây suy ra: 3 3 ( )
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC vuông tại A, đường cao AH
Ta có:
Từ đây suy ra: 7056 84 ( )
16,8
25 5
AH = = = cm
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vuông AHC vuông tại H ta có:
28 16,8 501, 76
AC =AH +HC ⇔HC =AC −AH = − = ⇒ HC= 501, 76 = 22, 4( )cm
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vuông AHB vuông tại H ta có:
21 16,8 158, 76
AB = AH +BH ⇔BH = AB −AH = − = ⇒ BH = 158, 76 = 12, 6( )cm
Hướng dẫn giải
4
HB
Bài tập mẫu 11: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH, tính chu vi
của tam giác ABC Biết AH = 14 cm, 1
4
HB
Trang 12Áp dụng hệ thức lượng trong ∆ABC, ta có :
2
4
Vậy HB=7( )cm và HC=28( )cm
Từ đó suy ra: BC=28+ =7 35( )cm
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác AHB vuông tại H, ta có:
AB = AH +HB = + = ⇒ AB≈15, 65( )cm
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác AHC vuông tại H, ta có:
AC =AH +HC = + = ⇒ AC=31, 3( )cm
Do đó: Chu vi tam giác ABC là: C=AB+BC+AC=31, 3 15, 65+ +35=81, 95( )cm
Hướng dẫn giải
a Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho ∆DAB vuông tại A
Ta có: 2 2 2 2 2
Vậy BD= 625 = 25( )cm
Trong tam giác DAB vuông tại A, AO là đường cao của đường thẳng
Bài tập mẫu 12: Cho hình thang vuông ABCD, 0
90
A=D= , AB = 15cm, AD = 20cm Các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau ở O
a Tính độ dài các đoạn thẳng OB, OD b Tính độ dài đường chéo AC
c Tính diện tích hình thang ABCD
Trang 13Nên ta có:
Từ đây suy ra: 90000 300 ( )
12
625 25
OA= = = cm
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác AOD vuông tại O, ta có:
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác AOB vuông tại O, ta có:
b Ta có: AC= AO+OC
Do ABCD là hình thang nên: ∆OBA ∽∆ODC
Từ đó ta có tỉ lệ thức: 12.16 ( )
21, 33 9
Vậy: AC=OA+OC≈ +12 21, 33=33, 33( )cm
c Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác ODC vuông tại O ta có:
16 21, 33 277, 33
DC =OD +OC = + = ⇒ DC = 277, 33 ≈ 16, 65( )cm
ABCD
Hướng dẫn giải
Bài tập mẫu 13: Cho hình chữ nhật ABCD Đường phân giác trong của góc B
cắt đường chéo AC thành hai đoạn lần lượt có độ dài là 42
7m và 55
7m Tính các kích thước của hình chữ nhật
Trang 14Trong ∆ABC gọi BE là đường phân giác của B Theo tính chất của đường phân giác
Ta có: AE CE AE AB ( )1
Thay vào ta được: AE AB
2 4
3 7
5 7
16
AB
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác ABC vuông tại B ta có: AC2 = AB2 +BC2
Xét tỉ số:
4
AC
Mặt khác: 42 55 10
AC=AE+EC= + = Thay vào ta được: BC= 8
BC
AB= = = Vậy các kích thước của hình chữ nhật là 6m và 8m
Hướng dẫn giải
Gọi P P P1 ; 2 ; 3 lần lượt là chu vi của tam giác AHB, CHA và CAB
Dễ thấy: ∆AHB ∽∆CHA
Nên ta có: 1
2
3
CA
+
+
Từ đây ta có các tỉ lệ tương ứng :
Bài tập mẫu 14: Cho ∆ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH Chu vi ∆ABH là
30cm và chu vi của tam giác ACH là 40cm Tính chu vi của tam giác ABC
Trang 15Mặt khác : ∆AHB ∽∆CHA∽ ∆CAB Ta cũng có được: P1 :P2 :P3 =AB AC BC: : = 3 : 4 : 5
Do đó : Khi Chu vi của tam giác ABH là 30cm và chu vi của tam giác ACH là
40cm thì chu vi tam giác ABC là 50cm
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác ABC vuông tại A ta được:
( )
BC = AB +AC = + = ⇒BC= cm
Theo tính chất của đường phân giác ta có hệ thức: AM CM AM AB
AM
Trong tam giác BMN do BM, BN lần lượt là đường phân giác trong và phân giác
ngoài của góc B cua tam giác ABC
Do đó BM ⊥BN ⇒ Tam giác BMN là tam giác vuông tại B
Trong đó AB là đường cao ứng với cạnh huyền MN
BA = AM AN ⇒AN = cm ⇒ ( )
( )
3 2
=
Bài tập mẫu 16: Cho tam giác ABC Từ một điêm M bất kì trong tam giác kẻ
MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các ạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng:
Bài tập mẫu 15: Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB=6cm và
AC=8cm Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt đường thẳng
AC lần lượt là M và N Tính các đoạn thẳng AM và AN
Trang 16Hướng dẫn giải
Ta có biến đổi: 2 2 2
(Do các tam giác BMD, CME, AMF là các tam giácvuông tại D, E, F)
( 2 2) ( 2 2) ( 2 2)
(Do các tam giác CMD, AME, BMF là các tam giác vuông tại D, E, F) (đpcm)
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác vuông ABC vuông tại A ta được:
4 7, 5 72, 25
Do đó: BC = 72, 25 = 8, 5( )cm
Mặt khác: ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC có: 2
.
Suy ra: 2 42 16 ( )
1,88
8, 5 8, 5
AB
BC
Tương tự ta cũng có: 2 2 7,52 56, 25 ( )
8,5 8,5
AC
BC
TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 9 MỚI NHẤT-2019
Bài tập mẫu 17: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB =
4cm, AC = 7,5cm, tính HB, HC
Trang 17Bộ phận bán hàng: 0918.972.605
Đặt mua tại: https://xuctu.com/
Email: sach.toan.online@gmail.com