Môđun thỏa mãn tính chất c3 và một số áp dụng

C3: Nếu hai hạng tử trực tiếp của một môđun giao nhau bằng khôngthì tổng trực tiếp của hai hạng tử đó cũng là một hạng tử trực tiếp.Sau đó, ba điều kiện này đã được Jeremy [12], Takeuchi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

MỞ ĐẦU

Trong [24], tác giả Utumi đã chứng tỏ rằng vành tự nội xạ thỏa mãn

ba điều kiện (C1), (C2), (C3) Trong đó,

(C1): Mọi môđun con của một môđun là cốt yếu trong một hạng tử trựctiếp của nó

(C2): Mọi môđun con đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của một môđuncũng là hạng tử trực tiếp của nó

(C3): Nếu hai hạng tử trực tiếp của một môđun giao nhau bằng khôngthì tổng trực tiếp của hai hạng tử đó cũng là một hạng tử trực tiếp.Sau đó, ba điều kiện này đã được Jeremy [12], Takeuchi [23] và Mohamed,Bouhy [16] tiếp tục nghiên cứu cho môđun Một môđun được gọi là một

C1-môđun (tương ứng C2-môđun,C3-môđun) nếu nó thỏa mãn điều kiện

(C1)(tương ứng (C2),(C3)) Hiện nay nghiên cứu về các lớp môđun thỏađiều kiện C3 đang được các tác giả trong và ngoài nước quan tâm Cáclớp C3-môđun bao gồm: môđun tựa nội xạ và môđun trực tiếp nội xạ,môđun liên tục và môđun tựa liên tục, môđun đều, môđun không phântích được, môđun nửa đơn, và môđun SSP Dựa trên những kết quả chínhcủa bài báo [1] và dưới sự hướng dẫn của TS Lê Đức Thoang tôi chọn đề

tài "Môđun thỏa mãn tính chất C3 và một số áp dụng " làm đềtài luận văn thạc sĩ của mình.

Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận, và Tài liệu tham khảo.Nội dung của luận văn gồm ba chương

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết vành vàmôđun; một số kiến thức liên quan được sử dụng trong luận văn

Chương 2: Một số lớp môđun và vành thỏa mãn tính chất C3.Chương này trình bày

1 Một số lớp môđun thỏa mãn tính chất C3

2 Đặc trưng một số lớp vành thông qua môđun thỏa mãn tính chất C3

Chương 3: Một số áp dụng

Chương này trình bày một số áp dụng

Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình củathầy hướng dẫn TS Lê Đức Thoang, Trường Đại học Phú Yên Nhân dịpnày tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn Chúng tôi xingửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, PhòngĐào tạo Sau Đại học, Khoa Toán - Thống kê cùng quý thầy cô giáo giảngdạy lớp cao học Đại số và Lý thuyết số khóa 20 đã dày công giảng dạytrong suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình họctập và thực hiện đề tài Nhân đây chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn

sự hỗ trợ về mặt tinh thần của gia đình, bạn bè đã luôn tạo mọi điều kiệngiúp đỡ để tôi hoàn thành tốt khóa học và luận văn này.

Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng hết sức của bảnthân, nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinhnghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếusót Tôi rất mong nhận được những góp ý của quý thầy cô giáo để luậnvăn được hoàn thiện hơn

Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại các kiến thức cơ bản cần thiếtcho việc chứng minh trong các chương sau.

1.1 Một số lớp môđun quan trọng

1.1.1 Môđun con cốt yếu, đối cốt yếu

Định nghĩa 1.1.1 Môđun conN của môđunM được gọi là cốt yếu trong

M, ký hiệu N ⊆ess M, nếu N ∩ K 6= 0 với mọi môđun con khác không

K của M Nếu N là môđun con cốt yếu của M thì ta nói rằng M là mởrộng cốt yếu của N

Ví dụ 1.1.2.

1 Với mỗi môđun M, ta đều có M ⊆ess M

2 Xem vành các số nguyên Z như môđun trên chính nó Khi đó,nZ ⊆ess

Định nghĩa 1.1.6 Môđun con A của M được gọi là đối cốt yếu, ký hiệu

là A ⊆sm M, nếu với mỗi môđun con E 6= M ta đều có A + E 6= M (mộtcách khác tương đương, A + E = M ⇒ E = M)

Ví dụ 1.1.7 Với mỗi môđun M, ta đều có 0 ⊆sm M

Định nghĩa 1.1.8 Toàn cấu ϕ : A → C được gọi là đối cốt yếu nếu

Kerϕ là môđun con đối cốt yếu trong A

Mệnh đề 1.1.9 (Luật Modular) Nếu B, C, D là những môđun con của

R-môđun M và C ⊆ B thì

(D + C) ∩ B = (D ∩ B) + C

Xét các điều kiện sau:

(C1): Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếpcủa M

(C2): Với mọi môđun con A, B của M, nếu A ∼= B và B ⊆⊕ M, thì

A ⊆⊕ M

(C3): Nếu A, B là các môđun con của M với A ⊆⊕ M, B ⊆⊕ M và

A ∩ B = 0, thì A ⊕ B ⊆⊕ M

Định nghĩa 1.1.10

(i ) Một môđun M được gọi là một C1-môđun (hay CS-môđun) nếu M

thỏa điều kiện (C1)

(ii ) Một môđun M được gọi là C2-môđun (hay môđun trực tiếp nội xạ)nếu M thỏa điều kiện (C2)

(iii ) Một môđun M được gọi là C3-môđun nếu M thỏa điều kiện (C3)

Ví dụ 1.1.11 Z-môđun Z2 và Z8 thỏa điều kiện (C1), (C2), (C3).Định nghĩa 1.1.12 Một vành R được gọi là vành C1 phải (tương ứng,vành C2 phải, C3 phải) nếu R-môđun phải RR là C1-môđun (tương ứng,

C2-môđun, C3-môđun)

1.1.2 Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh

Định nghĩa 1.1.13 Môđun MR được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu

f : A → M và mỗi đơn cấu g : A → B của những R-môđun, tồn tại mộtđồng cấu h : B → M sao cho f = hg, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán:

-Định lý 1.1.14 (Tiêu chuẩn Baer) Một R-môđun N là nội xạ khi và chỉkhi mọi đồng cấu f : I → N từ một iđêan I của R vào N đều được mởrộng thành R-đồng cấu γ : R −→ N Nghĩa là biểu đồ sau giao hoán:

(2) Mỗi đơn cấu φ : Q → B là chẻ ra

Định nghĩa 1.1.18 Cho môđunAR Đơn cấu α : A −→ Q gọi là bao nội

xạ của A nếu Q là môđun nội xạ và α là đơn cấu cốt yếu

Khi α : A −→ Q là bao nội xạ ta cũng thường gọi môđun Q là bao nội

xạ của A nếu như điều đó không dẫn tới một hiểu nhầm nào, và ký hiệu

Q = E(A)

Ví dụ 1.1.19 Đơn cấu chính tắc i : ZZ −→ QZ là bao nội xạ của Z bởi

vì QZ và ZZ là môđun con cốt yếu trong QZ

Định nghĩa 1.1.20 Một vành R được gọi là vành V phải nếu mọi Rmôđun đơn phải là nội xạ, tương đương, nếurad(M ) = 0với mọiR-môđunphải M

-Định nghĩa 1.1.21 Môđun MR được gọi là xạ ảnh nếu mỗi đồng cấu

f : M → B và mỗi toàn cấu g : A → B của những R-môđun, tồn tại mộtđồng cấu h : M → A sao cho g ◦ h = f, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán:

Mệnh đề 1.1.24 Mọi môđun tự do trên R đều xạ ảnh.

Mệnh đề 1.1.25 Môđun P là xạ ảnh nếu và chỉ nếu nó là một hạng tửtrực tiếp của một môđun tự do (nghĩa là F = P ⊕ Q, trong đó F tự do)

1.1.3 Môđun Artin, Noether

Định nghĩa 1.1.26

(i ) Một họ các tập con {Ci}i=1 của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điềukiện dây chuyền tăng (viết tắt là ACC) nếu trong họ không tồn tạimột dây chuyền vô hạn, tăng nghiêm ngặt:

Ci1 ⊂ Ci2 ⊂

(ii ) Một họ các tập con {Ci}i=1 của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điềukiện dây chuyền giảm (viết tắt là DCC) nếu trong họ không tồn tạimột dây chuyền vô hạn, giảm nghiêm ngặt:

Ci1 ⊃ Ci2 ⊃

Định nghĩa 1.1.27 Cho M là một R-môđun Ta nói M là Noether(Artin) nếu họ tất cả các môđun con của M thỏa mãn ACC (DCC).Định lý 1.1.28 Xét tổng trực tiếp M =

n

L

i=1

Mi của các R-môđun Khi

đó M là Noether (Artin) nếu và chỉ nếu Mi là Noether (Artin) với mọi

i = 1, n

Định nghĩa 1.1.29 Vành R được gọi là vành Noether (Artin) phải (trái)nếu môđun RR (RR) là Noether (Artin)

Mệnh đề 1.1.30 Đối với vành R, các điều sau là tương đương:

(1) Môđun RR Noether;

(2) Mọi tổng trực tiếp của các R-môđun nội xạ phải là nội xạ;

(3) Mọi tổng trực tiếp đếm được của các bao nội xạ của các R-môđun đơnphải là nội xạ

Định nghĩa 1.1.31 Cho M là R-môđun phải (trái, tương ứng) và X làmột tập con khác rỗng của M Tập hợp tất cả các phần tử r ∈ R sao cho

xr = 0 (rx = 0, tương ứng) với mọi x ∈ R được gọi là linh hóa tử phải(trái, tương ứng) của X, ta kí hiệu là r(X) (l(X), tương ứng)

Chú ý: Nếu X = {a} chỉ có một phần tử, khi đó linh hóa tử phải (trái,tương ứng) của X được gọi là linh hóa tử phải (trái, tương ứng) của a vàđược kí hiệu đơn giản là r(a) (t.ư, l(a))

Với môđun MR đã cho ta đặt:

Z (MR) = m ∈ M | mI = 0, với I là iđêan phải cốt yếu của R

= {m ∈ M | r (m) ⊆ess RR}

Ta có Z(MR) là một môđun con của MR và được gọi là môđun con suybiến của MR Nếu MR = Z(MR) thì MR được gọi là môđun suy biến, cònnếu Z(MR) = 0 thì MR được gọi là môđun không suy biến

Mệnh đề 1.1.32 Cho R là một vành và A là một iđêan của R sao cho

R/A thỏa mãn ACC trên linh hóa tử phải Nếu Y1, Y2, là các tập concủa l(A) thì tồn tại n ≥ 1 sao cho r(Yn+1· · · Y1) = r(Yn· · · Y1), trong đó

YiYj = {xy | x ∈ Yi và y ∈ Yj}

Bổ đề 1.1.33 Nếu K ⊆ess M là các môđun thì M/K là suy biến, tức là

Z(M/K) = M/K

Chứng minh NếuK ⊆ess M vàm ∈ M, ta cần chứng minhr(m+K) ⊆ess

RR, tức là bR ∩ r(m + K) 6= 0 với mọi 0 6= b ∈ R Nếu mb = 0 thìchứng minh xong Nếu mb 6= 0 ta có mbR ∩ K 6= 0 (theo giả thiết), thì

0 6= mba ∈ K, a ∈ R Nhưng khi đó 0 6= ba ∈ bR ∩ r(m + K) (đpcm).Định nghĩa 1.1.34 Môđun MR được gọi là trung thành nếu r(M ) = 0,điều này tương đương tồn tại đơn cấu 0 → RR → MR(X) với X là một tậpchỉ số nào đó

M ∈ Mod-R được gọi là một vật sinh của Mod-R nếu tồn tại toàn cấu

M(I) p−→ R → 0 từ tổng trực tiếp của |I| bản sao của R vào M

Một R-môđun M được gọi là Q-tựa nội xạ nếu mọi tích trực tiếp MI

các bản sao của M là tựa nội xạ Một vành R được gọi là di truyền phảinếu mọi môđun con của mộtR-môđun phải xạ ảnh là xạ ảnh, tương đương,nếu mọi môđun thương của một R-môđun phải nội xạ là nội xạ

Mệnh đề 1.1.35 Những điều sau tương đương đối với R-môđun M:(1) M là Q-tựa nội xạ;

(2) M là nội xạ trên R/lR(M )

Định nghĩa 1.1.36 Một môđun M được gọi là P(-đếm được) (tựa) nội

xạ nếu mọi tổng trực tiếp các bản sao (đếm được) của M là (tựa) nội xạ.Tương tự,M được gọi làP(-đếm được) C3-môđun nếu mọi tổng trực tiếpcác bản sao (đếm được) của M là một C3-môđun

Định nghĩa 1.1.37 Một vành R được gọi là vành C2 mạnh phải nếumọi tổng trực tiếp hữu hạn các bản sao củaR-môđun phảiRR là một C2-môđun Nếu mọi tổng trực tiếp hữu hạn (đếm được) các bản sao của RR

là một C3-môđun, thì R sẽ được gọi là một vành C3 mạnh phải (P-đếmđược C3 phải )

Định nghĩa 1.1.38 Một môđun M được gọi là P-(đếm được) (tựa) nội

xạ nếu mọi tổng trực tiếp (đếm được) các bản sao của M là (tựa) nội xạ.Mệnh đề 1.1.39 Đối với R-môđun phải M, những điều sau là tươngđương:

(1) M là P-đếm được nội xạ;

(2) R thỏa mãn ACC đối với các iđêan linh hóa tử phải;

(3) M là P-nội xạ

1.2 Vành chính quy (theo nghĩa von Neumann),

vành nửa hoàn chỉnh và vành hoàn chỉnh

Định nghĩa 1.2.1 Phần tử a của vành R được gọi là chính quy (theonghĩa von Neumann) nếu nó thỏa mãn các điều kiện tương đương sau:(i ) Tồn tại phần tử x ∈ R thỏa mãn axa = a;

(ii ) RR = aR ⊕ T với T là iđêan phải của R;

(iii ) RR = Ra ⊕ L với L là iđêan trái của R

Vành R được gọi là chính quy nếu mọi phần tử của R đều chính quy

Định nghĩa 1.2.2 Giả sử R là một vành.

(i ) e ∈ R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu e2 = e

(ii ) e được gọi là phần tử lũy đẳng tâm nếu e là lũy đẳng và thuộc tâmcủa vành

(iii ) Ta nói hai phần tử lũy đẳng e1, e2 trực giao nếu

e1e2 = 0 = e2e1

Cho vành R và iđêan I củaR Khi đó, nếu với mọi lũy đẳng f¯của vành

thương R/I đều tồn tại lũy đẳng e của vành R sao cho e − f ∈ I thì tagọi các lũy đẳng nâng được môđun I

Định nghĩa 1.2.3 Một iđêan I của R được gọi là T-lũy linh phải nếuvới mỗi dãy các phần tử x1, x2, của I tồn tại một số nguyên dương m

sao cho xmxm−1 x2x1 = 0

Định nghĩa 1.2.4 Vành R được gọi là hoàn chỉnh phải (trái) nếu J (R)

là T-lũy linh phải (trái) và R/J (R) là vành nửa đơn

Nếu R là vành hoàn chỉnh hai phía, ta nói R là hoàn chỉnh

Định nghĩa 1.2.5 Vành R được gọi là nửa hoàn chỉnh nếu R/J (R) lànửa địa phương và các lũy đẳng nâng được modulo J (R)

Định nghĩa 1.2.6 Một vànhR được gọi là nửa nguyên sơ là nếuR/J (R)

là nửa đơn và J (R) là lũy linh

Theo định nghĩa, vành nửa nguyên sơ là vành hoàn chỉnh trái hoặc phải.Vành hoàn chỉnh trái hoặc phải là vành nửa hoàn chỉnh

Định nghĩa 1.2.7 Một R-môđun phải X được gọi là dẹt nếu với mọidãy khớp ngắn các R-môđun trái 0 → M → N → P → 0 thì, dãy

0 → X ⊗ M → X ⊗ N → X ⊗ P → 0

trong đó f∗ = 1 ⊗ f và g∗ = 1 ⊗ g cũng là một dãy khớp ngắn

Ta thấy ngay rằng một môđun X là dẹt khi và chỉ khi với mọi đơn cấu

f : M → N các R-môđun trái, đồng cấu 1 ⊗ f : X ⊗ M → X ⊗ N cũng

(3) Mọi R-môđun dẹt trái là xạ ảnh;

(4) R thỏa mãn DCC đối với các iđêan phải chính;

(5) R không chứa bất kỳ tập vô hạn các phần tử lũy đẳng trực giao kháckhông và mọi R-môđun phải khác không đều chứa môđun con đơn.Mệnh đề 1.2.9 Cho R là một vành hoàn chỉnh Đối với một R-môđun

M những điều sau là tương đương:

(1) M là tựa xạ ảnh;

(2) M là xạ ảnh trên R/lR(M );

(3) M ∼= P/IP, trong đó P là phủ xạ ảnh của M và I là iđêan của R,

Định nghĩa 1.3.3 Một vànhR được gọi là một vành nội xạ đơn trái nếumọi R-đồng cấu từ một iđêan trái đơn của R vào R có thể mở rộng thành

R vào R bởi phép nhân phải của một phần tử thuộc R

1.3.2 Vành nửa đơn

Định nghĩa 1.3.4 Một R môđun được gọi là một R-môđun nửa đơn nếu

nó là tổng của những R-môđun đơn

Định nghĩa 1.3.5 Vành R được gọi là nửa đơn nếu RR (hay RR) làmôđun nửa đơn

Mệnh đề 1.3.6 Đối với vành R các điều sau là tương đương:

(1) R là vành nửa đơn;

(2) Mỗi R-môđun phải (trái) đều là môđun nửa đơn;

(3) Mỗi R-môđun phải (trái) đều là môđun xạ ảnh;

(4) Mỗi R-môđun phải (trái) đều là môđun nội xạ;

(5) Mỗi R-môđun phải (trái) đơn đều là môđun xạ ảnh

Định nghĩa 1.3.7 Vành R được gọi là địa phương nếu R có duy nhấtmột iđêan phải (hoặc trái) cực đại Vành R được gọi là nửa địa phươngnếu vành thương R/J (R) là Artin nửa đơn

1.3.3 Vành QF

Định nghĩa 1.3.8 VànhR được gọi là tựa Frobenius (viết tắt là QF) nếu

R là Artin trái và phải, và R là tự nội xạ trái và phải

Định lý 1.3.9 Cho vành R Những phát biểu sau là tương đương:

(1) R là vành QF;

(2) R là vành Artin phải hoặc trái, tự nội xạ phải hoặc trái;

(3) R là vành Noether phải hoặc trái, tự nội xạ phải hoặc trái;

(4) R thỏa ACC trên các linh hóa tử phải hoặc trái, tự nội xạ phải hoặctrái;

(5) R là vành Noether phải và trái, rl(T ) = T với mọi iđêan phải T và

lr(L) = L với mọi iđêan trái L

Định lý 1.3.10 Cho vành R Những phát biểu sau là tương đương:(1) R là vành QF;

(2) Mọi R-môđun xạ ảnh phải là nội xạ;

(3) Mọi R-môđun nội xạ phải là xạ ảnh

Mệnh đề 1.3.11 R là vành QF nếu và chỉ nếu R là một vành tự nội xạphải thỏa mãn ACC đối với linh hóa tử phải

Chương 2

MỘT SỐ LỚP MÔĐUN VÀ VÀNH THỎA MÃN TÍNH CHẤT C3

Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu khái niệm và tính chất của một

số lớp môđun và vành thỏa mãn tính chất C3 Các kết quả trong chươngnày chủ yếu được tham khảo từ tài liệu [2], [3], [6], [7], [10], [11], [13], [14],[17], [19], [25]và [27]

2.1 Một số lớp môđun thỏa mãn tính chất C3

Các điều kiện (C1), (C2), (C3) đã được định nghĩa ở Chương 1 Trướctiên, ta sẽ thảo luận về quan hệ giữa các điều kiện (C1), (C2), (C3).Mệnh đề 2.1.1 Nếu môđun M thỏa điều kiện (C2) thì M thỏa điều kiện

đó suy ra πb = a0 ∈ A0, do đó πB ⊆ A0.

Rõ ràng π : B → πB là đẳng cấu Do đó để chứng minh A ⊕ B ⊆⊕ M

ta chỉ cần chứng minh A ⊕ πB ⊆⊕ M

Vì M thỏa điều kiện (C2) mà B ⊆⊕ M, πB ∼= B nên πB ⊆⊕ M Từ

πB ⊆ A0 suy ra A0 = πB ⊕ V với V là một môđun con nào đó của A0.Vậy M = A ⊕ πB ⊕ V

Như vậy, C2-môđun là một C3-môđun

Ta có biểu đồ về mối quan hệ giữa các Ci-môđun, với 1 ≤ i ≤ 3

-C3-môđun

H H H H H H J

H H H H H H

Ví dụ 2.1.2 Z-môđun Z thỏa mãn cả điều kiện(C1)và(C3)nhưng khôngthỏa điều kiện(C2) Tuy nhiên, nếuF là một trường, giả sửR =

-nhưng không thỏa điều kiện (C3)

Mệnh đề 2.1.4 Môđun tựa nội xạ M thỏa mãn các điều kiện (C1) và

(C2)

Chứng minh Trước tiên ta chứng minhf (M ) ⊆ M với mọif ∈ EndE(M ).

Vì E(M ) là nội xạ nên ta xét f ∈ Hom(M, E(M ))

Ta có x = h(y) − f (y) = f (y) − f (y) = 0 nên M ∩ (h − f )M = 0 và do

đó (h − f )M = 0 vì M ⊆ess E(M ) Vậy f M = hM ⊆ M

Gọi N là một môđun con của M Ta có E(M ) = E1 ⊕ E2 trong đó E1 =E(N ) Vìf (M ) ⊆ M với mọi f ∈ EndE(M ) nên M = M ∩ E1⊕ M ∩ E2.Gọi U là môđun con khác không của M ∩ E1, ta có U là môđun con của

E1, mà U ⊆ess E1 nên N ∩ U 6= 0, do đó N ⊆ess M ∩ E1 Vậy M thỏađiều kiện (C1)

Giả sử A ⊆ M, A ∼= B và B ⊆⊕ M ta cần chứng minh A ⊆⊕ M Thậtvậy, ta có đơn cấu f : B → M sao cho Imf = A Vì M là tựa nội xạ và

B ⊆⊕ M nên B là M-nội xạ Từ đó suy ra tồn tại đồng cấu g : M → B

sao cho gf = idB Ta có M = Imf ⊕ Kerg = A ⊕ Kerg hay A ⊆⊕ M

Vậy M thỏa điều kiện (C2).

Như vậy, môđun tựa nội xạ là một Ci-môđun, với 1 ≤ i ≤ 3

Ngoài các môđun tựa nội xạ và môđun trực tiếp nội xạ, còn có cácmôđun C3 gồm môđun liên tục, môđun tựa liên tục, môđun đều, môđunkhông phân tích được, môđun nửa đơn, và môđun SSP

Định nghĩa 2.1.5 Một R-môđun được gọi là liên tục nếu nó thỏa mãnđiều kiện (C1) và (C2)

Định nghĩa 2.1.6 Một R-môđun được gọi là tựa liên tục nếu nó thỏamãn điều kiện (C1) và (C3)

Ta có sơ đồ sau về mối quan hệ của các môđun:

Nội xạ //tựa nội xạ //liên tục

2 Z-môđun Q là môđun không phân tích được vì nó chỉ có hai hạng tửtrực tiếp là môđun con 0 và bản thân Q.

Định nghĩa 2.1.11 Một R-môđun M được gọi là SSP (summand sumproperty) nếu tổng của hai hạng tử trực tiếp bất kỳ của M cũng là mộthạng tử trực tiếp của M

Trước khi đến với các tính chất đặc trưng của các C3-môđun, ta cần

bổ đề sau đây để sử dụng xuyên suốt trong luận văn này

Bổ đề 2.1.12 Hạng tử trực tiếp của mộtCi-môđun cũng là một Ci-môđunvới 1 ≤ i ≤ 3

Chứng minh Ta sẽ chứng minh mọi hạng tử trực tiếp của C1-môđun làmột C1-môđun Giả sử M là C1-môđun và N là hạng tử trực tiếp của

M Ta chỉ cần chứng minh N cũng là C1-môđun Xét T là môđun conđóng trong N Theo 1.1.5 ta có T đóng trong M Vì M là C1-môđun nên

T ⊆⊕ M, nghĩa là M = T ⊕ X với môđun con X nào đó của M

Theo luật modular, ta có N = N ∩ M = N ∩ (T ⊕ X) = T ⊕ (N ∩ X)

Do đó T ⊆⊕ N Bởi vậy N cũng là C1-môđun

Bây giờ ta sẽ chứng minh mọi hạng tử trực tiếp của C2-môđun là một

C2-môđun Giả sử M là C2-môđun và L là hạng tử trực tiếp của M Tachứng minh L cũng là C2-môđun Xét B ⊆⊕ L, A ∼= B với A ⊆ L ta chỉcần chứng minhA ⊆⊕ L Thật vậy, vì B ⊆⊕ L nên L = B ⊕ X với X ⊆ L

và L ⊆⊕ M nên M = L ⊕ Y với Y ⊆ M Từ đó suy ra M = B ⊕ X ⊕ Y

Vì M là một C2-môđun, B ⊆⊕ M và A ∼= B nên A ⊆⊕ M Do đó

M = A ⊕ Z Theo luật modular ta có

L = M ∩ L = (A ⊕ Z) ∩ L = A ⊕ (Z ∩ L)

Vậy A ⊆⊕ L.

Tiếp theo ta sẽ chứng minh mọi hạng tử trực tiếp của C3-môđun là một

C3-môđun Giả sử M là C3-môđun và K là hạng tử trực tiếp của M Tachứng minh K cũng là C3-môđun Xét E ⊆⊕ K, F ⊆⊕ và E ∩ F = 0 tachỉ cần chứng minhE ⊕ F ⊆⊕ K Thật vậy, vì K ⊆⊕ M nên M = K ⊕ H

với H ⊆ M và E ⊆⊕ K, F ⊆⊕ nên K = E ⊕ C = F ⊕ D Từ đó suy ra

M = E ⊕ C ⊕ H = F ⊕ D ⊕ H do đó E ⊆⊕ M, F ⊆⊕ M Hơn nữa M làmột C3-môđun và E ∩ F = 0 nên E ⊕ F ⊆⊕ M Do đó M = E ⊕ F ⊕ U

sao cho M = A ⊕ B ⊕ T Đặt A1 = A ⊕ T và B1 = B ⊕ T Khi đó ta có

M = A1 ⊕ B = A ⊕ B1 với các môđun con A1 ⊇ A và B1 ⊇ B (đpcm)

(2) ⇒ (1) Giả sử A ⊆⊕ M, B ⊆⊕ M và A ∩ B = 0 Theo giả thuyết,

ta có M = A1 ⊕ B = A ⊕ B1 với các môđun con A1 ⊇ A và B1 ⊇ B.Khi đó, B1 = B1 ∩ M = B1 ∩ (A1 ⊕ B) = B ⊕ (A1 ∩ B1) Do đó,

M = A ⊕ B1 = A ⊕ B ⊕ (A1 ∩ B1) (đpcm)

(1) ⇒ (3) Vì A ∩ B ⊆⊕ M, nên M = (A ∩ B) ⊕ K với một môđuncon K ⊆ M Ta có, A = A ∩ M = (A ∩ B) ⊕ (A ∩ K) và B = B ∩ M =(A∩B)⊕(B ∩K) Vì M là mộtC3-môđun,(A∩K) ⊆⊕ M,(B ∩K) ⊆⊕ và

(A ∩ K) ∩ (B ∩ K) = (A ∩ B) ∩ K = 0nên T =: (A ∩ K) ⊕ (B ∩ K) ⊆⊕ M.Hơn nữa, T ⊆⊕ M, (A ∩ B) ⊆⊕ M và (A ∩ B) ∩ T = 0 Từ đó suy ra

(A ∩ B) ⊕ T ⊆⊕ M Khi đó, A + B = [(A ∩ B) ⊕ (A ∩ K)] + [(A ∩ B) ⊕(B ∩ K)] = (A ∩ B) ⊕ (A ∩ K) ⊕ (B ∩ K) = (A ∩ B) ⊕ T ⊆⊕ M (đpcm).(3) ⇒ (1) Dễ thấy

Mệnh đề 2.1.14 Nếu M là một C3-môđun, M = A1 ⊕ A2 với cácmôđun con A1, A2 và f : A1 → A2 là một R-đồng cấu với kerf ⊆⊕ A1,thì Imf ⊆⊕ A2

Chứng minh Trước tiên ta chứng minh rằng nếu f : A1 → A2 là một

R-đơn cấu, thì Imf ⊆⊕ A2

Giả sử T = {a + f (a) : a ∈ A1} là môđun con của M Ta chứng minh

M = T ⊕ A2 Thật vậy, x ∈ M thì x = a + b với a ∈ A1 và b ∈ A2 Khi đó

x = a + f (a) − f (a) + b ∈ T + A2 và do đó M = T + A2 Nếux ∈ T ∩ A2,thì x = a + f (a) với a ∈ A1, tương đương a = x − f (a) ∈ A1 ∩ A2 = 0

Rõ ràng, x = 0, M = T ⊕ A2 và T ⊆⊕ M

Tiếp theo, ta chứng minh A1 ∩ T = 0 Nếu x ∈ A1 ∩ T thì x = a + f (a),với a ∈ A1 và tương đương, x − a = f (a) ∈ A1 ∩ A2 = 0 Vì f là một đơn

cấu nên a = 0 và do đó x = 0.

Vì M là một C3-môđun nên A1 ⊕ T ⊆⊕ M

Cuối cùng, ta chứng minh A1 ⊕ T = A1 ⊕ Imf

Nếu x ∈ Imf thì x = f (a), a ∈ A1 nên x = −a + a + f (a) ∈ A1+ T Bởivậy A1 ⊕ T = A1 ⊕ Imf

Vì A1 ⊕ T ⊆⊕ M nên Imf ⊆⊕ M và do đó Imf ⊆⊕ A2 Khi đó, giả

sử f : A1 → A2 là R-đồng cấu với Kerf ⊆⊕ A1 Nếu A1 = Kerf ⊕ B

với B ⊆ A1 thì M = A1 ⊕ A2 = Kerf ⊕ B ⊕ A2, và ánh xạ han chế

f |B: B → A2 là một đơn cấu Vì hạng tử trực tiếp của một C3-môđuncũng là một C3-môđun, nên B ⊕ A2 là một C3-môđun Do đó, áp dụngchứng minh trên suy ra Imf = Imf |B⊆⊕ A2 (đpcm)

Hệ quả 2.1.15 Nếu M là một C3-môđun, M = A1 ⊕ A2 với các môđuncon A1, A2 và f : A1 → A2 là một R-đơn cấu, thì Imf ⊆⊕ A2

Ví dụ sau chứng tỏ tổng trực tiếp của hai C3-môđun không nhất thiết

là một C3-môđun

Ví dụ 2.1.16 Vì Z-đơn cấu 0 → 2Z → Z không chẻ ra, nên Z-môđun

M = Z⊕2Z không là mộtC3-môđun, trong khi Z và2Z là mộtC3-môđun

Hệ quả 2.1.17 Nếu M ⊕ M là một C3-môđun, thì M là một C2-môđun

Chứng minh Giả sử M1 ⊆⊕ M, M1 ∼= M

2 ta cần chứng minh M2 ⊆⊕ M.Đặt φ : M1 → M2 là một đẳng cấu và giả sử M = M1⊕ K với K ⊆ M.Khi đó M ⊕ M = (M1 ⊕ 0) ⊕ (K ⊕ M )

Ta xét đồng cấu sau đây

¯

φ :M1 ⊕ 0 → K ⊕ M(m1, 0) 7→ (0, φ(m1))

2.2 Đặc trưng một số lớp vành thông qua môđun

thỏa mãn tính chất C3

Mệnh đề 2.2.1 Cho M là một R-môđun phải, và S = End(MR) Nếu

S là một vành C3 phải, thì M là C3-môđun phải Đặc biệt, nếu Mn(R)

là một vành C3, thì R(n)R là một C3-môđun

Chứng minh Cho A ⊆⊕ M, B ⊆⊕ M và A ∩ B = 0, ta cần chứngminh A ⊕ B ⊆⊕ M Giả sử e2 = e ∈ S, f2 = f ∈ S sao cho A = eM và

B = f M VìA∩B = 0, nêneS ∩f S = 0và do đóeS ⊕f S ⊆⊕ S NếuS =eS⊕f S⊕gS với phần tử lũy đẳngg ∈ S, thìM = eM ⊕f M ⊕gM,(đpcm).Khẳng định cuối được suy ra từ End(RR(n)) ∼= Mn(R)

Nhận xét 2.2.2 Một vành C3 phải không bất biến Morita Mặt khác,

M2(R) là một vành C3 phải với R là một vành C3 phải, và theo Mệnh

đề 2.2.1, R ⊕ R là một C3-môđun phải Do đó, theo Hệ quả 2.1.17, R làvành C2 Đây là một mâu thuẫn, vì Z là một ví dụ của vành C3 nhưngkhông phải là vành C2

Mệnh đề 2.2.3 Những điều kiện sau đây là tương đương:

(1) R(n)R là một C3-môđun phải với mọi n ≥ 1;

(2) R(n)R là một C2-môđun phải với mọi n ≥ 1;

(3) Mn(R) là một vành C2 phải với mọi n ≥ 1;

(4) Mn(R) là một vành C3 phải với mọi n ≥ 1

Không khó để chứng minh rằng một môđun M là trực tiếp nội xạ nếu

và chỉ nếu A ⊆ M và mọi đơn cấu f : A → M, tồn tại một đồng cấu