Phép tính tenxơ và một số ứng dụng trong cơ học vật rắn biến dạng

Trên cơ sở đó vận dụng các phép tính của tenxơ để xác định các phươngtrình liên hệ biến dạng - chuyển vị, các phương trình cân bằng- chuyển động trong hệ tọa độ cong bất kỳ.. Đồng thờitá

HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-ĐÀO THỊ BÍCH THẢO

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC

KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-ĐÀO THỊ BÍCH THẢO

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long đã tận tìnhhướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi và thường xuyên động viên để tác giả hoànthành luận văn này.

Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo Bộ môn Cơ học, Trường đại học Khoahọc Tự nhiên, ĐHQGHN và các thầy, cô trong Khoa Toán – Cơ – Tin học đã quantâm, giúp đỡ và tạọ điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiêncứu tại Khoa

Tác giả xin cảm ơn các nhà khoa học, các thầy cô giáo trong seminar Cơ học vật rắnbiến dạng đã có những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện luận văn

Tác giả xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ Phòng Sau đại học, Trường Đạihọc Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trìnhnghiên cứu của tác giả

Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và các bạn bè thân thiết của tác giả, nhữngngười đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả

Đào Thị Bích Thảo

MỤC LỤC

TỔNG QUAN 1

Chương 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 3

1.1 Một số khái niệm cơ bản 3

1.2 Phép biến đổi tọa độ 5

1.2.1 Hệ tọa độ Đề các 5

1.2.2 Hệ tọa độ cong 7

1.2.3 Phép biến đổi tọa độ 8

1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide 14

1.3 Thành phần vật lý của tenxơ 20

1.3.1 Tenxơ hạng nhất 20

1.3.2 Tenxơ hạng hai 21

1.3.3 Khai triển cụ thể 21

1.4 Đạo hàm hiệp biến 23

1.4.1 Đạo hàm véctơ cơ sở 23

1.4.2 Kí hiệu Christoffel 25

1.4.3 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất 31

1.4.4 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai 32

Chương 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ 33

2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động 33

2.2 Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị 42

2.3 Ứng dụng tenxơ trong bài toán vỏ mỏng 48

2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi 48

2.3.2 Thành phần biến dạng của vỏ mỏng 49

2.3.3 Phương trình cân bằng 52

2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu 53

Tenxơ là một khái niệm trong toán học phục vụ cho việc thiết lập và giải quyếtcác vấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực như cơ học môi trường liên tục, lý thuyết đànhồi, lý thuyết tương đối rộng… Tenxơ lần đầu tiên được nghiên cứu bởi các nhàtoán học Tullio Levi-Civita và Gregorio Ricci- Curbastro cùng một số nhà toán họckhác Trong luận văn này tenxơ được sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ giữa cáctập véctơ hình học.

Để giải các bài toán trong lý thuyết đàn hồi người ta thường sử dụng hệ cácphương trình cân bằng, phương trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng -chuyển vị Việc thiết lập các phương trình đó dựa trên các hệ tọa độ cong như hệtọa độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tương đối phức tạp Vì vậy trong các bài báo hay cácgiáo trình cơ học nói chung thường chỉ nêu ra trực tiếp phương trình cân bằng, hệthức Côsi mà không nói rõ các bước biến đổi để thu được kết quả

Luận văn trình bày rõ ràng các khái niệm, phép tính cơ bản, các phép biến đổicủa tenxơ Trên cơ sở đó vận dụng các phép tính của tenxơ để xác định các phươngtrình liên hệ biến dạng - chuyển vị, các phương trình cân bằng- chuyển động trong

hệ tọa độ cong bất kỳ Từ kết quả trên sau khi biến đổi, tác giả đã thu được cácphương trình liên hệ biến dạng – chuyển vị cũng như hệ phương trình cân bằngtrong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu

Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chương, phần kết luận và tàiliệu tham khảo Nội dung chính của luận văn bao gồm:

- Chương 1 trình bày khái niệm, thành phần vật lý của tenxơ, một số phép tínhcủa tenxơ và đạo hàm hiệp biến của ten xơ hạng nhất, hạng hai Đồng thờitác giả cũng trình bày cách biến đổi để thu được hệ véctơ cơ sở, tenxơ mêtrichiệp biến và phản biến, các thành phần của kí hiệu Christoffel, hệ số Lamétrong hệ tọa độ cong, cụ thể là hệ tọa độ trụ và cầu, từ đó giúp ích cho việcxác định các phương trình cân bằng- chuyển động, phương trình liên hệ biếndạng- chuyển vị ở chương 2

1

- Chương 2 vận dụng các hệ thức cơ sở của phép tính tenxơ để xây dựng cácphương trình cân bằng- chuyển động và xây dựng các phương trình liên hệ biến dạng- chuyển vị Đồng thời cũng trình bày ứng dụng của tenxơ trong bài toán vỏ mỏng, cụ thể hơn là áp dụng khai triển cho vỏ trụ và vỏ cầu.Nội dung của luận văn sẽ được trình bày chi tiết dưới đây:

2

1.1 Một số khái niệm cơ bản

Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n chỉ số là hệ thống hạng n gồm 3 phần tử Quy ƣớc về chỉ số

Chỉ số trong hệ thống tenxơ tuân theo quy ƣớc: “ Trong một biểu thức, nếu chỉ sốlặp lại 2 lần , nó biểu thị tổng đó từ 1 đến 3” Chỉ số nhƣ vậy là chỉ số câm nên nó

Nếu thay đổi vị trí của 2 chỉ số cho nhau, thành phần của hệ thống chỉ thay đổi dấu

mà không thay đổi giá trị tuyệt đối thì hệ thống là hệ thống phản đối xứng

Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) đƣợc xác định bởi vị trí của chỉ số

Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ hiệp biến hạng hai

Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ phản biến hạng hai

Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ hỗn hợp hạng hai

4

b. Các phép tính đối với tenxơ hạng hai Tenxơ hạng cao

Đối với tenxơ hạng hai và tenxơ hạng cao, các phép tính cũng được thực hiện tương tự như đối với tenxơ hạng nhất

Chú ý là phép tính cộng, trừ chỉ áp dụng được với các tenxơ cùng hạng và cùng loại Phép nhân có thể thực hiện với hai tenxơ có hạng bất kỳ Ví dụ: xét tenxơ hạng hai : =

6

1.2.2 Hệ tọa độ cong

3

1

Lấy điểm

Độ dài bình phương của véc tơ vô cùng nhỏ được xác định bằng

2 =.=

=

Trong đó =

Phép tính đối với vectơ

1.2.3 Phép biến đổi tọa độ

Bán kính của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác

, 1 , 2 , 3

biểu diễn dưới

dạng:

= = = 1 1 + 2 2 + 33

Với các véc tơ cơ sở là không đổi

= 1 , 2 , 3 và = 1 , 2 , 3 Jacôbiên của 2 phép biến đổi thuẩn nghịch đều khác không

Ta có:

Suy ra 2 ma trận

Ta kí hiệu :

8

Các véctơ

hệ véctơ cơ sở hiệp biến của hệ tọa độ cong Trong đó

1 là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ 1 ;

3 là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ 3

Cùng với hệ véctơ cơ sở , ta đưa vào hệ véctơ cơ sở phản biến liên hệ theo hệthức sau

Vậy véctơ được biểu diễn dưới dạng: =

Phép biến đổi đơn trị, thuận nghịch vi phân được từ hệ tọa độ cong này 1 , 2 , 3

sang hệ tọa độ cong khác ′ 1 ; ′ 2 ; ′ 3

Ta kí hiệu là các rêpe địa phương trong hệ tọa độ cong′ 1;′ 2;′ 3.Do đó

′

Khai triển cụ thể sẽ đƣợc kết quả:

độ cong khác, véctơ không đổi

Biểu diễn với các thành phần phản biến

= ′ ′

Biểu diễn cụ thể (1.14) như sau

Đối với tenxơ hạng haiMột tenxơ hạng hai bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng:

=

=

=

(1.15)

Trong đó là các thành phần 2 lần phản biến của tenxơ

là các thành phần 2 lần hiệp biến của tenxơ

là các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến của tenxơ

Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ

cong khác với cơ sở

′ 12, ′ 13, ′ 21 , ′ 23, ′ 31,

′ 32 Ví dụ nếu khai triển chi tiết thành phần ′

11 ta sẽ được

′ 31 ; ′ 23 = ′ 32

Nếu biểu diễn dưới dạng các thành phần hiệp biến, tenxơ bậc 2

sẽ có dạng:

Hệ thống ′ gồm có 9 phần tử ′

trong đó ′

Ví dụ, ta khai triển chi tiết 1 phần tử sẽ đƣợc:

Biểu diễn tenxơ hạng 2 với các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến:

có thể biểu diễn thông qua

(1.20)

13

Thực hiện tương tự, nhân hai vế của ( 1.23) với 2 sẽ có

Nhân 2 vế của ( 1.23) với 3

Thay 1 , 2 , 3 vào ( 1.23)

Hay

Từ ( 1.22) và ( 1.24) ta có phép nâng, hạ chỉ số như sau:

1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide

a. Tenxơ mêtric hiệp biến

Xét trong hệ tọa độ Đềcác Gọi 2 là độ dài bình phương của véctơ vô cùng nhỏ là

Trong đó = là tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cong

Từ biểu thức ( 1.25) ta biến đổi

b. Xác định tenxơ mêtric phản biến.

Hệ véctơ cơ sở phản biến liên hệ với các véctơ cơ sở hiệp biến qua biểu thức

Với hệ cơ sở , ,đã biết ta xác định đƣợc

16

Trong hệ tọa độ cầu (Hình 4)

Phép biến đổi tọa độ:

Tương tự như trên ta có thể xác định được thành phần vật lý của tenxơ hạng bất kỳ.

21

22

1.4 Đạo hàm hiệp biến

1.4.1 Đạo hàm véctơ cơ sở

Sử dụng công thức (1.3) thu đƣợc đạo hàm hiệp biến của véctơ cơ sở

Ta biểu thị , qua các véctơ cơ sở nhƣ sau :

1 Tiến hành tương tự, ta nhân lần lượt hai vế của (1.41) với 2, 3 sẽ thu được

Đạo hàm theo biến

Ta thay

1.4.2 Kí hiệu Christoffel

=

(1.44)(1.45)

Kí hiệu Christoffel đãđƣợc xuất hiện ở biểu thức(1.39) Và trong mục này

sẽ đi vào xác định cácthành phần của kí hiệu đóthông qua tenxơ mêtríc vàđạo hàm véctơ cơ sở

Đạo hàm véctơ cơ sở phản biến

Để xác định đạo hàm véctơ cở sở phản biến

Thay (1.53) vào (1.50) ta nhận đƣợc:

= 0

+ Γ(1.53)

(1.54)

26

Suy ra ===0

Thay vào công thức (1.47) suy ra: Γ = 0

ThayΓ

27

Để tính các thành phần của kí hiệu Christoffel trong hệ tọa độ trụ và cầu, ta sử dụng bảng giá trị ở bảng 1, ta tính ra

Trong hệ tọa độ trụ,cầu có 27 thành phần Γ nhƣng do tính chất Γ = Γ ; Γ = Γ (9 cặp) nên ta chỉ cần tính 18 thành phần Christoffel Trong hệ tọa

độ trụ ( Christoffel loại haiΓ )

Các thành phần khác bằng 0.

30

1.4.3 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất

Trong hệ tọa độ cong với các véctơ cơ sở tạo thành rêpe địa phương thay đổi tại từng điểm

Biểu thức (1.63) là đạo hàm hiệp biến của tenxơ phản biến hạng nhất đối với biến

số trong hệ tọa độ cong

gọi là vi phân tuyệt đối của thành phầnTrong trường hợp rêpe cố định

Xét véctơ với các thành phần hiệp biến

Lấy vi phân hai vế của véctơ

=

Sử dụng biểu thức (1.54):

=.−Γ=

=

là đạo hàm biệp biến của ten xơ hạng nhất a

Vậy:

1.4.4 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai

Xét đạo hàm hiệp biến của các thành phần phản biến của tenxơ hạng hai

Vậy vi phân tuyệt đối của các thành phần

Và đạo hàm hiệp biến

∇

32

Chương 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ

2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động.

Trong phần này bài luận văn sử dụng kết quả của véctơ ứng suất, công thức

Ostrogradsky- Gauss, định lý về động lượng và thành phần vật lý của tenxơ

Giả sử tại thời điểm ta xét một vật có thể tích giới hạn bởi mặt của môi trường liên tục chuyển động

Vật chuyển động với vận tốc , chịu tác

động của lực khối , tại một điểm bất kỳ trên

mặt chịu tác dụng của véctơ ứng suất = ∗ 3

V O

nguyên, không đổi trong quá trình chuyển động Do đó

34

+ =

biểu thức đạo hàm hiệp biến đối với tenxơ hạng hai ta có thể biểu diễn

Các phương trình ở (2.6) là các phương trình chuển động của môi trường liên tục

khi chiếu lên các trục tọa độ

Biểu thức (2.6) có thể biểu diễn chi tiết bởi 3 phương trình

Phương trình (2.7) là phương trình cân bằng của môi trường liên tục

Xác định phương trình chuyển động trong hệ tọa độ trụ , ,

Trong tọa độ trụ 1 , 2 , 3 = , ,

35

Áp dụng biểu thức đạo hàm hiệp biến của ten xơ hạng hai (1.72) ta có

Trong hệ tọa độ trụ chỉ có 3 thành phần Christoffel (Γ 221 = − , Γ 122 = Γ 212 = 1 ) là khác không, còn lại là bằng không.

Ta sử dụng kết quả đã thống kê trong bảng 1: 11 1 = 1; 2 = ; 3 = 1 Từ đó ta thay i,j=1 vào (2.8) với lưu ý = , Γ = Γ sẽ thu được

Thay i=2, j=1 vào (2.8) và thay thành phần vật lý của tenxơ hạng hai như trên ta có

Vậy phương trình chuyển động trong hệ tọa độ trụ được biểu diễn bởi các phương

Trong hệ tọa độ cầu có 1 = 1;

Có 9 thành phần của ký hiệu ChristoffelΓ khác không, còn lại bằng không.

Γ 221

Γ 1 = −

33

Ta cũng áp dụng biểu thức (2.8) tính được

Tenxơbiến dạng nhỏ trong hệ tọa độ cong bất kỳ được cho bởi biểu thức

Trong hệ trực giao, áp dụng biểu thức (1.58)ở chương 1 vào (2.12) để thiết lập các thành phần vật

lý của tenxơ biến dạng

11 ta thay = 1, = 1, = 1, 2, 3 vào (2.12) biểu thức trở thành11 = 1,1 − Γ 11 = 1,1 − Γ 1122 − Γ 1133

2

2

Với ta thay

1

Với ta thay

43

Với 13, 23 ta thay = 1; 2, = 3, = 1, 3; 2, 3 vào (1.30), chú ý vì hệ trực giao nên Γ 132 = Γ 231 = 0 và làm tương tự 12 ta có

44

1

2 13

1

2 23

Tổng hợp các công thức (2.13)-(2.18) thu được các thành phần vật lý của tenxơ

2.3 Ứng dụng tenxơ trong bài toán vỏ mỏng

2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi

Vỏ mỏng là vật thể giới hạn bởi hai mặt cong, độ dày của vỏ nhỏ so với các kích thước khác

Mặt chia đôi độ dày của vỏ gọi là mặt giữa Tùy thuộc vào dạng của mặt giữa chúng

ta phân biệt vỏ cầu, vỏ nón,v v… Ở đây chỉ xét vỏ có độ dày không đổi

1

P

Khi đó phần tử đường được xác định bởi công thức

48

1

2.3.2 Thành phần biến dạng của vỏ mỏng

Vỏ mỏng đàn hồi sử dụng các giả thiết

Đoạn thẳng vật chất giao với mặt giữa trước khi biến dạng sẽ vẫn thẳng và trực giao

với mặt giữa sau khi biến dạng ( giả thiết pháp tuyến thẳng của Kirchhoff)

Thành phần ứng suất theo pháp tuyến với mặt giữa nhỏ so với các thành phần ứng

suất khác nên có thể bỏ qua

1

chính khúc ( đường có tiếp tuyến tại

mỗi điểm trùng với phương chính) của

Theo giả thiết thứ nhất “ đoạn thẳng vật chất trực giao với mặt giữa trước khi biến

dạng sẽ vẫn trực giao với mặt giữa sau khi biến dạng” dẫn đến biến dạng trượt

13∗ = 23∗ = 0 tại = 0.

Thay các giá trị 1∗, 2∗, 3∗ở công thức (2.34) vào các giá trị 13∗, 23∗trong (2.19 )

ta suy ra

52

Mômen đối với trục

−

2

Momen đối với trục

2.3.4Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu

a Vỏ trụ

Đối với vỏ trụ tròn ta chọn hệ tọa độ như sau ( Hình 7)

Chọn đường tọa độ 1 trùng với đường sinh của trụ tròn, đường 2 trùng với đường tròn trong mặt phẳng

thẳng góc với trục Bán kính của trụ tròn là , khi đó phần tử đường có dạng2

các đại lượng ở (2.47) vào công thức (2.41) ta thu được kết quả sau

53

b Vỏ cầu

Chọn hệ trục tọa độ như sau (Hình 8) Trục

là tiếp truyến với đường cong tọa độ

Trục là tiếp tuyến của đường cong tọa

Vậy các thành phần tenxơ biến dạng của hệ tọa độ cầu

Luận văn đã đạt được một số kết quả sau:

i. Trình bày các phép biến đổi để thu được

- Các véctơ cơ sở hiệp biến, phản biến của hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu

- Các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu

- Các thành phần của tenxơ mêtric phản biến trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu

- Các hệ số Lamé trong hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu

- Dẫn ra được các biểu thức liên hệ giữa các thành phần Christoffel và đạo hàmcủa véctơ cơ sở

- Xác định được các thành phần của kí hiệu Christoffel trong hệ tọa độ trụ và hệtọa độ cầu

- Dẫn ra được biểu thức đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất và đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai

ii. Trình bày được phương trình chuyển động trong hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu,

iii. Tính được các thành phần của tenxơ biến dạng trong hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu

iv. Vận dụng các phép tính cơ sở của tenxơ vào bài toán vỏ trụ tròn, vỏ cầu

i.Giải gần đúng bằng phương pháp số một số bài toán đặt tải đơn giản của vỏ trụ, vỏ cầu theo các phương pháp đã thiết lập

ii. Giải gần đúng bằng phương pháp số một số bài toán đàn hồi cho bản chữ nhật vàbản tròn theo các phương trình đã thiết lập

57

[1]. Đào Huy Bích(2000), Lý thuyết đàn hồi, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.

[2]. Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích(2003), Cơ học môi trường liên tục, NXB

Đại Học Quốc Gia Hà Nội

[3]. A W Joshi (1995), Matrices and Tensors in Physics, 3rd ed Wiley.

[4]. D.A Danielson(2003), Vectors and Tensor In Engineering And Physics:

[5]. Bernard Schutz (1980), Geometrical Methods of Mathematical Physics,

Cambridgr University Press

[6]. Gantmacher FR (1959), The Theory of Matric, Chelsea Publishing Company,

New York

[7]. Halmos PR (1958) Finite- Dimensional Vecctor Space, Van Nostrand, New

York

[8]. I.N Broustein, K.A Semendyayev, G Musiol,H Muehlig (2004), Handbook

of Mathematics, Spinger, Berlin Heidelberg New York.

[9]. J.H Heinbocked (2001), Introduction to Tensor Calculus and Continuum

Mechanics, Trafford Publishing.

[10]. Mikhail Itskow, Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers, Spinger

Dordrecht Heidelberg London New York

[11]. Ralph Abraham, J E Marsden, T Ratiu (1988), Tensor Analysis, and

Applications, 2nd ed, Springer-Verlag, New York.

Dover

[13]. R.Aris (1989), Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics,

New York: Dover

[14]. Sokolnikoff IS (1964), Tensor Analysis, Theory and Applications to Geometry

and Mechanics of Continua, John Wiley & Sons, New York.

58