Tính toán ngẫu nhiên và một số ứng dụng vào lĩnh vực tài chính

Trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiênĐó là các quá trình liên quan tới quá trình ngẫu nhiên như: quá trình đo được, đo được dần, quá trình khả đoán, quá trình thích

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THUỶ

TÍNH TOÁN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG

DỤNG VÀO LĨNH VỰC TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THUỶ

TÍNH TOÁN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT

SỐ ỨNG DỤNG VÀO LĨNH VỰC TÀI

CHÍNH

Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN THỊNH

lim  lim sup

A là tập con của BHợp của A và BGiao của A và BTổng các số aiTích các số aiTập các phần tử x X có tính chất PChuẩn của x

Cận trên đúng của ECận dưới đúng của EGiới hạn trên

Giới hạn dướiXác suất của AXác suất có điều kiện của A đối với

F Kỳ vọng của X

Kỳ vọng có điều kiện của X đối với F

3

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 7

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 9

Phần 1 Cơ sở giải tích ngẫu nhiên 9

1.1 Một số kiến thức liên quan tới quá trình ngẫu nhiên 9

1.1.1 Quá trình đo được 9

1.1.2 Quá trình đo được dần 9

1.1.3 Quá trình khả đoán 9

1.1.4 Quá trình thích nghi với một bộ lọc 10

1.1.5 Quá trình khuếch tán 11

1.1.6 Quá trình Ornstein-Uhlenbeck 12

1.1.7 Quá trình Wiener (Chuyển động Brown) 13

1.2 Tích phân ngẫu nhiên và Bài toán lọc 14

1.2.1 Tích phân ngẫu nhiên Itô và công thức Itô 14

1.2.2 Lý thuyết lọc ngẫu nhiên 18

Phần 2 Martingale với thời gian rời rạc 22

1.3 Khái niệm tương thích và dự báo được 23

1.4 Thời điểm Markov và thời điểm dừng 23

1.4.1 Thời điểm dừng 23

1.4.2 Quá trình dừng 24

1.4.3 Thời điểm Markov 24

1.4.4 Quá trình Markov 25

1.4.5 Hai điều kiện tương thích của quá trình Markov 25

1.4.6 Các tính chất của thời điểm Markov và thời điểm dừng 25

1.5 Martingale 26

1.5.1 Các định nghĩa 26

1.5.2 Các tính chất 28

1.6.1 Bất đẳng thức Kolmogorov 30

1.6.2 Định lý Kolmogorov 30

1.6.3 Bất đẳng thức Doob 30

1.6.4 Bất đẳng thức cắt ngang 31

1.6.5 Định lý hội tụ Doob 31

1.6.6 Định lý về tồn tại và duy nhất lời giải 32

1.6.7 Lời giải yếu và lời giải mạnh 37

CHƯƠNG 2 TÍNH TOÁN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO LĨNH VỰC TÀI CHÍNH 38

2.1 Thị trường, danh mục đầu tư và thị trường có độ chênh lệch thị giá 38

2.1.1 Định nghĩa 38

2.1.2 Định nghĩa 42

2.1.3 Định nghĩa 42

2.1.4 Ví dụ 43

2.1.5 Định lý của Dudley 45

2.1.6 Bổ đề 45

2.1.7 Định nghĩa 46

2.1.8 Định lý 47

2.1.9 Ví dụ 49

2.2 Tính đạt được và tính đầy đủ 50

2.2.1 Bổ đề 50

2.2.2 Bổ đề 50

2.2.3 Bổ đề 52

2.2.4 Định nghĩa 53

2.2.5 Định lý 54

2.2.6 Hệ quả 57

2.2.7 Ví dụ 57

2.2.8 Ví dụ 57

CHƯƠNG 3 ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 59

3.1 Định nghĩa 60

5

3.2 Định lý 60

3.3 Định lý 65

3.4 Định lý 66

3.5 Ví dụ 67

3.6 Định lý (Công thức tổng quát Black & Scholes) 69

Quyền chọn kiểu Mỹ (American options) 74

3.7 Định nghĩa 74

3.8 Định lý (Công thức định giá quyền chọn kiểu Mỹ) 75

Trường hợp Khuyếch tán Itô: Liên kết với tối ưu dừng 78

3.9 Định lý 80

3.10 Ví dụ 80

KẾT LUẬN 82

Chương 1 Trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên

Đó là các quá trình liên quan tới quá trình ngẫu nhiên như: quá trình đo được,

đo được dần, quá trình khả đoán, quá trình thích nghi, quá trình khuyếch tán, quátrình Ornstein - Uhlenbeck, quá trình Wiener (chuyển động Brown)

Đó là Martingale với thời gian rời rạc nội dung chủ yếu là Thời điểm Markov

và thời điểm dừng, Mactingale; Các bất đẳng thức và Định lý Kolmogorov, Doob

Chương 2 Trình bày về tính toán ngẫu nhiên Ito và khái niệm đầy đủ của thịtrường Chương này đưa ra các định nghĩa về thị trường đầu tư, danh mục đầu tư,danh mục đầu tư chấp nhận được (có độ chênh lệch thị giá - arbitrage) để so sánhvới thị trường thực tế hiện nay là không có độ chênh lệch thị giá -no arbitrage (Địnhnghĩa 2.1.1, 2.1.2);

Nội dung cơ bản của chương đó là đưa ra các Bổ đề, trên cơ sở đó nêu địnhnghĩa về tính đạt được và tính đầy đủ (Định nghĩa 2.2.4); Định lý quan trọng (2.2.5)

đó là đưa ra điều kiện cần và đủ để một thị trường đầy đủ, hệ quả và ví dụ cụ thể củathị trường đầy đủ

Chương 3 Dùng các kỹ thuật tính toán ngẫu nhiên được trình bày trongchương 2 để tính giá (pricing) và chiến lược đầu tư tương ứng (hedging) cho thịtrường đầy đủ, sau đó áp dụng cho mô hình Black & Scholes là trường hợp riêngcủa thị trường đầy đủ

7

Trong lĩnh vực tài chính ta biết rằng hoạt động tiêu biểu chính là hoạt độngngân hàng và trong nền kinh tế thị trường hoạt động này thường có các dịch vụ chủchốt như: dịch vụ khách hàng, ngoại thương, nhận tiền gửi, dịch vụ cho vay kinhdoanh và các dịch vụ khác Trong các dịch vụ ấy, có nhiều công đoạn hoạt động vớilãi lỗ khác nhau và thay đổi theo thời gian Vì vậy điều quan trọng là: xác định đượcgiá của mỗi quyền chọn mua tại từng thời điểm và đầu tư số tiền bảo chứng là baonhiêu cho vừa phải để đảm bảo cho hoạt động kinh doanh Có hai loại quyền chọnmua chủ yếu:

- Quyền chọn kiểu Châu Âu (European options) - Nhà đầu tư đi mua quyềnđược bán hoặc được mua, trong đó chỉ cho phép kinh doanh tại chính một thời điểm cốđịnh

- Quyền chọn kiếu Mỹ (American options) trong đó có thể kinh doanh tại bất

cứ thời điểm nào trước thời điểm kết thúc kinh doanh

Hiện nay quyền chọn kiểu Châu Âu là khá phổ biến và nội dung cơ bản củaphần này đó là đưa ra các định nghĩa về giá, giá mà người mua sẽ phải trả choquyền chọn mua và giá mà người bán có thể chấp nhận trong quyền chọn bán củamình (Định nghĩa 3.1) Bên cạnh đó cũng đưa ra cơ sở lý luận cho việc đầu tư quayvòng như thế nào để có thể đạt được một yêu cầu? thể hiện trong nội dung (Định lý3.4) tìm một danh mục đầu tư quay vòng để đạt được yêu cầu F cho trước Hiểu rõhơn vấn đề này luận văn cũng đưa ra một ví dụ cụ thể (Ví dụ 3.5)

Lý thuyết xác suất nói chung và lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên nói riêng

đã được áp dụng có hiệu quả trong ngành tài chính những năm gần đây, đặc biệt là

sử dụng mô hình Black & Scholes để xác định chính xác hơn giá chi phí cho mộtquyền chọn mua kiểu Châu Âu (Định lý 3.6)

Quyền chọn kiểu Mỹ có sự khác biệt với quyền chọn kiểu Châu Âu đó làngười mua có thể tự do chọn lựa thời điểm kinh doanh bất kỳ trước hoặc tại thờiđiểm kết thúc kinh doanh Chương này cũng đưa ra các định nghĩa trong quyềnchọn kiểu Mỹ và công thức định giá quyền chọn kiểu Mỹ (Định lý 3.8)

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Phần 1 Cơ sở giải tích ngẫu nhiên

Trong chương này, các kiến thức chuẩn bị về giải tích ngẫu nhiên được đưa

ra gồm các khái niệm, các tính chất và các định lý có liên quan được ứng dụng vàolĩnh vực tài chính Trong đó có những kiến thức về lý thuyết các quá trình ngẫunhiên, lý thuyết martingale, lý thuyết lọc ngẫu nhiên, lý thuyết khuyếch tán, tíchphân ngẫu nhiên, các công thức Itô

1.1 Một số kiến thức liên quan tới quá trình ngẫu nhiên

1.1.1 Quá trình đo được

BF Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel của , tập hợp

nhất chứa các tập có dạng  0,t   A với t  , AF

nó mọi quá trình liên tục trái đều là đo được Cho một quá trình ngẫu nhiên

X  X t, thích nghi với F t Nếu hàm t ,    X t,(từ 

9

a  trường các tập hoàn toàn đo được trên   đó là  trường O các tậpcon của   và nhỏ nhất mà đối với nó mọi quá trình liên tục bên phải và có giới hạntrái là đo được.

b Nếu XX t,  là một ánh xạ đo được từ    , O    , B 

ta nói

1.1.4 Quá trình thích nghi với một bộ lọc

1.1.4.1 Một họ các   trường con Ft  F được gọi là một bộ lọc nếu thoả mãncác điều kiện sau:

1.1.4.2 Cho một quá trình ngẫu nhiên X   X t ,t  0  Xét họ   trường Ft X

sinhbởi biến ngẫu nhiên Xt, tức Ft XFt X ,t

 0 được gọi là bộ lọc tự nhiên của quá trình

X , hay lịch sử của X

1.1.4.3 Cho một bộ lọc bất kỳ Ft ,t   trên W, F  Một quá trình Y được gọi

là thích nghi với bộ lọc này nếu với mọi Yt là đo được đối với   trường Ft

Mọi quá trình XX t ,t  là thích nghi với lịch sử của nó Ft X ,t  

1.1.4.4 Cho một quá trình X với lịch sử của nó là Ft X ,t  Một quá trình Y bất

được dưới dạng

1.1.5 Quá trình khuếch tán

Theo quan điểm tất định, một quá trình khuếch tán là lời giải của bài toán

Cauchy cho một loại phương trình đạo hàm riêng parabolic Theo quan điểm ngẫu

nhiên, thì quá trình này thực chất là một họ các quá trình ngẫu nhiên và là các quá

trình Markov, chúng thoả mãn một phương trình vi phân ngẫu nhiên được gọi là

phương trình khuếch tán

1.1.5.1 Định nghĩa

Một họ các quá trình Markov  X t ,P x trên không gian n , B n  được gọi

là quá trình khuếch tán trên n , nếu:

a Toán tử sinh cực vi A của quá trình Markov X xác định trên mọi hàm hữu

hạn khả vi liên tục hai lần và tồn tại hàm vectơ liên tục b ix và ma trận vectơ liên

tục a ijx  đối xứng và xác định không âm với mọi x sao cho

a Toán tử sinh cực vi (infinitesimal generator) của một quá trình Markov:

Một quá trình Markov X tương ứng với một bán nhóm P t xác định trên

các hàm thuộc lớp C2 bởi

 P t f x   P x, dy  f  y với P x , Alà xác suất chuyển

Khi đó toán tử sinh cực vi tương ứng A được xác định bởi A lim P h  I

,

h

h0

trong đó I là toán tử đồng nhất

b Một quá trình khuếch tán X trên n là một quá trình với quỹ đạo liên tục

X  ( X 1 , X 2 , , X n ) sao cho với t  0, h  0 thì

hàm a ij 1i,jn nào đó trên n mà ta gọi là các hệ số khuếch tán.

c Nếu dịch chuyển b và khuếch tán a là những hàm trơn đến một cấp nào

đấy thì hàm mật độ chuyển p tx, y của quá trình khuếch tán X sẽ thoả mãn hai

phương trình đạo hàm riêng sau đây:

Phương trình (1) được gọi là phương trình Kolmogorov lùi,

Phương trình (2) được gọi là phương trình Kolmogorov tiến

1.1.6 Quá trình Ornstein-Uhlenbeck

Quá trình Ornstein-Uhlenbeck XX t,t   với tham số   0 và giá trị

ban đầu X0 N(0,1) là một quá trình Gauss với

trung bình EX t  0, t 

hàm tương quan EX t X s exp t  s  s , t  

Đó là một quá trình dừng theo nghĩa rộng

Xét quá trình dừng theo nghĩa hẹp, ta xét trên mật độ xác suất chuyển của

12

mật độ này chỉ phụ thuộc vào ts , do đó phân bố của X cũng chỉ phụ thuộc vào ts

1.1.7 Quá trình Wiener (Chuyển động Brown)

1.1.7.1 Một quá trình X X t ,t 0 được xác định trên một không gian xác suất

một quá trình Gauss với các tính chất sau:

(iv) Với hầu hết  , các quỹ đạo tX t là liên tục

1.1.7.2 XX t là một quá trình Wiener với tham số phương sai 2 nếu X là một

quá trình Gauss với EX t0t và hàm tương quan cho bởi:

R  t , s   E X t X s   2 min t , s

1.1.7.3 Một quá trình Wiener X X t  với tham số phương sai 2 1 được gọi là

quá trình Wiener tiêu chuẩn (hay chuyển động Brown tiêu chuẩn)

1.1.7.4 Các tính chất quan trọng của một quá trình Wiener

Cho WW t là một quá trình Wiener

còn gọi là lịch sử của W t tính cho đến thời điểm t )

b (i) P{ : quỹ đạo tW t là khả vi }= 0

(ii) P{ : quỹ đạo tW tcó biến phân bị chặn trên một khoảng hữu hạn bất kỳ}= 0

d Cho B là họ tất cả các hàm thực Borel xác định trên Với mỗi t 0 và

(ii) Với 0 st và f  B , thì P f x E  f W W  x

hầu khắp nơi đối với độ đo Lesbesgue trên  s



  t  s   t  s   ts

(iii) E  f W F W  E  f W W   P f W ,

Vậy W là một quá trình Markov

1.2 Tích phân ngẫu nhiên và Bài toán lọc

1.2.1 Tích phân ngẫu nhiên Itô và công thức Itô

Một số nội dung của luận văn này phải đưa về bài toán tính tích phân có dạng:

I 

a

1.2.1.1 Tích phân ngẫu nhiên Itô

Tích phân Itô của một hàm ngẫu nhiên đo được dần f t,có thể được định

nghĩa như một giới hạn theo xác suất như sau:

trong đó  maxt k1t k với mọi phân hoạch t0  0 t1 t n T

1.2.1.2 Các tính chất quan trọng của tích phân Itô

0

14

1.2.1.3 Vi phân ngẫu nhiên Itô

Cho ft,là một hàm ngẫu nhiên khả đoán, W t là một quá trình Wiener một

chiều, giả sử XX t là một quá trình ngẫu nhiên đo được bất kỳ lấy giá trị trong 

,B Ta nói quá trình ngẫu nhiên này có vi phân ngẫu nhiên Itô dX t nếu

a Hầu hết các quỹ đạo của X t là liên tục

b Tồn tại ft,, ht, là những hàm ngẫu nhiên đo được dần, f khả đoán,

khả tích theo mọi đoạn hữu hạn với hầu hết 

Cho XX t là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân ngẫu nhiên Itô (có dạng

biến thứ nhất t , hai lần khả vi liên tục theo biến thứ hai x

Khi đó quá trình ngẫu nhiên Y t  g t , X t có vi phân Itô tính bởi công thức Itô như

15

có kết luận như trên Vì thế chỉ còn lại trường hợp ij , khi đó nếu t j  0 thì

1.2.1.5 Công thức Itô tổng quát (trường hợp nhiều chiều)

Cho Bt,B1t,, ,B mt,  là chuyển động Brown m-chiều, X1 , ,X n

là các vi phân ngẫu nhiên Itô có dạng: dXhdtfdB

Với ft,, ht, là những hàm ngẫu nhiên đo được dần, f khả đoán, khả tích

theo mọi đoạn hữu hạn với hầu hết 

Giả sử là các ánh xạ hai lần khả vi liên tục   n   Khi đó quá trình

17

với các biểu thức dX i dX j thì dB i dB j  ij dt, dB i dt  dtdB i  0 .

Để chứng minh cho trường hợp tổng quát ta tiến hành bằng cách xấp xỉ hàm

tục phải các  -trường con Ft  F , t 0,T  Cho X t , t 0,T là một họ các quátrình ngẫu nhiên Ft -thích nghi (được gọi là các quá trình tín hiệu hay quá trình hệ

và ta có thể thực hiện quan sát X t thông qua một quá trình ngẫu nhiên (được gọi là

một quá trình quan sát) có dạng:

18

Y t  t h s ds  Z t

0

trong đó Z t là một quá trình Ft -Wiener n-chiều sao cho với mỗi t thì  -trường

tương lai (Z uZ t ) (ut) độc lập với  -trường quá khứ (Y v,h v,vt)

Thông tin về X s được giả thiết là có trong quá trình ngẫu nhiên n-chiều h s sao cho

19

(ii) Mỗi B t,Q -martingale bình phương khả tích M t đều được biểu diễn dưới dạng

Áp dụng kết luận ở phần (i) cho phép biến đổi Girsanov Q t1QP

Khi đó, nếu M t là một B t,Q -martingale địa phương thì

nó phải bằng 0 vì nó là một quá trình với biến phân bị chặn (martingale liên tục với

biến phân bị chặn là bằng 0) Vậy ta có M t  M 0

t

 ( f s

0

1.2.2.3 Bài toán lọc tuyến tính (Lọc Kalman-Bucy 1-chiều)

Xét bài toán lọc tuyến tính, trong đó quá trình hệ thống và quá trình quan sát đều được cho bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính sau:

D(t ) dV t ; G (t ), D(t )



20

trong đó F,G, C,D là các hàm giới nội trên những khoảng giới nội D(t)  0 , U,V là

21

Phần 2 Martingale với thời gian rời rạc

Martingale bắt nguồn từ trò chơi và ngày nay đã trở thành mô hình toán quantrọng trong lĩnh vực thị trường chứng khoán Khi bắt đầu chơi, người chơi có vốn là

X0 , thông tin ban đầu mà người chơi biết được là 0 Sau khi chơi ván thứ

nhất vốn của người chơi sẽ là biến ngẫu nhiên X1 và thông tin sau khi chơi 1 ván sẽtăng lên 0  1 Tiếp tục chơi ván thứ hai, vốn sau khi chơi ván thứ hai sẽ là biếnngẫu nhiên X 2 và thông tin bây giờ lại tăng lên 0  1  2 Bằng cách đó tiền

vốn sau ván thứ n sẽ có là biến ngẫu nhiên X n và thông tin sau khi chơi n ván là n.

Như vậy vốn của người chơi và thông tin thu được lập thành dãy { X n , n}, ta cóthể xem {n } là dãy  trường không giảm và biến ngẫu nhiên X n phụ thuộc vào

n - đo được

Trò chơi được xem là không thiệt hại hoặc công bằng, nếu trung bình có điềukiện vốn của ván sau bằng vốn của ván trước, có nghĩa là E (X n1 n) = X n và { X

n , n} được gọi là martingale

Trò chơi được xem là thiệt hại, nếu trung bình có điều kiện vốn của ván sau

bé hơn hay bằng vốn của ván trước, có nghĩa là E ( X n1 n)  X n và { X n , n}được gọi là martingale trên

Trò chơi được xem là có lợi, nếu trung bình có điều kiện vốn của ván sau lớnhơn hay bằng vốn của ván trước, có nghĩa là E( X n1 n)  X n và { X n , n} đượcgọi là martingale dưới

Khi tham gia chơi người chơi phải định ra một chiến lược đến một mục đíchnào đó sẽ dừng cuộc chơi (chẳng hạn khi vốn đạt được vượt quá số nào đó thì dừnglại; Thời gian lần đầu tiên người chơi đạt được mục đích đã định gọi là thời điểmdừng) hoặc tiếp tục chơi hoặc bỏ thêm vốn Chẳng hạn V1 là tiền đặt cược cho vánthứ nhất, V1 phụ thuộc thông tin 0 Sau đó căn cứ vào thông tin 1 thu được sauván thứ nhất, người chơi đặt cược V2 cho ván chơi thứ hai ; căn cứ vào thông tin

22

n thu được sau n ván, người chơi đặt cược V n1 cho ván chơi thứ n+1 Tức là V n là

n - 1-đo được và gọi {V n , n - 1} là dãy dự báo được

1.3 Khái niệm tương thích và dự báo được

Giả sử (, F ,P) là một không gian xác suất, F   là  trường con của 

và X là biến ngẫu nhiên nào đó Ta nói rằng X tương thích với F ( X F ) nếu

X là F -đo được Đặt  (X) X1 (B) trong đó B là  trường Borel của Khi đó

Tổng quát: Cho Ft là một bộ lọc tùy ý và giả sử T là một thời điểm dừng và

Y là một quá trình liên tục thích nghi cho trước Khi đó ta có thể định nghĩa một quá

quá trình Z là liên tục và thích nghi Ta nhận được Z bằng cách dừng quá trình

Y tại thời điểm ngẫu nhiên T Ký hiệu: Y T :ZY T

1.4.2 Quá trình dừng

Cho X (X t, tT) Quá trình đó sẽ là

* Dừng theo nghĩa hẹp, nếu phân bố của (X t1 h, ,X t nh) và của (X t1 , ,X t n) là

như nhau, với mọi t1, ,t nT

* Dừng theo nghĩa rộng hay dừng tương quan, nếuEX t2  , EX t là hằng số, R X (t , x)

Ta luôn có: Dừng hẹp  Dừng rộng

Ví dụ: Xét (X n)  (X1 , ,X n, ) là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng

phân bố với kỳ vọng  và phương sai  2

Vậy (X n)  (X1 , , X n, ) là một quá trình dừng theo nghĩa rộng

1.4.3 Thời điểm Markov

rằng

 :     n An ,

24

Nếu thêm vào đó P( ) 1, thì  được gọi là thời điểm dừng.

1.4.4 Quá trình Markov

P X t1  x n X t1  x1 , , X t n1  x n 1  P X t n  x n X t n1  x n 1.

1.4.5 Hai điều kiện tương thích của quá trình Markov

(i) Nếu ký hiệu Px, tPX t x, X s   và Px, t ,xPX t x X s  

(Phương trình Chapman - Kolmogorov đối với quá trình Markov X t )

1.4.6 Các tính chất của thời điểm Markov và thời điểm dừng

Tính chất 1 Giả sử  là thời điểm Markov đối với An,n Khi đó   nAn

Tính chất 2 Nếu 1 2 là các thời điểm Markov đối với An,n thì

 1   2  min  1 ,  2,  1   2  max  1 , 2 và 12 là các thời điểm Markov đốivới An,n 

Tính chất 3 Nếu 1 , 2 , là dãy các thời điểm Markov đối với An,n thì

 n  n  inf n  n ,  n  n  supn n cũng là các thời điểm Markov đối với An,n 

Tính chất 4 Nếu  là các thời điểm Markov đối với An,nthì  A Nếu  và

 là các thời điểm Markov đối với An,nsao cho P(  ) 1 thì AA

Tính chất 5 Nếu Nếu 1 2, là dãy các thời điểm Markov đối với An,nvà

  infk k thì A  A k .

k

25

Tính chất 6 Nếu  ,  là các thời điểm Markov đối với An,n thì các biến cố

là đo được đối với A

Tính chất 8 Giả sử f :   là biến ngẫu nhiên A  - đo được và  là thời điểmMarkov đối với An,n  Khi đó, f là A - đo được nếu và chỉ nếu với n

(i) X là thích nghi,

(ii) X t là khả tích với t , tức là E X t  , t,

AX t  X sdP  0, A  F s

26

Ngoài ra ta có thể định nghĩa martingale theo các khái niệm martingale trên và martingale dưới như sau:

Định nghĩa 2.

được gọi là:

và thoả mãn điều kiện

thoả mãn điều kiện

1.5.1.2 Martingale suy rộng

An , n  ), nếu:

1.5.1.3 Martingale địa phương

X  k   X nk k0 , An , n   là martingale.

1.5.2 Các tính chất

Tính chất 1 Nếu X  X n , An ,n  là martingale thì hàm trung bình EX n không

phụ thuộc n

Tính chất 2 Giả sử X   X n , A n , n  0,1, 2, , Nlà martingale và  , là các thời

điểm Markov đối với 

Tính chất 3 Giả sử X X n, An,n là martingale và  là các thời điểm Markov

đối với An,n Khi đó dãy ngắt tại thời điểm 

Dãy V  Y   V  Y n , A n , n   được gọi là biến đổi của Y theo V Nếu

đổi martingale.

Định lý Giả sử XX n, An,nlà dãy tương thích sao cho X0  0 (P-h.c.c) Các

điều sau là tương đương:

28

(ii) X là martingale suy rộng;

(iii) X là biến đổi martingale, tức là tồn tại martingale YY n, An,n  và

dãy ngẫu nhiên dự báo được VV n, An1,n  sao cho X   V  Y .

1.5.4 Ví dụ

Giả sử n là dãy các biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập, cùng phân phối: P( n

= 1) = p, P( n = -1) = q, p + q = 1 Trong đó, n = 1 là biến cố thắng cuộc tại vánthứ n; n = -1 là biến cố thua cuộc tại ván thứ n Giả sử tiền đặt cược chơi tại ván n

là V n Khi đó, sau n ván chơi tiền được (hoặc mất) tổng cộng là:

biến đổi của Y theo V.

Như vậy, trò chơi là