Không gian zorn và một số áp dụng

Descarte của một không gian Banach khả ly, phản xạ với đối ngẫu của khônggianω dãy các số phức không có tính chất Zorn.. Trong [12], Dineen và Louren¸co đã chứng minh rằng một DF M-không

MỞ ĐẦU

Cơ sở khoa học và thực tiễn của đề tài:

Vào năm 1945 Max Zorn, nhà toán học mà tên tuổi của ông gắn liền vớiZorn’s Lemma, đã chứng minh được rằng tập hợp tất cả các điểm liên tục củamột ánh xạ chỉnh hình Gâteaux (hay còn gọi là G-chỉnh hình) giữa các khônggian Banach là vừa mở, vừa đóng Điều này có nghĩa là một ánh xạ chỉnhhình Gâteaux trên một tập mở liên thông D của một không gian Banach(với giá trị Banach) là chỉnh hình khi nó chỉ cần liên tục tại một điểm nào

đó trong D Kết quả này đã không được phát triển sau đó một thời giandài, mãi cho đến những năm 1960 khi một số nhà toán học người Pháp mởrộng nó cho trường hợp không gian lồi địa phương và đưa ra một số phản ví

dụ cho câu hỏi tổng quát rằng kết quả nói trên còn đúng hay không đối vớitrường hợp này Từ đó một số tác giả khác cũng quan tâm đến vấn đề này.Một miền D trong một không gian lồi địa phương thỏa mãn Định lý Zornđược gọi là “có tính chất Zorn” hay “không gian Zorn” Việc khảo sát cáckhông gian Zorn có ý nghĩa hết sức quan trọng trong quá trình phát triểncủa giải tích phức và vì vậy nó có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khácnhau trong toán học

Trước hết ta có thể tìm thấy nhiều ví dụ về không gian Zorn Các khônggian đầy đủ khả mê-tric (và tích của chúng), các không gian Baire, các khônggian đối ngẫu Fréchet-Schwartz (và tích của chúng), là các ví dụ về khônggian Zorn (xem [20, Theoreme 1.3.1]) Trong [16] Hirschowitz đã khẳng địnhrằng Định lý Zorn không còn đúng đối với các giới hạn quy nạp chặt của cáckhông gian Banach, và cũng chứng tỏ rằng, nói chung, tích Descarte của cáckhông gian Zorn không nhất thiết phải là không gian Zorn Chẳng hạn, tích

Descarte của một không gian Banach khả ly, phản xạ với đối ngẫu của khônggianω dãy các số phức không có tính chất Zorn Tuy nhiên, với E “ śiPIEi

thì nếu śiPI

1Ei là không gian Zorn với mọi tập con hữu hạn I1 củaI thì E

là một không gian Zorn Ông ta cũng đưa ra một ví dụ về một không gianlồi địa phương hạch không có tính chất Zorn (cũng xem Example 3.12 trong[9])

Nachbin [21] đã đưa ra một ví dụ về một hàm chỉnh hình trênHpCqmà nó

không chỉnh hình đều Nếu tpnunPN là họ tăng các nửa chuẩn xác định tô-pôtrên HpCq thì điều này suy ra rằng pHpCq, pnq không là không gian Zorn vớimọi n đủ lớn Nhiều ví dụ về các không gian có (và không có) tính chất Zornđược giới thiệu trong [10] Trong công trình này tác giả cũng đã mở rộng định

lý Zorn đến nhiều lớp không gian khác nhau Ông ta cũng nghiên cứu cáckhông gian F-Zorn yếu (và mạnh) đối với các hàm chỉnh hình Gâteaux vớigiá trị trong không gian lồi địa phươngF và áp dụng chúng trong chứng minhcác định lý về phân tích các hàm chỉnh hình mà mở rộng định lý Hartogsliên quan đến hàm chỉnh hình phân biệt

Trong Exercise 3-1-4 trong tài liệu Wilansky [31], và Example 2.4 trongBorwein, Lucet, Mordukhovich [6] có nhiều ví dụ về các không gian tuyếntính định chuẩn Baire không đầy đủ Điều này sẽ đưa ra các ví dụ về cáckhông gian không đầy đủ nhưng có tính chất Zorn Ta cũng có thể tìm thấycác ví dụ khác về các không gian không đầy đủ nhưng có tính chất Zorntrong [20, pp 32, Examples 2, 3]

Trong [12], Dineen và Louren¸co đã chứng minh rằng một DF M-khônggian (đối ngẫu của không gian Montel-Fréchet) có cơ sở tuyệt đối là có tínhchất Zorn đối với các hàm xác định trên toàn không gian (không phải trênmột tập mở bất kỳ) Một không gian như vậy gọi là có tính chất Zorn toàncục (hay không gian Zorn toàn cục) Trước đó, trong [11], Dineen đã đưa ramột giả thuyết rằng:

Các hàm chỉnh hình Gâteaux liên tục Silva (hay liên tục Mackey) trên các

DF M-không gian đều liên tục

Giả thuyết này được biết là đúng đối với các DF S-không gian (đối ngẫucủa không gian Schwartz-Fréchet) Rõ ràng rằng nếu giả thuyết này là đúngthì ta có thể suy ra rằng cácDF M-không gian là các không gian Zorn (khôngtoàn cục) Theo Dineen [11], giả thuyết này cần đến một nghiên cứu sâu hơn

về các dãy hội tụ mà chúng không hội tụ Mackey.

Như vậy, các kết quả của S Dineen trong [10] chứng tỏ rằng có một sựliên quan giữa bài toán về các không gian Zorn và bài toán thác triển chỉnhhình Bản chất hơn, tính chất Zorn liên hệ chặt chẽ với tính chất lan truyềnhội tụ của các dãy hàm mà ta thường gọi là hội tụ Tauber

Ta hãy khái quát đôi điều về bài toán hội tụ Tauber

Cho E, F là các không gian lồi địa phương trên trường C và D là mộtmiền trong E Bài toán hội tụ Tauber đặt vấn đề tìm kiếm thêm các tínhchất để đảm bảo rằng mọi dãy hàm chỉnh hình nhận giá trị trongF, xác định

và hội tụ (điểm) trên một tập con nhỏ của D là hội tụ (đều) khắp nơi trên

D Một ví dụ quan trọng về vấn đề này là Định lý Vitali, ở đó các tập con cómột điểm giới hạn sẽ được xem xét và tính chất bị chặn đều địa phương củacác dãy hàm là điều kiện cần phải thêm vào Một định lý cổ điển của Vitalikhẳng định rằng nếu dãy tfmumě1 bị chặn đều trên các tập con compact củamiền D trong Cn và nếu dãy này hội tụ điểm đến một hàm f trên một tậpcon X của D mà nó không được chứa trong một siêu mặt phức thì tfmumě1hội tụ đều trên các tập con compact của D Chú ý rằng phiên bản giá trịvéctơ của Định lý Vitali đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết nửanhóm (chẳng hạn, xem [4, Theorem 4.2] hoặc [22, Theorem 2.4])

Trong trường hợp E, F hữu hạn chiều, chứng minh sớm nhất của Định

lý Vitali được đưa ra nhờ sự trợ giúp của Định lý Montel (xem chứng minhtrong [26, p 129] và các chú ý về lịch sử [26, p 138]) Trái ngược với trườnghợp vô hướng, định lý này không thể bắt đầu từ Định lý Montel (nó khônghiệu lưc trong vô hạn chiều), và khá lâu sau đó, chỉ có một chứng minh kháphức tạp của E Hille - R S Phillips [15, Theorem 3.14.1] cho trường hợpcác không gian miền giá trị là Banach vô hạn chiều Trong thực tế, chứngminh trực tiếp (khá kỹ thuật) của Lindel¨of đã được trình bày trong trườnghợp giá trị véctơ trong E Hille - R S Phillips [15, p 104 - 105]

Khá gần đây, các tác giả W Arendt N Nikolski [3] và T T Quang

-L V Lâm - N V Đại [24] đã nghiên cứu bài toán này dựa trên các kếtquả đã có của họ về các hàm chỉnh hình yếu/rất yếu Năm 2000, W Arendt

và N Nikolski đã chứng minh Định lý Vitali cho các lưới hàm chỉnh hìnhmột biến phức với giá trị Banach, trong đó tập con nhỏ được yêu cầu là cómột điểm tụ (xem [3, Theorem 3.1]) Họ cũng đưa ra một chứng minh dễ và

trực tiếp dựa trên định lý về hàm chỉnh hình rất yếu và định lý về tính duynhất Sau đó, tổng quát hơn, năm 2013 T T Quang, L V Lâm và N V.Đại đã giới thiệu các định lý kiểu Vitali đối với các dãy bị chặn địa phươngcác hàm chỉnh hình trên một miền trong không gian Fréchet nhận giá trịFréchet cũng như đối với các dãy hàm chỉnh hình bị chặn trên các tập bịchặn giữa các không gian Fréchet-Schwartz (xem [24, Theorems 6.1, 6.2, 6.3

và Corollaries]) Công cụ bất biến tôpô tuyến tính được D Vogt giới thiệu

và nghiên cứu (xem [28, 29, 30]), được sử dụng trong các chứng minh của

họ Gần đây nhất, N Q Diệu, P V Mạnh, P H Bằng, L T Hưng [7] quantâm đến việc tìm các tương tự với định lý Vitali mà ở đó tính bị chặn đềucủa dãy hàm được bỏ qua khi xem xét Một cách tiếp cận khả dĩ là áp đặtmột chế độ mạnh hơn cho sự hội tụ và/hoặc cho kích thước của tập nhỏ Một

số phiên bản của Định lý Vitali cho các hàm chỉnh hình bị chặn và cho cáchàm hữu tỷ mà chúng hội tụ điểm nhanh trên một tập con không đa cực củamột miền trong Cn đã được khảo sát trong công trình của họ Ở đây, sự xấp

xỉ nhanh được đo bằng độ tăng của các chuẩn “sup” của các hàm Với độnglực từ bài toán tìm kiếm các điều kiện địa phương cho tính chất đơn trị củathác triển chỉnh hình, A A Gonchar [13] đã chứng minh rằng một dãy hàmhữu tỷ trmumě1 trong Cn (deg rm ď m) mà nó hội tụ nhanh theo độ đo trênmột tập mở X đến một hàm chỉnh hình f xác định trên một miền bị chặn D

(X Ă D) cần phải hội tụ theo độ đo đến f trên toàn bộ D Rất lâu sau đó,bằng cách sử dụng các kỹ thuật của lý thuyết đa thế vị, trong [5, Theorem2.1] T Bloom cũng đã chứng minh một kết quả tương tự, trong đó sự hội tụnhanh theo độ đo được thay bằng sự hội tụ nhanh theo dung lượng và tậpcon nhỏ X chỉ được yêu cầu là compact và không đa cực

Mục đích của đề tài:

Luận văn sẽ tập trung giải quyết các bài toán sau:

1 Nghiên cứu tính chất Zorn của các miền trong không gian con trù mật

pEB, τEq sinh bởi một tập con lồi, cân, bị chặn, đóng (hoặc compact) B

của một không gian Fréchet E Ở đây tôpô của E thỏa mãn một bấtbiến tôpô tuyến tính và tôpô τE trên EB được cảm sinh từ tôpô của E

2 Áp dụng các kết quả từ bài toán trên trong việc nghiên cứu sự hội tụ

Tauber của dãy đa thức giá trị Fréchet và sự thác triển chỉnh hình củahàm giới hạn từ tập con không đa cực.

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học và tận tình củaPGS.TS Thái Thuần Quang Nhân đây tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đến thầy và gia đình Mặc dù bản thân đã rất nỗ lực cố gắng, nhưng chắcchắn luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót ngoài ý muốn Chúng tôi rấtmong nhận được những góp ý thẳng thắn, chân tình của quý thầy cô giáo

và bạn bè, đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu Trường Đại học Quy Nhơn,Phòng Sau đại học, Khoa Toán cùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớp Caohọc Toán khóa 20 đã tận tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôitrong thời gian học tập và nghiên cứu thực hiện đề tài

Cuối cùng, tôi xin gửi đến Trường Đại học Quy Nhơn lòng cảm ơn chânthành Tôi cũng xin được gửi đến gia đình, các đồng nghiệp và bạn bè nhữnglời tri ân trong suốt quá trình học tập và công tác của mình

Quy Nhơn, ngày 23 tháng 7 năm 2019

Học viên

Trần Dương Nữ Thùy Dương

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Một số kiến thức về giải tích hàm

Ký hiệu K là trường số thực R hoặc phức C

1.1.1 Không gian véctơ tôpô

Giả sử E là không gian véctơ trên K, một tôpô trên E được gọi là tươngthích với cấu trúc đại số của E nếu các phép toán cộng đại số và nhân ngoài

Nếu E là một không gian véctơ tôpô thì phép tịnh tiến và phép vị tự trên

E là các phép đồng phôi lên chính nó Điều này được suy trực tiếp từ tínhtương thích của tôpô trên E Nói riêng, nếu U là lân cận của 0 P E thì a ` U

là lân cận của a và αU là lân cận của 0 với mọi α ‰ 0

Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Một nửa chuẩn p trên không gian véctơ E là hàmkhông âm thoả mãn các điều kiện:

(i) ppλxq “ |λ|ppxq với mọi λ P K và mọi x P E;

(ii) ppx ` yq ď ppxq ` ppyq với mọi x, y P E

Nếu giả thiết thêmppxq “ 0kéo theox “ 0 thìpđược gọi là một chuẩn.

Từ (i) và (ii) ta suy ra

(iii) |ppxq ´ ppyq| ď ppx ´ yq với mọi x, y P E

Ngược lại, nếu xảy ra (i) và (iii) thì có (ii)

Rõ ràng, nếu p là nửa chuẩn trên E thì hình cầu

(ii) Với mọi U P U tồn tại lân cận V của 0 sao cho V ` V Ď U

(iii) Với mọi U P U tồn tại một lân cận cân V của 0 sao cho V Ď U Ở đây,lân cận V được gọi là cân nếu λV Ď V với mọi |λ| ď 1

Theo tính chất (ii) của Mệnh đề 1.1.1, với mọi U P U, tồn tại V P U saocho V ` V Ď U Điều này chứng tỏ V Ď U nên mỗi tập trong U đều chứabao đóng của một tập nào đó trong nó Ngoài ra, hiển nhiên với mọi V thuộc

U thì V Ď V nênV cũng là một lân cận của 0 Do đó, không gian véctơ tôpô

E có một cơ sở lân cận của 0 gồm toàn các tập cân đóng

Mệnh đề 1.1.2 ([1]) Giả sử E là một không gian véctơ tôpô Khi đó E làHausdorff nếu và chỉ nếu với mọi x ‰ 0 thuộc E tồn tại lân cận U của 0

Mệnh đề 1.1.3 ([1]) Giả sử E là một không gian véctơ và τ là một tôpôtrên E bất biến đối với phép tịnh tiến Nếu E có một cơ sở lân cận U của 0

trong tôpô τ thoả mãn:

(i) Với mọi U P U tồn tại V P U sao cho V ` V Ď U ;

(ii) Mọi V P U là cân và hút

thì topo τ là tôpô véctơ trên E

Giả sử E là không gian véctơ tôpô và F là không gian con của E Xétkhông gian véctơ thương E{F cùng với tôpô thương trên nó, tức là tôpômạnh nhất trên E{F sao cho ánh xạ tuyến tính chính tắc ϕ : E ÝÑ E{F

liên tục, hay tôpô mà tập con của E{F mở khi và chỉ khi nó có dạng ϕpGq

với Glà tập mở trong E Dễ thấy rằng với tôpô nàyE{F là không gian véctơtôpô và ta sẽ gọi nó là không gian thương của E theo F

Mệnh đề 1.1.4 ([1]) Giả sử E là không gian véctơ tôpô và F là không giancon của E Khi đó, không gian thương E{F là Hausdorff khi và chỉ khi F làkhông gian con đóng trong E

Giả sử tEαuαPI là họ các không gian véctơ tôpô Xét không gian véctơ

Không gian véctơ con ÀαEα của śαEα thành lập từ các phần tử x “

pxαq trong đó chỉ có hữu hạn xα ‰ 0 Không gian véctơ con ÀαEα với tôpôvéctơ mà cơ sở lân cận của mỗi x “ pxαq P ÀαEα là các tập có dạng ÀαUα

với Uα là lân cận của xα với mọi α và được gọi là tổng trực tiếp của cáckhông gian Eα Dễ thấy rằng ánh xạ đồng nhất ÀαEα Ñ śαEα liên tục,tức là tôpô trên ÀαEα mạnh hơn tôpô cảm sinh bởi tôpô của śαEα.Định nghĩa 1.1.2 ([1]) Không gian véctơ tôpô E được gọi là không giankhả metric nếu tôpô trên nó có thể được xác định bởi một metric

Định lý sau đây cho chúng ta điều kiện cần và đủ để một không gian véctơtôpô trở thành không gian véctơ metric

Định lý 1.1.1 ([1]) Không gian véctơ tôpô Hausdorff E là không gian véctơmetric nếu và chỉ nếu 0 P E có một cơ sở lân cận đếm được.

Một không gian véctơ tôpô Hausdorff E được gọi là đầy đủ nếu mọi dãysuy rộng Cauchy trong E hội tụ Tuy nhiên, thực tế chúng ta lại thường gặpphải các không gian không đầy đủ Vì vậy, một yêu cầu tự nhiên là cần đầy

đủ hoá các không gian chưa đầy đủ

Định lý 1.1.2 ([1]) Giả sử E là không gian véctơ tôpô Hausdorff Khi đó,tồn tại duy nhất (sai khác một đẳng cấu) một không gian véctơ tôpô Hausdorffđầy đủ Ep chứa E như một không gian con trù mật khắp nơi Không gian Ep

được gọi là bao đầy của E

1.1.2 Không gian lồi địa phương

Định nghĩa 1.1.3 ([1]) Một không gian lồi địa phương E là không gianvéctơ tôpô mà 0 P E có một cơ sở lân cận gồm toàn các tập lồi

Từ Định nghĩa 1.1.3, ta có

Mệnh đề 1.1.5 ([1]) Một không gian lồi địa phương E có một cơ sở U cáclân cận của 0 P E gồm toàn các tập lồi, cân và đóng kín đối với phép vị tự.Ngược lại với Mệnh đề 1.1.5, ta có

Mệnh đề 1.1.6 ([1]) Giả sử U là họ các tập con của không gian véctơ E

gồm toàn các tập lồi, cân, hút và đóng kín đối với phép vị tự Nếu U thoảmãn thêm điều kiện mọi U, V P U tồn tại W P U sao cho W Ď U X V thìtồn tại duy nhất tôpô lồi địa phương τ trên E sao cho U là cơ sở lân cận của

Một cơ sở lân cận của 0 P E trong tôpô ấy gồm các tập có dạng εŞni“1Vi

trong đó Vi P U với mọi i và mọi ε ą 0

Mệnh đề 1.1.7 ([1]) (i) Mỗi tập lồi cân hút A Ă E đều tương ứng vớinửa chuẩn pA xác định bởi

Định nghĩa 1.1.4 ([1]) Nửa chuẩnpA xác định như trong phần (i) của Mệnh

đề 1.1.7 tương ứng với tập lồi cân hút A được gọi là phiếm hàm Mincowskihay hàm cỡ kết hợp với tập A

Mệnh đề sau đây cho ta liên hệ giữa nửa chuẩn liên tục và lân cận lồi câncủa không trong không gian lồi địa phương

Mệnh đề 1.1.8 ([1]) (i) Nửa chuẩn p trên không gian lồi địa phương E

liên tục khi và chỉ khi p liên tục tại 0 P E

(ii) Nếu p là phiếm hàm Mincowski của tập lồi cân hút U thì p liên tục khi

và chỉ khi U là một lân cận của 0 P E Khi đó

Ta gọi tôpô trong Định lý 1.1.4 là tôpô xác định bởi họ nửa chuẩn P.Định lý 1.1.5 ([1]) Giả sử E là một không gian lồi địa phương Khi đó,tồn tại một họ nửa chuẩn liên tục P trên E sao cho tôpô sinh bởi P là tôpôban đầu Ngoài ra, E là Hausdorff khi và chỉ khi ppxq “ 0 với mọi p P P kéotheo x “ 0

1.1.3 Không gian Fréchet - Không gian Schwartz

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số không gian lồi địa phươngquan trọng như không gian Fréchet, không gian Schwartz, không gian đốingẫu Fréchet

Không gian Fréchet và đối ngẫu Fréchet

Một không gian lồi địa phương metric đầy đủ được gọi là không gianFréchet hay (F)-không gian

Từ định nghĩa không gian Fréchet dễ thấy rằng tôpô của không gianFréchet được xác định bởi một dãy giảm các lân cận lồi, cân tVnu8

n“1 của 0

hoặc bởi một dãy tăng các nửa chuẩn liên tục tpnu8

n“1.Mệnh đề 1.1.9 ([1]) Nếu tôpô trên một không gian Hausdorff E là tôpô lồiđịa phương yếu nhất làm cho một dãy những tập lồi, cân, hút trở thành lâncận (hoặc làm cho một dãy các nửa chuẩn liên tục) thì E là không gian khảmetric

Chứng minh Giả sử tồn tại một tôpô lồi địa phương yếu nhất trên E làmcho các tập lồi, cân, hút tVnu8

Chứng minh Dễ thấy rằng E đẳng cấu với không gian con E0 của śkEk

Vì E đầy đủ nên E0 đóng trong śkEk Vì các không gian Ek là Banachnên śkEk là Fréchet Theo giả thiết, các không gian Ek phản xạ và tích các

không gian phản xạ là phản xạ nên kEk cũng phản xạ Vì E0 đóng trongkhông gian phản xạ śkEk nên nó cũng phản xạ Do đó E phản xạ.

Định nghĩa sau đây cho chúng ta một lớp không gian khác với lớp khônggian Fréchet nhưng lại có mối liên hệ mật thiết với lớp không gian Fréchet.Định nghĩa này được chúng tôi phát biểu theo R Meise và D Vogt [19].Định nghĩa 1.1.5 ([19]) Một không gian lồi địa phương E được gọi là(DF)-không gian hay không gian đối ngẫu Fréchet nếu nó thoả mãn hai tínhchất sau:

(i) E có hệ cơ sở là dãy gồm toàn các tập bị chặn;

(ii) Nếu V Ă E hút mọi tập bị chặn và là giao của dãy các lân cận lồi, câncủa 0 P E thì V cũng là lân cận của 0 P E

Mệnh đề sau đây cho ta ý nghĩa trực tiếp của Định nghĩa 1.1.5 về lớp(DF)-không gian

Mệnh đề 1.1.12 ([19]) Nếu E là (DF)-không gian thì E1 là (F)-không gian.Ngược lại với Mệnh đề 1.1.12, ta có

Mệnh đề 1.1.13 ([19]) Nếu E là (F)-không gian thì E1 là (DF)-không gianđầy đủ

Từ Mệnh đề 1.1.13, dễ thấy rằng mọi không gian lồi địa phương tựa thùng

E có một hệ cơ sở đếm được các tập bị chặn cũng là (DF)-không gian và mọikhông gian định chuẩn cũng là (DF)-không gian

Hệ quả 1.1.1 ([19]) Nếu E là không gian Fréchet thì E2 cũng là không gianFréchet và có thể đồng nhất E với không gian con đóng của E2

Chứng minh Theo Mệnh đề 1.1.13, ta có E1 là (DF)-không gian Do đó,theo Mệnh đề 1.1.12, E2 là không gian Fréchet Ánh xạ nhúng chính tắc

J : E Ñ E2 là đẳng cấu giữa E và J pEq vì E là không gian tựa thùng Vậy

J pEq đầy đủ trong E2 nên đóng trong đó

Hệ quả 1.1.2 ([19]) Không gian Fréchet E phản xạ nếu và chỉ nếu E1 phảnxạ

Chứng minh Nếu E phản xạ thì E1 cũng phản xạ Mặt khác, nếu E1 phản

xạ thì E2 cũng phản xạ Do đó, ta suy ra E phản xạ

Sau đây là các kết quả cần thiết dùng để chứng minh các định lý, mệnh

đề trong các chương sau

Định lý 1.1.6 ([25]) Cho E là không gian Fréchet Khi đó E là đóng trong

pEbor1 q1β

Chứng minh Vì tôpô trên E2 và tôpô trên pE1

borq1β là hội tụ đều trên mọitập con bị chặn tương ứng của E1

β và E1

bor, và E1

β có các tập bị chặn giốngnhư E1

bor nên tôpô trên pEbor1 q1β cảm sinh ra tôpô trên E2 Nói cách khác, vì

E2 là không gian Fréchet và E có thể được xem như là một không gian conđóng của E2 nên ta có E là đóng trong pE1

borq1β.Định lý 1.1.7 ([25]) Cho E là không gian Fréchet Khi đó pE2, σpE2, E1

qq là tập bị chặn và U là một lận cận tùy ýcủa0 P pE1

borq1β Chúng ta có thể giả sử rằng U “ V˝ với V là tập con bị chặncủaE1

qq Bây giờ, chúng ta có thể xét W “ B˝, khi đó tồn tại ε ą 0

sao cho V Ă εW “ εB˝ Hay

B Ă B˝˝ Ă W˝ Ă εB˝ Ă εU

Do đó, B bị chặn trong pE1

borq1β

Không gian Schwartz và Không gian Montel

Một không gian lồi địa phương E được gọi là không gian Schwartz nếu vớimỗi lân cận lồi, cân U của 0 P E, tồn tại lân cận V của 0 P E sao cho vớimỗi ε ą 0 tồn tại hữu hạn điểm x1, , xn P V để V Ď Ťni“1pxi ` εU q.

Mệnh đề 1.1.14 ([19]) Không gian lồi địa phương E là không gian Schwartznếu và chỉ nếu với mỗi không gian định chuẩn F và mỗi A P LpE, F q, tồntại lân cận V của 0 P E sao cho ApV q hoàn toàn bị chặn trong F.

Tính Schwartz được bảo toàn qua không gian con và không gian thươngđược cho bởi mệnh đề sau

Mệnh đề 1.1.15 ([19]) Mọi không gian con và không gian thương theomột không gian con đóng của không gian Schwartz cũng là một không gianSchwartz

Mệnh đề 1.1.16 ([19]) Nếu E là không gian Schwartz đầy đủ thì mọi tập

bị chặn B trong E là compact tương đối

Chứng minh Gọi tpαuαPI là họ nửa chuẩn sinh ra tôpô trên E Khi đó E cóthể được đồng nhất với không gian con của śαPIEα Nếu B là tập bị chặntrong E thì bao đóng của Bα “ iαpBq compact trong Eα với mỗi α P I Do

đó, theo định lý Tychonoff, śαPI Bα compact tương đối trong śαPIEα Vì

E đầy đủ nên E đóng trong śαPIEα Hơn nữa, do B Ď śαPI Bα nên B

compact tương đối trong E

Mệnh đề 1.1.17 ([19]) Nếu E là không gian Schwartz thì với mỗi lân cậnlồi, cânU của 0 P E tồn tại lân cận lồi, cân V của 0 P E sao choU˝ compacttương đối trong E1

V ˝.Cho E là không gian lồi địa phương Hausdorff và ký hiệu E2

“ pEβ1q1 là

đối ngẫu của E1

β Khi đó E được gọi là nửa phản xạ nếu E2

“ E Hơn nữa,một không gian nửa phản xạ được gọi là phản xạ nếu tôpô mạnh trên E2

trùng với tôpô xuất phát trên E

Một không gian lồi địa phương Hausdorff mà mọi tập bị chặn là compacttương đối được gọi là không gian nửa Montel Do đó, một không gian nửaMontel là nửa phản xạ và mọi dãy hội tụ yếu là hội tụ theo tôpô xuất phát.Vậy trên không gian nửa Montel thì tính phản xạ, tính thùng và tính tựathùng là tương đương với nhau Một không gian nửa Montel có một trongcác tính chất này được gọi là không gian Montel

Từ Mệnh đề 1.1.16 và định nghĩa không gian nửa Montel, dễ thấy rằngmột không gian Schwartz đầy đủ là không gian nửa Montel Hơn nữa, mộtkhông gian Montel luôn là không gian phản xạ và là không gian thùng

Mệnh đề 1.1.18 (i) Tích Descartes của các không gian nửa Montel (tươngứng Montel) là không gian nửa Montel (tương ứng Montel).

(ii) Không gian con đóng của không gian nửa Montel là không gian nửaMontel

(iii) Giới hạn xạ ảnh của các không gian nửa Montel là không gian nửaMontel

(iv) Tổng trực tiếp của các không gian nửa Montel (tương ứng Montel) làkhông gian nửa Montel (tương ứng Montel)

(v) Giới hạn quy nạp chính quy của của các không gian nửa Montel (tươngứng Montel) là không gian nửa Montel (tương ứng Montel)

(vi) NếuE là không gian Montel thì đối ngẫu mạnh E1

β là không gian Montel

trong đó tλnu P `1, các dãy tϕnu Ă X1 và tynu Ă pY bị chặn Nếu E và F

là các không gian lồi địa phương thì ánh xạ tuyến tính liên tục N : E Ñ F

được gọi là ánh xạ hạch nếu với mỗi nửa chuẩn liên tục β P cspF q đều tồntại nửa chuẩn liên tục α P cspEq và ánh xạ hạch N : pr Eα Ñ pFβ sao cho biểu

đồ sau giao hoán

Như vậy, ánh xạ tuyến tính liên tục N : E Ñ F được gọi là ánh xạ hạchgiữa các không gian lồi địa phương E và F nếu tồn tại dãy tλnu P `1, dãy

tϕnu Ă E1 đồng liên tục và tynu Ă pF là dãy bị chặn sao cho

trong đó các dãy tλnu, tϕnu và tynu thoả mãn định nghĩa của ánh xạ hạch

Do đó, mọi không gian hạch đều có tính chất xấp xỉ Ngoài ra, mệnh đề sauđây còn cho ta một đặc trưng khác tương đương của không gian hạch.Mệnh đề 1.1.19 ([23]) Nếu E là không gian lồi địa phương hạch và F làkhông gian lồi địa phương tuỳ ý thì

E bε F – E bπF,

tức là π-tôpô và ε-tôpô trùng nhau trên E b F

Trên thực tế người ta chứng minh được rằng không gian lồi địa phương

E là hạch khi và chỉ khi

`1pIq bεE “ `1pIq bπ E

trong đó I là tập chỉ số tuỳ ý (xem [23]) Do đó 1.1.19 cũng chính là điềukiện cần và đủ để E trở thành không gian hạch Do định lý đầy đủ củaGrothendieck (xem [17]) tính hạch của không gian lồi địa phương cũng đượcbảo tồn qua bao đầy của tích tensor (xạ ảnh) EbpπF

Ngoài các tính chất được trình bày ở trên, tính chất hạch còn được bảotồn qua một số phép toán được phát biểu trong mệnh đề sau

Mệnh đề 1.1.20 ([23]) (i) Tích tensor lồi địa phương của hai không gianhạch là không gian hạch.

(ii) Mọi không gian con và không gian thương (theo một không gian conđóng) của không gian hạch là không gian hạch

(iii) Không gian con và không gian thương (theo một không gian con đóng)của không gian Fréchet hạch là không gian Fréchet hạch

(iv) Tích Descartes của họ tuỳ ý các không gian hạch là không gian hạch vàtổng trực tiếp của dãy các không gian hạch là không gian hạch

(v) Giới hạn xạ ảnh của họ tuỳ ý các không gian hạch là không gian hạch

và giới hạn quy nạp của dãy các không gian hạch là không gian hạch.Mệnh đề sau đây cho ta đặc trưng về tính nửa phản xạ của không gianhạch Hơn nữa, tính nửa phản xạ trên không gian thùng tương đương vớitính phản xạ Tính chất này đặc trưng cho lớp không gian Fréchet hạch.Mệnh đề 1.1.21 ([27]) Không gian Fréchet E là hạch nếu và chỉ nếu nó làgiới hạn xạ ảnh của dãy các không gian Hilbert

Mệnh đề 1.1.22 ([17]) Cho E là không gian lồi địa phương metric Khi đó

E là không gian hạch khi và chỉ khi E1

β là hạch

Mệnh đề sau cho ta mối liên hệ giữa các không gian Schwartz và khônggian hạch

Mệnh đề 1.1.23 ([19]) Mọi không gian hạch là không gian Schwartz

1.1.4 Cơ sở Schauder tuyệt đối

Trong toán học, một cơ sở Schauder hoặc cơ sở đếm được cũng tương tựnhư cơ sở Hamel của một không gian véctơ; sự khác biệt là các cơ sở Hamel

sử dụng tổ hợp tuyến tính với các tổng hữu hạn, trong khi đối với các cơ

sở Schauder chúng có thể là các tổng vô hạn Điều này làm cho các cơ sởSchauder phù hợp hơn cho việc phân tích các không gian véctơ tôpô vô hạnchiều bao gồm các không gian Banach

Định nghĩa 1.1.7 Cho không gian Banach E, cơ sở Schauder là một dãy

tbnuně0 các phần tử của V sao cho với mọi phần tử v P E, tồn tại duy nhấtdãy vô hướng tαnuně0 sao cho

Một cơ sở Schauder tbnuně0 được gọi là chuẩn hóa khi tất cả các véctơ cơ

sở có chuẩn bằng 1 trong không gian Banach E

Dãy txnuně0 trong E là một dãy cơ bản nếu nó là một cơ sở Schauder củakhoảng đóng tuyến tính

Hai cơ sở Schauder tanuně0 trongE vàtbnuně0 trong F được cho là tươngđương nếu tồn tại hai hằng số c, C ą 0 sao cho với mọi số nguyên N ě 0 vàmọi dãy vô hướng tαnuně0 ta có

1.1.5 Lý thuyết đối ngẫu

Không gian đối ngẫu

Định nghĩa 1.1.8 Cho E là không gian véctơ tôpô trên trường K Ta kýhiệuE˚

“ LpE, Kq là không gian các dạng tuyến tính trênE,E1

“ LpE, Kq

là không gian các dạng tuyến tính liên tục trên E Khi đó, E˚ và E1 là cáckhông gian véctơ trên trường K Không gian E˚ được gọi là không gian đốingẫu đại số của E và E1 là không gian đối ngẫu của E

Định nghĩa 1.1.9 ([1]) Cho E và F là hai không gian véctơ trên cùng mộttrường K Ta nói rằng E và F là một cặp đối ngẫu và ký hiệu là pE, F q nếutrên E ˆ F xác định được một ánh xạ xx, yy : E ˆ F Ñ K thỏa mãn các điềukiện sau:

DFq Với mọi u P F, ánh xạ x ÞÑ xx, uy tuyến tính trên E và xx, uy “ 0với mọi u P F nếu và chỉ nếu x “ 0

DEq Với mọi u P E, ánh xạ u ÞÑ xx, uy tuyến tính trên F và u “ 0 nếu

và chỉ nếu xx, uy “ 0 với mọi u P E

Hiển nhiên nếu E và F là một cặp đối ngẫu thì F và E cũng là một cặpđối ngẫu

Định nghĩa 1.1.10 ([1]) Giả sử pE, F q là một cặp đối ngẫu Khi đó F làmột không gian con của E˚ và tương tự E cũng là một không gian con của

F˚ bởi hai tiên đề DE và DF Với mỗi u P F xác định nửa chuẩn pu trên E

pupxq “ |xx, uy|, x P E.

Tôpô lồi địa phương trên E sinh bởi họ các nửa chuẩn pu, u P F được kýhiệu là σpE, F q và gọi là tôpô yếu trên E của cặp đối ngẫu pE, F q Như vậytôpô σpE, F q có một hệ cơ bản các lân cận của không có dạng

U pu1, , un, ε1, , , εnq “ tx P E | u1pxq ă ε1, , unpxq ă εnu.

Định nghĩa 1.1.11 ([1]) Giả sử pE, F q là một cặp đối ngẫu Tôpô lồi địaphương ξ trên E được gọi là tôpô của cặp đối ngẫu (hay tương thích với)

pE, F q nếu pE, ξq1 “ F

Định lý 1.1.8 ([1], Định lý Mackey) Cho pE, F q là một cặp đối ngẫu Khi

đó mọi tôpô trên E tương thích với pE, F q có cùng các tập bị chặn

Định lý 1.1.9 ([1]) Nếu pE, F q là cặp đối ngẫu thì σpE, F q là tôpô lồi địaphương Hausdorff yếu nhất trên E thỏa mãn

rE, σpE, F qs1 “ F

Sau đây là một số tính chất trên không gian đối ngẫu của một không gianlồi địa phương

Bổ đề 1.1.1 Cho p và q là hai nửa chuẩn trên không gian véctơ E Nếu

qpxq ă 1 kéo theo ppxq ď 1 thì ppxq ď qpxq với mọi x P E

Định lý 1.1.10 Cho E là một không gian lồi địa phương, f1 là một dạngtuyến tính liên tục trên một không gian con M của E Khi đó, tồn tại f P E1

sao cho f |M “ f1

Hệ quả 1.1.3 Cho E là một không gian lồi địa phương Khi đó với mọi

a P E, a ‰ 0, tồn tại f P E1 sao cho f paq “ 1

Định lý 1.1.11 Cho E là một không gian lồi địa phương, A Ă E là tập conlồi tuyệt đối và a R A Khi đó, tồn tại f P E1 sao cho

Cho không gian véctơ E, U Ă E là tập mở hữu hạn nếu và chỉ nếu U X F

là tập con mở của không gian Euclide F với F là không gian con hữu hạnchiều của E

1.2.1 Đa thức giữa các không gian lồi địa phương

Định nghĩa 1.2.1 ([8]) Cho E, F là các không gian véctơ trên trường sốphức Với mỗi n P N, một ánh xạ xác định trên En và lấy giá trị trên F đượcgọi là ánh xạ n-tuyến tính nếu nó tuyến tính với mỗi biến khi ta cố định

pn ´ 1q biến còn lại.

Ta ký hiệu LapnE; F q là không gian các ánh xạ n- tuyến tính từ E vào

F Chỉ số a ký hiệu cho thuật ngữ “algebraic” (đại số) vì ta không giả thiếtbất kỳ tính chất liên tục nào Rõ ràng Lapn

E; F q là một không gian véctơtrên trường số phức C Vì ánh xạ 1-tuyến tính cũng là ánh xạ tuyến tínhnên trong trường hợp này ta ký hiệu LapE; F q thay cho Lap1E; F q

Khi F “ C ta ký hiệu LapnEq thay cho Lap1E;Cq và E˚ thay cho

LapE;Cq E˚ được gọi là đối ngẫu đại số của E

Với mỗi n PN ta ký hiệu ∆n là ánh xạ được xác định như sau:

∆n : E Ñ En, x ÞÑ px, x, , xq :“ xn

Định nghĩa 1.2.2 ([8]) Cho E, F là các không gian véctơ trên trường sốphức Với mỗin P N, một ánh xạ từE vào F được gọi là một đa thức n-thuầnnhất nếu nó là hợp thành của ∆n với một phần tử của Lap1E; F q

Ta ký hiệuPapnE; F qlà không gian véctơ tất cả các đa thức n-thuần nhất

từ E vào F Một đa thức từ E vào F là một tổng hữu hạn các đa thức thuầnnhất từ E vào F Không gian véctơ tất cả các đa thức thuần nhất từ E vào

F được ký hiệu là PapE; F q

Định nghĩa 1.2.3 ([8]) Cho E, F là các không gian véctơ trên trường sốphức Với mỗi n PN, một ánh xạ n-tuyến tính L từ E vào F được gọi là đốixứng nếu

1.2.2 Hàm chỉnh hình Gâteaux và hàm chỉnh hình giá trị véctơ

Định nghĩa 1.2.4 ([8]) Cho E, F là các không gian lồi địa phương và D làmột miền (tập mở, liên thông) trong E Một hàm giá trị véctơ f : D Ñ F

được gọi là chỉnh hình Gâteaux nếu với mọi a P D, b P E và hàm ϕ P F1, đốingẫu của F, thì hàm một biến phức

λ ÞÑ pϕ ˝ f qpa ` λbq

chỉnh hình trên một lân cận của 0 P C.

Ta ký hiệu HGpD, F q là không gian véctơ tất cả các hàm chỉnh hìnhGâteaux trên D với giá trị trong F Ta cũng ký hiệu HGpDq thay cho

HGpD,Cq trong trường hợp F “ C.

Mệnh đề 1.2.2 ([8]) Cho E, F là các không gian lồi địa phương và D làmiền trong E Với mỗi x P D ta đặt

Bx :“ tz P E : x ` λz P D, |λ| ď 1u

Giả sử Fp là không gian đầy đủ hóa của F Khi đó, nếu ánh xạ f : D Ñ F

thì f P HGpD, F q khi và chỉ khi với mỗi x P D tồn tại duy nhất một dãy các

|λ|“1

f px ` λzq

λn`1 dλ

Tiếp theo ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.2.5 ([8]) Cho E, F là các không gian lồi địa phương và D làmột miền trong E Một hàm giá trị véctơ f : D Ñ F được gọi là chỉnh hìnhnếu nó chỉnh hình Gâteaux và liên tục

Định nghĩa 1.2.6 ([8]) Cho E, F là các không gian lồi địa phương và U

là tập con mở của E Tôpô mở compact τ0 trên không gian các hàm chỉnhhình HpU, F q là tôpô lồi địa phương sinh bởi các nửa chuẩn

pα,KpF q :“ }f }α,K “ sup

xPK

αpf pxqq

trong đó K chạy trên các tập con compact của U và α chạy trên tập các nửachuẩn liên tục trên F.

Ta ký hiệu HpD, F q là không gian véctơ tất cả các hàm chỉnh hình trên

D với giá trị trong F Ta cũng ký hiệu HpDq thay cho HpD,Cq Ngoài ra,

ta còn ký hiệu HbpE, F q là không gian tất cả các hàm chỉnh hình từ E vào

F bị chặn trên mọi tập bị chặn trong E và ký hiệu HubpEq là tập các hàmchỉnh hình bị chặn trên rU với U là lân cận nào đó của 0, với mọi r ą 0.Chú ý rằng HubpEq Ď HbpEq

Không gian HpE, F q trang bị tôpô mở compact τ0

Mệnh đề 1.2.3 ([8]) Nếu U là một tập con mở của không gian lồi địaphương E và F là một không gian định chuẩn thì f P HpU, F q là chỉnh hìnhnếu và chỉ nếu nó bị chặn địa phương

1.2.3 Tập đa cực

Định nghĩa 1.2.7 Cho D là tập con mở của không gian lồi địa phương E.Tập B Ă D được gọi là đa cực trong D nếu tồn tại một hàm đa điều hòadưới ϕ trên D sao cho ϕ ‰ ´8 trên bất kỳ thành phần liên thông nào của

D và ϕ|B “ ´8.

Ta nhận xét rằng hợp hữu hạn các tập đa cực là một tập đa cực Hơn nữa,trong Cn, hợp đếm được các tập đa cực là một tập đa cực Tuy nhiên, điềunày không đúng trong trường hợp không gian Fréchet vô hạn chiều Năm

1968, Lelong đã chứng minh trong không gian HpCnq thì mọi tập bị chặnđều đa cực

Trong trường hợp không gian hữu hạn chiều, tập E được gọi là đa cực toàncục nếu tồn tại ϕ P P SHpCnq, ϕ ‰ ´8 sao cho E Ă tz P Cn : ϕpzq “ 8u.Năm 1978, Josefson đã chỉ ra rằng khái niệm tập đa cực và tập đa cực toàncục là trùng nhau trên Cn

Định nghĩa 1.2.8 ([1]) Giả sử pE, F q là một cặp đối ngẫu và A Ă E Tập

đa cực của A trong F xác định bởi

A˝ “ tu P F : sup

xPA

|xx, uy| ď 1u