Các kết quả trong chương này chủ yếu được tham khảo từ tài liệu [19]
và [28]. Định lý sau đây cung cấp một số đặc trưng của vành hoàn chỉnh phải R với J(R) = Z(RR) và chứng tỏ rằng vành này là vành P
-đếm được C3 phải.
Định lý 3.0.1. Cho vành R các phát biểu sau tương đương:
(1) R là một vành P
-đếm được C3 phải và với mọi a ∈ R, r(a) ⊆ess eR, trong đó e2 = e ∈ R;
(2) R là một vành P
-đếm được C3 phải và với mọi a ∈ R, aR = P ⊕S, trong đó PR là xạ ảnh và SR là suy biến;
(3) R là hoàn chỉnh phải với J(R) = Z(RR);
(4) Mọi môđun con Q của một R-môđun xạ ảnh phải P có một phân tích Q= X ⊕Y, trong đó X là hạng tử trực tiếp của P và Y ⊆ Z(P). Chứng minh. (1) ⇒ (2) Giả sử r(a) ⊆ess (1−f)R, trong đó f2 = f ∈ R.
Ta cần chứng minh aR = af R⊕a(1−f)R.
Thật vậy, rõ ràng aR = af R+a(1−f)R. Nếu x ∈ af R∩a(1−f)R, thì x = af r = a(1−f)s, trong đór, s ∈ R. Khi đóf r−(1−f)s ∈ r(a) ⊆ (1−f)R, do đó f r = 0, Bởi vậy x = af r = 0.
Khi đú af R ∼= f R vỡ ỏnh xạ nhõn aã : f R → af R cú Ker(aã) = {f r | af r = 0} = f R ∩ r(a) = 0. Do đó af R là xạ ảnh. Cuối cùng, ánh xạ aã : (1 − f)R → a(1− f)R cú Ker(aã) = (1 −f)R ∩ r(a) = r(a). Do đó a(1−f)R ∼= (1−f)R/r(a), do đó a(1−f)R là suy biến theo Bổ đề 1.1.33 vì r(a) ⊆ess (1−f)R.
(2) ⇒ (1) Giả sử aR = P ⊕S như (2), và π : aR → P là phép chiếu với ker(π) = S. Khi đó định nghĩa λ : R → P bởi λ(r) = π(ar) và đặt K = ker(λ). Ta cóλlà toàn ánh, khiP là xạ ảnh,K = eRvới e2 = e ∈ R. Rõ ràng r(a) ⊆ rR; ta cần chứng minh r(a) ⊆ess eR.
Nếu k ∈ K thì ak ∈ S vì π(ak) = λ(k) = 0. Do đó, ta có ánh xạ θ : K → S định nghĩa bởi θ(k) = ak. Khi đó ker(θ) = K ∩r(a) = r(a), nên K/r(a) ∼= im(θ) ⊆ S. Bởi vậy K/r(a) là suy biến.
Nếu K ⊕Q= F là tự do và r(a) =¯ r(a)⊕Q thì F/r(a)¯ ∼= K/r(a) là suy biến, do đó ta giả sử K là tự do. Trong trường hợp này, giả sử {ei | i ∈ I} là cơ sở của KR và Ai = r(ei +r(a)) với mỗi i. Khi đó Ai ⊆ess RR, trong đóeiAi ⊆ess eiR, do đóP
eiAi ⊆ess PeiR = K. Nhưng (ei+r(a))Ai = 0 nghĩa là eiAi ⊆r(a) với mỗi i. Do đó r(a) ⊆ K.
(2) ⇔ (3) Theo 2.2.21.
(3) ⇒ (4) Hiển nhiên vì giả sử Qlà một môđun con của một R-môđun xạ ảnh phải P. Vì R là hoàn chỉnh phải nên R-môđun phải P/Q có một phủ xạ ảnh. Do đó P có một phân tích P = P1 ⊕ P2 sao cho P1 ⊆ Q
và Q ∩ P2 ⊆ J(P), Nhưng J(P) = P.J(R) = P.Zr ⊆ Z(P). Do đó Q= X ⊕Y, trong đó X = P1 và Y = Q∩ P2.
(4) ⇒ (3) Dễ thấy.
Vì J(R) = Z(RR) luôn đúng với vành tự nội xạ bất kỳ, nên hệ quả tiếp theo được suy ra trực tiếp từ Định lý 2.2.21 và Định lý 3.0.1.
Hệ quả 3.0.2. Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R đã cho:
(1) R là một vành P
-đếm được C3 phải và E(RR) là xạ ảnh;
(2) R là vành tự nội xạ phải hoàn chỉnh phải.
Một R-môđun phải M được gọi là Q
-xạ ảnh đếm được nếu một tích trực tiếp bất kỳ của các bản sao của M là xạ ảnh.
Định lý 3.0.3. Các điều kiện sau là tương đương:
(1) R là một vành P
-đếm được C3 phải và E(RR) là Q
-xạ ảnh đếm được;
(2) R là vành QF.
Chứng minh. (2) ⇒ (1) Dễ thấy.
(1) ⇒ (2) Theo Hệ quả 3.0.2, R là tự nội xạ phải, và do đó R-môđun RR là Q
-xạ ảnh đếm được. Theo Định lý 2.2.21, R(RN) là hạng tử trực tiếp của R-môđun RRN nội xạ, và tương đương R là một vành P
đếm được nội xạ phải. Theo Mệnh đề 1.1.39 và Mệnh đề 1.3.11, ta có R là vành QF.
Một vành R được gọi là Kasch trái nếu mọi R-môđun đơn trái được nhúng trong RR, tương đương, nếu r(L) 6= 0 với mọi iđêan trái thực sự L
của R. Theo Định lý 2.2.19, mọi vành Kasch trái là một vành C3 mạnh phải.
Hệ quả 3.0.4. Các điều kiện sau là tương đương:
(1) R là vành nội xạ đơn trái hoàn chỉnh phải;
(2) R là một vành P
-đếm được C3 phải và r(L) là đơn với mọi iđêan L trái cực đại của R;
(3) R là một vành P
-đếm được C3 phải và môđun đối ngẫu của mọi R-môđun trái đơn là đơn.
Chứng minh. (1) ⇒ (3) Giả sử MR là đơn và 06= δ ∈ M∗, ta chứng minh rằng M∗ = Rδ. Dễ thấy rằng δ : M → δ(M) là một dẳng cấu. Cho γ ∈ M∗ ta có δ(M) δ
−−→−1 M −→γ R, do đú γ ◦δ−1 = aã với a ∈ R theo (1).
Từ đó suy ra γ = aδ, do đó (3) được chứng minh xong.
(3) ⇒ (2) Nếu L là iđêan trái cực đại của R thì R/L = R(1 + L) là đơn và (1 +L)l = L. Giả sử b ∈ r(L), ánh xạ λb : R/L → R được định nghĩa bởi λb(mr) = br. Khi đó b 7→ λb là một đơn cấu r(L) → (R/L)∗ của các R-môđun trái, và nó là toàn cấu vì nếu λ ∈ (R/L)∗, thì λ = λb trong đó b = λ(m) ∈ r(L). Do đó r(L) ∼= (R/L)∗. Bởi vậy (2) thỏa.
(2) ⇒(1) TừRR là mộtP
-đếm được C3-môđun suy ra Rlà vành hoàn chỉnh phải theo 2.2.21.
Bây giờ ta chỉ cần chứng minh R là vành nội xạ đơn trái. Giả sử λ : M →R, trong đó M là R-môđun đơn, cho ι : M →R là phép nhúng.
Khi đú M∗ = Rι theo (2), do đú λ = cι với c ∈ R. Bởi vậy λ = cã.
Nếu R thỏa mãn một điều kiện tương đương bất kỳ của hệ quả trên, thì R là Kasch trái và phải.
Mệnh đề 3.0.5. Cho R là vành nửa hoàn chỉnh với soc(RR) ⊆ess RR và J(R) ⊆ Z(RR). Khi đó R là một vành Kasch phải. Nói riêng, R là vành C3 trái mạnh. Hơn nữa, nếu R hoặc R/soc(RR) thỏa ACC trên linh hóa tử trái, thì R là một vành P
-đếm được C3 trái.
Chứng minh. Vì R là nửa hoàn chỉnh nên mọi iđêan T của R có thể được viết T = eR⊕K, trong đó e2 = e∈ R và K ⊆ J(R). Đặc biệt, Z(RR) ⊆ J(R), và theo giả thuyết thì J(R) = Z(RR). Hơn nữa, vì R là nửa địa phương, nên soc(RR) ⊆ l(Z(RR)) = l(J(R)) = soc(RR), và tương đương soc(RR) ⊆ess RR. Khi đó l(T) = l(eR) ∩ l(K) = R(1 − e) ∩ l(K) ⊇ R(1− e)∩ l(J) = R(1− e) ∩ soc(RR) 6= 0. Do đó R là Kasch phải, và theo Định lý 2.2.19 R là vành C3 mạnh trái.
Nếu ta giả sử thêm rằng R có ACC trên linh tử hóa trái, thì Z(RR) là lũy linh và do đó R là nửa nguyên tố. Vì R là một vành C3 mạnh trái, nên theo Định lý 2.2.21 RR là một P
-đếm được C3-môđun. Khi đó giả sử R¯ = R/soc(RR) có ACC trên linh tử hóa trái. Ta sẽ chứng minh rằng J là T-lũy linh trái. Thật vậy, giả sử a1, a2, . . . là một dãy các phần tử từ J(R) =Z(RR). Vì soc(RR) ⊆ l(Z(RR)), mỗi ai ∈ r(soc(RR)), và theo Mệnh đề 1.1.32 nờn ta suy ra l(a1a2ã ã ãan+1) = l(a1a2ã ã ãan) với cỏc số nguyờn n ≥ 1. Ta khẳng định rằng a1a2ã ã ãan = 0. Mặt khỏc, vỡ an+1 ∈ Z(RR)nờnl(an+1)∩Ra1a2ã ã ãan 6= 0, và do đú tồn tại06= x = ra1a2ã ã ãan
sao cho ra1a2ã ã ãanan+1 = 0 với r ∈ R. Nhưng khi đú r ∈ l(a1a2ã ã ãan), và x = 0 (mâu thuẫn). Điều này chứng tỏ rằng J(R) là T-lũy linh trái.
Vì R là nửa hoàn chỉnh, nên R là hoàn chỉnh trái, và do đó RR là một P-đếm được C3-môđun.
Các ví dụ sau đây chứng tỏ rằng các vành P
-đếm được C3 phải là không P
-đếm được C3 trái và không là tự nội xạ trái (hoặc phải).
Ví dụ 3.0.6. Cho F là một trường và R là vành của các ma trận vuông tam giác trên vô hạn đếm được trên F, với hữu hạn các phần tử ngoài đường chéo khác không. Cho S là F-đại số của R sinh bởi 1 và J(R). Khi đó S là vành nội xạ đơn trái, hoàn chỉnh trái và S là không hoàn chỉnh phải và không nội xạ đơn. Đặc biệt, S không là vành P
-đếm được C3 phải. Hơn nữa, S không là tự nội xạ trái vì nó không là hữu hạn chiều trái. Bởi vì S/J(S) ∼= F, từ đó suy ra S là một vành Kash phải và tương đương S là một vành C3 mạnh trái. Theo Định lý 2.2.21, S là một vành P-đếm được C3 phải.
Ví dụ 3.0.7. (Johhn Clark) Vành R giao hoán với chuỗi các iđêan 0 = Rv0 ⊃Rv1 ⊃ Rv2ã ã ã ⊃ V ⊃ ã ã ã ⊃Rp2 ⊃ Rp ⊃R
trong đó p và vi thỏa mãn pvk = vk−1 với mọi k ≥1 và V không là iđêan chính. Do đó R là địa phương với đế cốt yếu đơn. Hơn nữa, R là vành Kasch nội xạ đơn với J(R) = Z(R), hoặc là không hoàn chỉnh và không tự nội xạ. Đặc biệt, R là một vành C3 mạnh nhưng không là một P
-đếm được C3-môđun.
Ví dụ 3.0.8. (Bj¨ork) Cho F là một trường và giả sử rằng a → ¯a là một đẳng cấu F → F ⊆ F trong đó trường con F 6= F. Cho R là không gian vectơ trái với cơ sở {1, t}, ta định nghĩa t2 = 0 và ta= ¯at với mọi a ∈ F.
Khi đó R là một F-đại số. Dễ thấy R là vành nội xạ đơn phải Artin trái địa phương. Đặc biệt, R là một vành P
-đếm được C3 phải và trái, Kasch phải và trái. Tổng quát, R không cần là QF; và R là QF nếu và chỉ nếu dim(FF) = 1.