MỘT SỐ LỚP MÔĐUN VÀ VÀNH THỎA MÃN TÍNH CHẤT C3
2.2 Đặc trưng một số lớp vành thông qua môđun
Mệnh đề 2.2.1. Cho M là một R-môđun phải, và S = End(MR). Nếu S là một vành C3 phải, thì M là C3-môđun phải. Đặc biệt, nếu Mn(R) là một vành C3, thì R(n)R là một C3-môđun.
Chứng minh. Cho A ⊆⊕ M, B ⊆⊕ M và A ∩ B = 0, ta cần chứng minh A⊕B ⊆⊕ M. Giả sử e2 = e ∈ S, f2 = f ∈ S sao cho A = eM và B = f M. VìA∩B = 0, nêneS∩f S = 0và do đóeS⊕f S ⊆⊕ S. NếuS = eS⊕f S⊕gS với phần tử lũy đẳngg ∈ S, thìM = eM⊕f M⊕gM,(đpcm).
Khẳng định cuối được suy ra từ End(RR(n)) ∼= Mn(R).
Nhận xét 2.2.2. Một vành C3 phải không bất biến Morita. Mặt khác, M2(R) là một vành C3 phải với R là một vành C3 phải, và theo Mệnh đề 2.2.1, R⊕R là một C3-môđun phải. Do đó, theo Hệ quả 2.1.17, R là vành C2. Đây là một mâu thuẫn, vì Z là một ví dụ của vành C3 nhưng không phải là vành C2.
Mệnh đề 2.2.3. Những điều kiện sau đây là tương đương:
(1) R(n)R là một C3-môđun phải với mọi n ≥1; (2) R(n)R là một C2-môđun phải với mọi n ≥1; (3) Mn(R) là một vành C2 phải với mọi n≥ 1; (4) Mn(R) là một vành C3 phải với mọi n≥ 1.
Không khó để chứng minh rằng một môđun M là trực tiếp nội xạ nếu và chỉ nếu A ⊆ M và mọi đơn cấu f : A → M, tồn tại một đồng cấu
g :M → Asao cho g◦f = i, trong đó i : A →A là ánh xạ đồng nhất. Rõ ràng, các môđun trực tiếp nội xạ là bảo toàn tương đương Morita. Trong khi đó chúng tôi không chắc chắn rằng các C3-môđun có bảo toàn tương đương Morita hay không, ta có nhận xét sau:
Nhận xét 2.2.4. Cho M là R-môđun phải, và định nghĩa điều kiện (∗) trên M là ”Nếu M = A1 ⊕ A2 với các môđun con A1 và A2 của M, f : A1 → A2 là một R-đơn cấu và i : A1 → A2 là ánh xạ đồng nhất, thì tồn tại mộtR-đồng cấug :A2 → A1 sao chog◦f = i”. Theo Hệ quả 2.1.15, mọi C3-môđun thỏa mãn điều kiện (∗). Khi đó vì tương đương Morita bảo toàn hạng tử trực tiếp, đơn cấu và đẳng cấu, nên nếu R và S là vành tương đương Morita với phạm trù tương đương Γ : M od−R →M od−S, thì một R-môđun phải MR thỏa mãn điều kiện (∗) nếu và chỉ nếu Γ(M)S thỏa mãn điều kiện (∗).
Mệnh đề sau chứng tỏ rằng R là một vành nửa đơn nếu và chỉ nếu tổng trực tiếp của hai C3-môđun bất kỳ là một C3-môđun.
Mệnh đề 2.2.5. Những điều kiện sau đây là tương đương:
(1) R là một vành nửa đơn;
(2) Tổng trực tiếp của hai C3-môđun bất kỳ là một C3-môđun;
(3) Mỗi môđun con của một R-môđun xạ ảnh là một C3-môđun;
(4) Mỗi môđun con của R⊕R là một C3-môđun;
(5) Mỗi môđun con của một R-môđun nội xạ là một C3-môđun.
Chứng minh. (1) ⇒ (2), (1) ⇒ (3) ⇒ (4) và (1) ⇒ (5) dễ thấy.
(2) ⇒ (1) Giả sử tổng trực tiếp của hai C3-môđun bất kỳ là một C3- môđun, và K hoặc là R-môđun nửa đơn hoặc là R-môđun phải không phân tích được. Ta sẽ chứng minh trong cả hai trường hợp, K là nội xạ.
Rõ ràng, K ⊕ E(K) là một C3-môđun, và nếu i : K → E(K) là đơn cấu, theo Hệ quả 2.1.15, K ∼= i(K) ⊆⊕ E(K), và K là nội xạ. Vì mọi R-môđun phải nửa đơn là nội xạ nên R là V-vành phải Noether phải. Khi đú R = K1 ⊕K2 ⊕ ã ã ã ⊕Kn là tổng trực tiếp của cỏc iđờan phải khụng phân tích được. Vì mỗi Ki là nội xạ nên R là tự nội xạ phải, đặc biệt, R/J(R)là một vành chính quy. Nhưng vì Rlà vành V phải nên J(R) = 0, và tương đương, R là vành Noether phải chính quy phải. Vậy R là vành nửa đơn.
(4) ⇒ (1) Nếu I là một iđêan phải của R thì I ⊕R là một C3-môđun.
Theo Hệ quả 2.1.15, nếu i : I → R là ánh xạ nhúng, thì I ⊆⊕ R, và R là nửa đơn.
(5) ⇒ (1) Nếu M là một R-môđun phải, thì M ⊕E(M) là một môđun con của E(M) ⊕E(M). Bởi vậy, M ⊕E(M) là một C3-môđun. Do đó, đơn cấu chính tắc M → E(M) là chẻ ra; và do đó M là nội xạ và R là nửa đơn.
Định lý sau chứng tỏ rằng R là một vành chính quy nếu và chỉ nếu mọi iđêan chính phải của M2(R) sinh bởi một ma trận đường chéo là một C3-môđun. Tương đương, nếu mọi môđun con 2-sinh của một R-môđun xạ ảnh là một C3-môđun.
Định lý 2.2.6. Đối với vành R những điều sau đây là tương đương:
(1) R là một vành chính quy;
(2) Mọi iđêan chính phải của M2(R) là một C3-môđun;
(3) Mọi iđêan chính phải của M2(R) sinh bởi một ma trận đường chéo là một C3-môđun;
(4) Mọi môđun con hữu hạn sinh bởi một R-môđun xạ ảnh phải là một hạng tử trực tiếp;
(5) Mọi môđun con hữu hạn sinh bởi một R-môđun xạ ảnh phải là một C3-môđun;
(6) Mọi môđun con 2-sinh của một R-môđun xạ ảnh là một C3-môđun.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) Vì chính quy là một tính chất bất biến Morita, nên S = M2(R) là một vành chính quy, và do đó mỗi iđêan chính phải của S là một hạng tử trực tiếp củaS. Vì mỗi vành chính quy là mộtC3-môđun phải và trái, và một hạng tử của một C3-môđun cũng là một C3-môđun.
Vậy mọi iđêan chính phải của S là một C3-môđun.
(2) ⇒ (3) Dễ thấy.
(3) ⇒ (1) Giả sử S = M2(R), a ∈ R và I là iđêan chính phải của S sinh bởi ma trận đường chéo
a 0 0 1
.S-môđun phải I là mộtC3-môđun.
Nếu e =
1 0 0 0
, thì S và R là tương đương Morita, theo M → M e, trong đó M là một S-môđun phải. Khi đó vì Ie ∼= aR⊕R như R-môđun phải và I thỏa mãn điều kiện (∗), nên theo Nhận xét 2.2.4, aR⊕R thỏa
mãn điều kiện (∗) như một R-môđun phải, và ánh xạ nhúng i : aR → R là chẻ ra. Do đó, aR là hạng tử trực tiếp của R, và R là một vành chính quy.
(1) ⇒ (4) Giả sử P là một môđun xạ ảnh trên vành chính quy R, ta cần chứng minh môđun con hữu hạn sinh bất kỳ của P là một hạng tử trực tiếp của P. Ta có thể giả sử P là tự do với các phần tử cơ sở hữu hạn (giả sử là n) và S là môđun con của P, I là tập tất cả các ma trận thuộc Rn (trong đó Rn là vành các ma trận cấp n) sao cho các ma trận này có tất cả các hàng phụ thuộc vào S. Khi đó I là một iđêan trái hữu hạn sinh thuộc Rn và do đó I có phần bù cộng là iđêan trái J. Nếu ký hiệu T là môđun con của P chứa tất cả các hàng xuất hiện trong J, thì ta có P = S ⊕T.
(4) ⇒ (5) ⇒ (6) Dễ thấy.
(6) ⇒(1) Nếua ∈ R, thì aR⊕R là mộtC3-môđun như một R-môđun.
Theo Hệ quả 2.1.15, nếu aR → R là ánh xạ nhúng, thì aR ⊆⊕ R, và R là một vành chính quy.
Định lý 2.2.7. Cho vành R. Những điều sau là tương đương:
(1) R là một vành di truyền phải;
(2) Mọi môđun thương của một R-môđun nội xạ phải là một C3-môđun.
Chứng minh. (1) ⇒(2) Nếu R là một vành di truyền phải thì mọi môđun thương của một môđun nội xạ là nội xạ. Do đó mọi môđun thương của một môđun nội xạ là một C3-môđun.
(2) ⇒ (1) Giả sử M là một R-môđun phải nội xạ và K là một môđun con của M. Ta cần phải chứng minh rằng M/K là nội xạ. Ta có M ⊕
E(M/K) là một môđun nội xạ. Do đó(M⊕E(M/K))/(K⊕0) = M/K⊕ E(M/K) là một C3-môđun (vì M/K ⊕E(M/K) là một môđun thương củaM⊕E(M/K)). Khi đó theo Hệ quả 2.1.15 R-đơn cấu nhúng M/K ,→ E(M/K) chẻ ra; và do đó M/K là nội xạ.Vậy R là một vành di truyền phải.
Mệnh đề 2.2.8. Những điều sau là tương đương đối với vành R: (1) Mọi vành thương của R là di truyền phải;
(2) Mọi môđun thương của một R-môđun Π-tựa nội xạ phải là tựa nội xạ;
(3) Mọi môđun thương của mộtR-môđun Π-tựa nội xạ phải là C3-môđun.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) Cho E là một R-môđun Π-tựa nội xạ phải là tựa nội xạ và N là một môđun con của E. Khi đó E là nội xạ trên vành di truyền phải R/AnnR(E) theo Mệnh đề 1.1.35, trong đóAnnR(E)là iđêan linh hóa tử của E thuộc R và do đó E/N là nội xạ trên R/AnnR(E). Bởi vậy E/N là tựa nội xạ trên R.
(2) ⇒ (3) Dễ thấy.
(3) ⇒ (1) Cho I là một iđêan của R và E là một R/I-môđun phải nội xạ. Theo Định lý 2.2.7, ta cần chứng minh rằng mọi môđun thương E/N, như một R/I-môđun, là một C3-môđun. Vì I ⊆ AnnR(E), E là nội xạ như một R/AnnR(E)-môđun. Do đó, E là Π-tựa nội xạ như một R-môđun phải. Khi đó theo giả thuyết E/N là một C3-môđun như một R-môđun, và do đó như một R/I-môđun.
Định lý 2.2.9. Những điều kiện sau đây là tương đương:
(1) R là một vành Noether phải;
(2) Mọi R-môđun nội xạ phải là P
-nội xạ;
(3) Mọi R-môđun tựa nội xạ phải là P
-tựa nội xạ;
(4) Mọi tổng trực tiếp của các R-môđun nội xạ phải là C3-môđun;
(5) Mọi tổng trực tiếp đếm được của các R-môđun nội xạ phải là C3- môđun;
(6) Mọi tổng trực tiếp của các R-môđun nội xạ phải là C3-môđun đếm được;
(7) Mọi R-môđun tựa nội xạ phải là C3-môđun đếm được.
Chứng minh. (1) ⇔ (2) ⇔ (3) Đây là một kết quả đã được chứng minh trong [10] và [11].
(1) ⇒ (4) ⇒ (5) Theo Mệnh đề 1.1.30 vì mọi môđun nội xạ là một C3-môđun.
(5) ⇒ (1) Nếu M = Li∈IMi là một tổng trực tiếp đếm được các R- môđun phải nội xạ, thìM⊕E(M)là một C3-môđun. Theo Hệ quả 2.1.15, nếu i : M → E(M) là một ánh xạ nhúng, thì M ∼= i(M) là hạng tử của E(M). Do đó M ∼= E(M) là nội xạ và R là Noether phải theo 1.1.30.
(7) ⇒ (6) Dễ thấy.
(6) ⇒ (5) Cho M = Li∈IMi là một tổng trực tiếp đếm được của các R-môđun nội xạ phải, và tập hợp K =: Qi∈IMi. Vì K là nội xạ, theo giả thuyết K(I) là một C3-môđun. MI là nội xạ, K = Mi ⊕ Ti với một
môđun con Ti ⊆K,i ∈ I. Khi đó, vìK(I) = (Li∈I Mi)⊕(Li∈ITi)là một C3-môđun, và hạng tử trực tiếp của C3-môđun cũng là một C3-môđun, từ đó suy ra L
i∈IMi là một C3-môđun.
(1) ⇒ (7) Dễ thấy.
Tiếp theo, chúng tôi sẽ chứng minh một vành R là nửa đơn nếu và chỉ nếu mọi R-môđun phải có một C3-phủ, và R là Noether phải nếu và chỉ nếu mọi tổng trực tiếp các R-môđun phải nội xạ có một C3-phủ. Nhưng trước hết, ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.2.10. Một R-đồng cấug : E →M được gọi là mộtC3-phủ của một R-môđun phải M nếu với E, E0 là các C3-môđun và đồng cấu θ : E0 → M tồn tại đồng cấu α : E0 → E thỏa mãn θ = gα sao cho biểu đồ sau giao hoán
E
g
E0
∃α ==
θ //M và biểu đồ
E
g
E
∃α >>
g //M chỉ giao hoán bởi tự đẳng cấu α.
Định lý 2.2.11. Những điều kiện sau tương đương:
(1) R là vành Noether phải;
(2) Mọi tổng trực tiếp của các R-môđun nội xạ phải có một C3-phủ.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) Dễ thấy vì trên một vành Noether phải, mọi tổng trực tiếp của các R-môđun phải là nội xạ.
(2) ⇒ (1) Cho M = Li∈IMi là một tổng trực tiếp bất kì của các R-môđun nội xạ phải và g : E → M là một C3-phủ của M. Xét biểu đồ sau:
E
g
Mi
∃αi
==
πi //M
trong đó πi là nội xạ chính tắc với i ∈ I. Theo Định nghĩa 2.2.10, tồn tại một đồng cấu αi : Mi → E sao cho gαi = πi với i ∈ I. Định nghĩa α : M →E bởiα(Pni=1mi) = Pni=1αi(mi) vớimi ∈ Mivài ∈ I. Rõ ràng, α đã được định nghĩa rõ ràng và ta có gα(Pni=1mi) = Pni=1gαi(mi) = Pn
i=1πi(mi) = Pni=1(mi). Do đó, gα = 1M, và αi : Mi → E là đơn cấu chẻ ra. Do đó M ∼= K ⊆⊕ E, và theo Bổ đề 2.1.12, M là một C3-môđun.
Khi đó theo Định lý 2.2.9, R là Noether phải.
Định lý 2.2.12. Những điều kiện sau là tương đương:
(1) R là vành nửa đơn;
(2) Mọi R-môđun phải có một C3-phủ.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) Dễ thấy.
(2) ⇒ (1) Với suy luận tương tự chứng minh (2) ⇒ (1) trong Định lý 2.2.11 trên, ta có thể chứng minh một tổng trực tiếp bất kỳM = Li∈IMi của các C3-môđun phải cũng là một C3-môđun. Khi đó theo Mệnh đề 2.2.5, R là nửa đơn.
Định nghĩa 2.2.13. Cho M và N là các R-môđun phải. M được gọi là đế N-nội xạ (soc-N-nội xạ) nếu R-đồng cấu bất kỳ f : soc(N) → M mở rộng đến N. M được gọi là soc-nội xạ mạnh nếu M là soc-N-nội xạ với tất cả các R-môđun phải N.
Bổ đề 2.2.14. Với một R-môđun phải M, các điều kiện sau tương đương:
(1) M là soc-nội xạ mạnh;
(2) M là soc-E(M)-nội xạ;
(3) M = E ⊕T, trong đó E là nội xạ và T có đế không. Hơn nữa, nếu M có đế khác không thì E có đế cốt yếu.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) Giả sử M là soc-nội xạ mạnh R-môđun. Khi đó theo định nghĩa của M thì M là soc-E(M)-nội xạ với E(M) là một R- môđun phải bao nội xạ của M.
(2) ⇒ (3) Nếu Soc(M) = 0, thì chứng minh xong.
Giả sử soc(M) 6= 0 và xét biểu đồ sau 0
0 //soc(M)
i
i //E(soc(M)) M
trong đó i là ánh xạ nhúng chính tắc.
Vì M là soc-E(M)-nội xạ nên M là soc-E(soc(M))-nội xạ. Do đó tồn tại mộtR-đồng cấuσ :E(soc(M)) →M là mở rộng củai. Vìsoc(M) ⊆ess E(soc(M)) nên σ là một phép nhúng của E(soc(M)) vào M.
Nếu E = σ(E(soc(M))) thì M = E ⊕T với môđun con T của M. Rõ ràng E là nội xạ và T có đế không.
(3) ⇒ (1) Rõ ràng vì môđun với đế không là soc-nội xạ mạnh và tích trực tiếp hữu hạn các môđun soc-nội xạ mạnh là soc-nội xạ mạnh.
Một vành R được gọi là nửa Artin phải nếu soc(M) 6= 0 với mọi R- môđun phải khác không M.
Mệnh đề 2.2.15. Những điều kiện sau là tương đương:
(1) R là vành nửa Artin phải;
(2) Mọi R-môđun phải soc-nội xạ mạnh là nội xạ;
(3) Mọi R-môđun phải soc-nội xạ mạnh là C3-môđun.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) Theo Bổ đề 2.2.14 trên.
(2) ⇒ (3) Dễ thấy.
(3) ⇒ (2) Nếu M là một R-môđun soc-nội xạ mạnh, thì theo Bổ đề 2.2.14, M = N⊕T, trong đóN là nội xạ và soc(T) = 0. Vì M⊕E(M) = N ⊕T ⊕ E(M) = (N ⊕E(M)) ⊕ T, theo Bổ đề 2.2.14 M ⊕ E(M) là soc-nội xạ mạnh và theo giả thuyết, M ⊕E(M) là một C3-môđun. Theo Hệ quả 2.1.15, nếu i : M → E(M) là một ánh xạ nội xạ đơn ánh, thì M ∼= i(M) ⊆⊕ E(M), và do đó M là nội xạ.
(2) ⇒ (1) Cho M là R-môđun phải khác không bất kỳ. Ta khẳng định soc(M) 6= 0. Mặt khác, nếu soc(M) = 0 và N là một môđun con khác không bất kỳ của M, thì N là soc-nội xạ mạnh, và do đó nội xạ. Do đó, N ⊆⊕ M, và M là nửa đơn, mâu thuẫn. Do đó, soc(M) 6= 0, và R là nửa Artin.
Định nghĩa 2.2.16. Cho M và N là các R-môđun.M được gọi là đơn-N- nội xạ nếu mọi môđun con L của N, mọiR-đồng cấu λ : L →M với λ(L) đơn mở rộng đến N. M được gọi là đơn-nội xạ mạnh nếu M là đơn-N-nội xạ với mọi R-môđun phải N.
Bổ đề 2.2.17.
(1) Nếu {Mi : i ∈ I} là một họ các R-môđun phải, thì tổng trực tiếp L
i∈IMi là đơn-nội xạ mạnh nếu và chỉ nếu mỗi Mi là đơn-nội xạ mạnh.
(2) Một vành R là Noether phải nếu và chỉ nếu L∞
i=1E(Ki) là nội xạ, trong đó {Ki : i ∈ I} là một họ (đếm được) của các R-môđun đơn phải.
Mệnh đề 2.2.18. Các mệnh đề sau đây là tương đương:
(1) R là vành nửa Artin phải;
(2) Mọi R-môđun phải đơn-nội xạ mạnh là nội xạ;
(3) Mọi R-môđun phải đơn-nội xạ mạnh là C3-môđun.
Chứng minh. (2) ⇒ (3) Rõ ràng.
(3) ⇒(1) Với suy luận tương tự của chứng minh (3) ⇒(2) của Mệnh đề 2.2.15, ta có thể chứng minhRlà nửa Artin phải. Vì các vành Noether phải nửa Artin phải là Artin phải, nó chỉ cần chứng minh R là Noether phải.
Theo Bổ đề 2.2.17, ta cần chứng minh nếu {Ki : i ∈ I} là một họ đếm được của các R-môđun phải đơn, thì R-môđun phải M = L∞i=1E(Ki) là nội xạ. Khi đó M ⊕ E(M) là môđun đơn-nội xạ mạnh, và do đó là một
C3-môđun. Theo Hệ quả 2.1.15, nếu i : M →E(M) là ánh xạ nội xạ đơn ánh, thì M ∼= i(M) ⊆⊕ E(M), và M là nội xạ.
(1) ⇒ (2) Trước tiên ta chứng minh nếu M là R-môđun phải đơn-nội xạ mạnh và S là một môđun con đơn của M, thì S là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp nội xạ của M. Xét biểu đồ sau
0 //S
id
i //E(S)
σ
||M
Vì S ⊆ess E(S), tồn tại một phép nhúng σ của E(S) thuộc M sao cho σ(x) = x với mọi x ∈ S. Nếu F = σ(E(S)), thì S ⊆ess F ⊆⊕ M. Khi đó soc(M) = Li∈ISi trong đó mỗi Si là một môđun đơn của M, và cho Si ⊆ess Ei ⊆⊕ M, trong đó mỗi Ei là một hạng tử trực tiếp nội xạ của M. Vì R là Noether phải, F = Li∈IEi là một hạng tử trực tiếp nội xạ của M, và M = F ⊕T với một môđun con T ⊆M với soc(T) = 0. Vì R là Artin phải, T = 0, và M là nội xạ (đpcm).
Định lý 2.2.19. Các điều kiện sau đây là tương đương:
(1) Mọi R-môđun xạ ảnh phải hữu hạn sinh là một C3-môđun;
(2) Mọi môđun con ảnh hữu hạn sinh của R-môđun xạ ảnh phải là một hạng tử trực tiếp;
(3) R là một vành C3 mạnh phải;
(4) r(I) 6= 0 với mọi iđêan trái thực sự hữu hạn sinh I của R;
(5) (P/K)∗ 6= 0, với P là một R-môđun trái xạ ảnh hữu hạn sinh và K là môđun con thực sự hữu hạn sinh.
Chứng minh. (1) ⇔ (3) Dễ thấy.
(2) ⇒ (3) Hiển nhiên.
(3) ⇒ (4) Theo Hệ quả 2.1.18, R là một vành C2 phải mạnh nếu và chỉ nếu R là một vành C3 phải mạnh. Giả sử I = Pni=1Rxi, xi ∈ R. Nếu r(I) = 0 thì (x1, . . . , xn)TR ∼= RR. Do đó (x1, . . . , xn)TR ⊆⊕ Rn.
Giả sử lRnrRn(x1, . . . , xn)T = Mn(R)(x1, . . . , xn)T. Cho (y1, . . . , yn)T ∈ lRnrR(x1, . . . , xn)T. Khi đó xét đẳng cấu
f : (x1, . . . , xn)TR →(y1, . . . , yn)TR (x1, . . . , xn)Tr 7→ (y1, . . . , yn)Tr
Vì (x1, . . . , xn)TR là một hạng tử trực tiếp của Rn nên tồn tại đồng cấu g sao cho biểu đồ sau giao hoán:
(x1, . . . , xn)TR i //Rn (y1, . . . , yn)TR
f
ii g
88
trong đó i là phép nhúng.
Từ đó suy ra có một s ∈ Mn(R) sao cho s(x1, . . . , xn)T = (y1, . . . , yn)T có nghĩa là(y1, . . . , yn)T ∈ Mn(R)(x1, . . . , xn)T. Do đólRnrRn(x1, . . . , xn)T = Mn(R)(x1, . . . , xn)T. Vìr(I) = 0và theo giả thuyết nênMn(R)(x1, . . . , xn)T = Rn, do đó I = Pni=1Rxi = R (mâu thuẫn).
(4) ⇒ (5)Vì P là R-môđun trái xạ ảnh hữu hạn sinh nên nếu cần thiết ta có thể giả sử P là tự do.
Sau khi loại bỏ liên tiếp các phần tử cơ sở thuộc K, ta có thể giả sử rằng một số cơ sở của P, K không chứa phần tử nào có tọa độ đầu tiên là 1. Ta có P = R⊕S, trong đó π là một phép chiếu từ P lên R, π(K) 6= R.
Do đó vì π(K) là hữu hạn sinh và theo giả thuyết ta có r 6= 0 sao cho rπ(K) = (0). Khi đó định nghĩa f : P → R bởi f(x) = rπ(K), f tác động làm (P/K)∗ 6= 0.
(5) ⇒ (2) Trước khi chứng minh (5) ⇒ (2) ta cần chứng minh "Cho K là một môđun con hữu hạn sinh của R-môđun S xạ ảnh phải hữu hạn sinh. Khi đó (5) thỏa thì K0 là một hạng tử trực tiếp cảu S∗ khi và khi K là hạng tử trực tiếp của S".
Thật vậy, nếu K0 là hạng tử trực tiếp của S∗ thì K” là hạng tử trực tiếp của S. Do đó K00 là hữu hạn sinh và xạ ảnh. Hơn nữa vì mọi đồng cấu K00 → R có thể được mở rộng đến S nên (K00/K)∗ = (0). Do đó K = K00 là hạng tử trực tiếp của S. Cho (0) → Q → P với P, Q là các R-môđun xạ ảnh và Q là hữu hạn sinh. Hơn nữa, P là tự do và giảm bớt hạng tử trực tiếp hữa hạn sinh chứa trong Q, ta có thể giả sử P là hữu hạn sinh.
Ta có ánh xạ hạn chế P∗ →Q∗ và mọi phần tử khác không của Qlà phân hoạch của 0 bởi một đồng cấu từ P đến R, (ImP∗)0 = (0) một hạng tử trực tiếp Q∗∗ = Q. Bởi vì ImP∗ là hữu hạn sinh nên theo chứng minh trên ImP∗ là hạng tử trực tiếp của Q∗. Do đó ImP∗ = (ImP∗)00 = (0)0 = Q∗ tức là mọi đồng cấu từ Q đến R có thể được mở rộng đến P. Bây giờ lấy a1,ã ã ã , an ∈ Q, f1, . . . , fn ∈ Q∗, sao cho mỗi a ∈ Q fi(a) = 0 với hầu hết i và a = Pifi(a)ai và cho gi là một mở rộng của fi đến P. Ta định nghĩa g : P → P bởi g(a) = Pigi(a)ai. Khi đó g là lũy đẳng với hạng của Q, do đó Q là một hạng tử trực tiếp của P.
(2) ⇒ (4) Cho A = (a1, . . . , an) là một iđêan phải hữu hạn sinh không có linh hóa tử trái. Nếu F là một R-môđun trái tự do với cơ sở u1, . . . , un,