Giải Tích 1 - Đạo Hàm và Vi Phân

Giải Tích 1 - Đạo Hàm và Vi Phân - Toán Học Ứng Dụng - ĐH BK TP HCM

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng -

Giải tích 1

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

• Gi ả ng viên Ts Đặ ng V ă n Vinh (9/2008)

dangvvinh@hcmut.edu.vn

N ộ i dung -

0

(0 ) (0)(0) lim

0

(0 ) (0)(0) lim

0

(0 ) (0)(0) lim

x

x x

x

x x

x x x

sinlim

0

1arctan

2(0) lim

x

x f

x

π

+ +

2

x x

2(0) lim

x

x f

−

=

Đạo hàm các hàm lượng giác ngược và hyperbolic

Đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số

'

( ) ( )( )

Giả sử hàm có hàm ngx = x t( ) ược t = t x( )

Khi đó là hàm y theo biy = y t( ) = y t x( ( )) ến x

' '

'

( )( )

( )( )

−

Ví dụ

Tìm , biết ( ) ln 3 ; (2 1),

1 cos

x e

x

= + ⋅

+

+

Công thức Leibnitz (tính đạo hàm cấp cao)

Dùng qui nạp ta chứng minh được

Phương pháp tính đạo hàm cấp cao

1) Sử dụng các đạo hàm cấp cao của một số hàm đã biết

2) Phân tích thành tổng các hàm “đơn giản”

3) Phân tích thành tích của hai hàm: f.g, trong đó f là hàm

đa thức, chỉ có vài đạo hàm khác không, sau đó sử dụng

công thức Leibnitz

4) Sử dụng khai triển Maclaurint, Taylor (sẽ học)

n y

n y

2

11

2

11

y

x

=+

n y

từ tính chất của

đạo hàm

( )

2) d α f = ⋅α df ,α ∈R

Vi phân của hàm cho bởi phương trình tham số

( )( )

'

( )( )

f

Nếu dùng máy tính: 3.98 ≈1.99499373

Ví dụ Bán kính của hình cầu đo được là 21cm, với

Thể tích hình cầu là:

sai số không quá 0.05cm Hỏi sai số lớn nhất của thể

tích hình cầu đo được so với thể tích thực là bao nhiêu?

3

43

III Các định lý về giá trị trung bình

1) Liên tục trên đoạn [a,b]

2) Khả vi trong khoảng (a,b) } ∃ ∈c ( )a b, :

III Các định lý về giá trị trung bình

3)

1) Liên tục trên đoạn [a,b]

2) Khả vi trong khoảng (a,b) } ∃ ∈c ( )a b, :

1) Liên tục trên đoạn [a,b]

2) Khả vi trong khoảng (a,b) } ∃ ∈c ( )a b, :

'

'

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

Hàm liên tf x( ) = arctan x ục và khả vi trên đoạn [a,b]

IV Công thức Taylor, Maclaurint

Hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp n trong lân cận x0

IV Công thức Taylor, Maclaurint

luôn tính được đa thức Taylor

Trong định lý sau ta thấy P n (x) là xấp xĩ (tốt nhất) cho

hàm y = f(x) (khác nhau một đại lượng là VCB bậc n + 1)

Phần dư ghi ở dạng Peano

( ) ( ( 0) )

n n

Khai triển Maclaurint của một số hàm thường gặp

Khai triển Maclaurint của một số hàm thường gặp

Có thể dùng phương pháp sau để nhớ các khai triển

ln(1 )

1

dx x

Các ứng dụng của công thức Taylor, Maclaurint

1) Xấp xỉ hàm y = f(x) bởi một đa thức bậc n

2) Tìm đạo hàm cấp cao của y = f(x) tại điểm x0

3) Tìm giới hạn của hàm số

4) Tính gần đúng với độ chính xác cho trước

Ví dụ Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 3 của hàm

2

1( )

Ví dụ Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 5 của hàm

Ví dụ Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 4 của hàm

Ví dụ Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 4 của hàm

Nhân tử và mẫu cho 1 + x, ta được:

2

2

1( )

Đổi biến, đặt:

Ví dụ Tìm khai triển Taylor tại x0 = 2 đến cấp 3 của hàm

2 1( )

X X

Đổi biến, đặt:

Ví dụ Tìm khai triển Taylor tại x0 = 2 đến cấp 3 của hàm

2

1( )

Ví dụ Tính giới hạn 3

0

tan sinlim

tan sinlim

( )2

lim

x

x

x x

Ví dụ Tính giới hạn ( 3) 2

3 0

ln 1 2sin 2 coslim

Ví dụ Tính giới hạn

2

0

1 2 tanlim

3/ 3 ( )

→

+

+

Phần dư trong khai triển Maclaurint của hàm y = cos x là

2 2 !

n n

R

n

− +

I Tìm đạo hàm cấp n

1

1) (x −1)2x−

32) ln

3

x x

I Tìm khai triển Maclaurint đến cấp n

x

n x

I Tìm khai triển Taylor tại x0 đến cấp n

I Tính giới hạn 2

4 0

cos 1

21) lim

x

x x

I Tính giới hạn

sin

0

ln(1 ) 16) lim

sin7) lim

ln(1 ) arcsin8) lim

725

−

1/ 3

2 0

cosh 2 (1 3 )11) lim

1 arcsin12) lim

arcsin14) lim

5

1283

0

1 2 216) lim

sin 1 sin119) lim

1 420) lim

e

5cos12

12

7425