CHƯƠNG 4. GIỚI HẠN HÀM SỐ TẬP 1

GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ Định lí 1..  Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó l| duy nhất.. Chứng minh các giới hạn sau:... Giá trị của lim 1... Tìm giới hạn của dãy số dự

Trang 1

ALBA-CHƯ SÊ-GIA LAI

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

Trang 2

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 1

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN

TẬP I GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ

Định lí 1 Nếu dãy số (un) thỏa u n v n kể từ số hạng n|o đó trở đi v| limv n 0 thì limu n0

Định lí 2 Cho limu n a, limv nb Ta có:

3 Tổng của CSN lùi vô hạn

Cho CSN ( )u n có công bội q thỏa q 1 Khi đó tổng

Trang 3

limn k   với mọi k0

 limq n  với mọi q1

4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cựC

Quy tắc 1: Nếu limu n , limv n  thì lim( )u v n n được cho như sau;

limu n limv n lim(u v n n) 

Quy tắc 2: Nếu limu n , limv nl thì lim( )u v n n được cho như sau;

limu n Dấu của l lim(u v n n)

được coi như sau;

Dấu của l Dấu của v n

lim n n

u v

 Để chứng minh limu n0 ta chứng minh với mọi số a0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số n a sao cho

u   a n n

 Để chứng minh limu nl ta chứng minh lim(u n l) 0

Trang 4

 Để chứng minh limu n  ta chứng minh với mọi số M0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên n M

sao cho u n M  n n M

 Để chứng minh limu n  ta chứng minh lim(u n) 

 Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó l| duy nhất

1 1lim

2

2 1

n n

a n a

a

a n

Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (un) không có giới hạn

Ví dụ 3 Chứng minh các giới hạn sau:

Trang 5

42

82

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Giá trị của lim 1

Trang 6

Bài 5 Giá trị của

2

1lim n

n

 bằng:

Lời giải Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn n M thỏa

M M

n

M n

3lim n n

n

 bằng:



Trang 7

n

a n

Trang 8

sin 3limn n n

3 2

n D

Tóm lại ta luôn có: limn a1 với a0

Vấn đề 2 Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản

Phương pháp:

Trang 9

Sử dụng c{c định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản

2

1 1lim lim

1 2

n A

n n

Trang 10

4 7

n n B

n

n A

7 7 2lim

494

77

n



 

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

2 2

2 3 1lim

2lim

1 2 33

2lim

Trang 11

B

n n

1 3lim

Trang 12

Bài 7 Giá trị của lim 3.21 31

Trang 13

Lời giải Ta xét ba trường hợp sau

 kp Chia cả tử và mẫu cho n k ta có:

0

if 0lim

if 0

51

n M

Trang 14

Lời giải Ta có: Nlim 4n2 1 2n lim 38n3 n 2n

4 3 1lim

1lim

(2 1)

n C

Trang 15

2 33

2 sin 2 1lim

Trang 16

3

sin 2 12

11

n n A

!lim

2

n B

( 3 2 3 1)

n D

Trang 17

lim

93(3 2)

2 1 3 1 1

n

n u

n

k

k u

Trang 18

1

q q

(1 )

1

n n n

n u

Lời giải Ta chia l|m c{c trường hợp sau

TH 1: nk, chia cả tử và mẫu cho n k, ta được

khi 0

Lời giải Chia cả tử và mẫu cho n2 ta có được:

Trang 19

4 43

1lim

11

1lim

3

n n

1

lim

1

n n

lim

11

I

a b

Trang 20

Bài 53 Cho dãy số ( )x n x{c định bởi 2

Lời giải Từ công thức truy hồi ta có: x n1x n,  n 1,2,

Nên dãy ( )x n là dãy số tăng

Giả sử dãy ( )x n là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại limx n x

Với x là nghiệm của phương trình : 2

k

Tìm limu n với n 1n 2n 2011n

k x

k

 

Suy ra 1 1 1 0 1

Trang 21

Ta có: 3 3

3 13

Trang 22

362

1

n n k

  nên suy ra limu n 1

Bài 69 Tìm limu n biết

dau can

2 2 2

n n

Trang 23

Dễ dàng chứng minh được 4 *

,3

Trang 24

Từ đ}y {p dụng nguyên lý kẹp ta có ngay lim n 1

1.1 Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm x0 Ta nói rằng hàm số f x( ) x{c định trên K (có thể trừ

điểm x0) có giới hạn là L khi x dần tới x0 nếu với dãy số ( )x n bất kì, x nK\{ }x0 vàx nx0, ta

* Cho hàm số y f x( ) x{c định trên( ; )x b0 Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số yf x( ) khi x dần

tới x0 nếu với mọi dãy ( ) :x n x0x nb mà x nx0 thì ta có:f x( )n L Kí hiệu:

0

lim ( )

x x f x L

* Cho hàm số y f x( ) x{c định trên( ;a x0).Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số y f x( ) khi x dần

tới x0 nếu với mọi dãy ( ) :x n ax nx0 mà x nx0 thì ta có:f x( )n L Kí hiệu:

1.3 Giới hạn tại vô cực

* Ta nói hàm số yf x( ) x{c định trên ( ;a ) có giới hạn là L khi x  nếu với mọi dãy số

* Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực

* Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay x0 bởi  hoặc

2 Các định lí về giới hạn

bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi xx0 (hayx   ;x )

Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn Ta không áp dụng cho các

Trang 25

Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số

1lim1

x

x B

2

x

x C

1

x

x D

1

n n n

3 2

11

Ta có: limx nlimy n0 và lim ( ) 1; lim ( ) 0f x n  f y n 

Nên hàm số không có giới hạn khi x0

2 Tương tự ý 1 xét hai dãy: ;

4

Trang 26

x

x x



 

1lim 22

x

x x

1

x

x x

1 4

x

x x

2 1

x

x x

n

x x

2

x

x x



 

bằng định nghĩA

Trang 27

1

x

x x

n x

n

x x

2

x

x x

n x

n

x x

1lim2

x

x x

1lim2

x

x x

3lim

2 1

x

x x

Trang 28

3 2lim

* Nếu f x( ) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f x( )0

* Nếu f x( ) cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái bằng giới hạn phải)

3 2lim

3 1 khi 12

( )

3 2

khi 13

x x

Trang 29

2 2

f x

x x

1lim

1 1 1 1 1lim

Trang 30

Bài 2 Tìm giới hạn hàm số

6

2 tan 1lim

sin 1

x

x B

sin 16

x

x B

2 1lim

7 1 1lim

2

x

x D

4

x

x A

tan

x

x B

3 1 2lim

3 1 2

x

x D

Trang 31

Lời giải D0

Bài 9 Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x2 2

2

1 khi 2( )

5 3 2 1 0( )

1 khi 1( )

x x

f x A

Trang 32

Để khử dạng vô định này ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức:

Định lí: Nếu đa thức f x( ) có nghiệm xx0 thì ta có :

 , nếu giới hạn này có dạng 0

0 thì ta tiếp tục qu{ trình như trên

Chú ý :Nếu tam thức bậc hai ax2bx+c có hai nghiệm x x1, 2 thì ta luôn có sự phân

( 2)( 2) 3lim

Trang 33

3 2lim

2 1lim

1

x

x B

2 1 1 2lim

3

t

t B

t



 

Trang 34

2 20lim

7 1 2 ( 5 1 2)lim

( 1)( (7 1) 2 7 1 4)

x

x I

x J

3 2lim

Trang 35

2 2 3lim

5 4lim

( 1)( 2)( 2)lim

1

n m x

Trang 36

1 1

n m x

ax A

2 5 2lim

3( 2)( 2 1)

3 2lim

( 1)( 2) 1lim

5( 1)( 3)

Trang 37

Lời giải Ta có:

 

3

( 3)( 1) 1lim

3( 3)( 1) 2 3

1 1lim

2 1 1

x

x D

4 1 2lim

1 4 1 6lim

Trang 38

1 1 1lim

1

n

n x

2 5 2lim

4( 2)( 2 4)

3 2lim

Trang 39

( 1)( 2) 2lim

5( 1)( 3)

4 3

x

x C

6( 1)( 3) 2 3 3

x

x C

1 1lim

2 1 1

x

x D

4 1 2lim

n x

Trang 40

1 4 1 6lim

2 0

1 1 1lim

1

n

n x

4 1 2 1lim

Trang 41

4 5 3lim

5 3 2

x

x B

4( 1) (5 3) 2 5 3 4lim

4 (5 3) 2 5 3 4 2lim

1

2 3 2 3lim

2 3 1 3 2 1lim lim

2lim

1 2 1 3lim

Trang 42

2( 1) ( 1)

( 1)

3

t

t t

5 4 7 6lim

Trang 43

4 3 4 3lim

3 2 1lim

2 3 2lim

61

5 1

x

x C

Trang 44

x

x E

Trang 45

3 5 1lim

1 1

0 1

1 1

Trang 46

* Nếu m n

1 1

0 0 1

( ) khi 0lim

khi 0

3 2lim

163

4 3 4 2lim

Trang 47

Bài 15 Tìm giới hạn

2 2

2 3 2lim

41

5 1

x

x C

Trang 48

x

x A

Trang 49

x

x B

1 1

0 1

1 1

0 0 1

( ) khi 0lim

khi 0

Trang 50

Ta có: 3x33x2 x22x(3x33x2 x) ( x22x x )

2 3

Trang 51

x

x B

Trang 52

n x

x

x A

Trang 53

1 2 1 3lim

2

1 2 1 3lim

1 cos 2

x

x B

x x

Trang 54

Ví dụ 2 Tìm các giới hạn sau:

2 0

1lim sin

x

ax A

lim lim lim

sin sin cos

Trang 55

1 cos 1 cos 3 1 cos 2

cos cos 2 cos

1 cos 1 cos 3 1 cos 2

lim lim cos cos 2 lim cos 3

3

2 sin2

x

x A

tan 2lim

1 cos 2

x

x C

2 lim( ) ( ) (1 cos 2 cos 2 )

lim

1 sin 3 cos 2

x

x D

Trang 56

0

2

1lim

1 sin 3 cos 2 1 sin 3 1 1 cos 2

sin( )

m n x

x A

Bài 11 Tìm giới hạn lim(sin 1 sin )

Lời giải Trước hết ta có: sinx x  x 0

Ta có: sin 1 sin 2sin 1 cos 1

Trang 57

2 2lim

1 1 2 sin 2lim

sin 3

x

x B

x

x B

cos cos

x

x C

sin 2limsin 3

x

x D

sin(tan )

x

x E

sin(tan )tan

x

x x E

x x

Trang 58

2 2sin

n

x

ax M

2 2lim

1 1 2 sin 2lim

sin 3

x

x B

x

x B

cos cos

x

x C

Trang 59

2 2

sin 2limsin 3

x

x D

sin(tan )

x

x E

sin(tan )tan

x

x x E

x x

2 2

sin2

2 sin

2

1 sin cos 1 cos (1 cos )

2

sin2sin

2sin2

Trang 60

2 2sin

1 3 1 2lim

2

3 1 2 1 1

12lim

1 cos 2 2 4

x

x M

x x

Định dạng
Số trang	60
Dung lượng	2,36 MB