Giải tích 1 Chương 1: Giới hạn và liên tục

Giải tích 1 - Chương 1 - Giới Hạn và Liên Tục - Đại Học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh

Trường Đại học Bách khoa tp Ho Chi Minh

Bo môn Toán Ưng dụng

Giải tích 1

Chương 1: Giới hạn và liên tục

Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (9/2008)

dangvvinh@hcmut.edu.vn

Muc tieu cua mon hoc Toan 1

Môn học cung cap các kiên thức cơ bản về vi tích phân hàm một

biên và phương trình vi phân

Giúp học viên hiễu lý thuyết, nắm vững các kỹ năng tính toán,

biêt vận dụng giải các bài toán cụ thê

Biêt vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa

học kỹ thuật

Giới han và liên tục

Nhiém vu cua sinh vién

Đi học đầy đủ

Lam tat ca các bài tập cho vê nhà

lai liéu tham khảo

1 Nguyễn Đình Huy, Nguyễn Quốc Lân, Phép tính vi phân hàm một biến NXBGD, 2005

2 Ngd Thu Luong, Nguyén Minh Hang Bai tap toán cao cấp 1

3 D6 Cong Khanh Giai tich mét bién NXB Dai hoc quốc gia

4 James Stewart Calculus, fifth edition, 2005

S hffb://Ianbachkhoa.edu.vn

0.1 — Giới hạn của dãy số thực

0.2 - Giới hạn của hàm số

0.3 — Liên tục của hàm số

¡nh nghĩa

3iá trị nhỏ nhật của tập các cận trên của tập hợp A

lược gọi là cận trên đúng của A và ký hiệu la supA,

Supremum cua A)

Giá trị lớn nhât của tập các cận dưới của tập hợp A

được gọi là cận dưới đúng của A và ký hiệu là infA,

| Gidi han cua day so thuc

Thường dùng ký hiệu: (u„) _, hay đơn giản (u, )

„được gọi là số hạng thứ n của dãy.

Số a không là giới hạn của dãy („) , nếu tồn tại số

dương >0 đề với mọi số tự nhiên n tìm được số tự

q„fọo sao cho

Hạ -4| 2 E

Thật vậy, trong hai sô hạng kê nhau, có một sô hạng với

chỉ sô chăn và một sô hạng với chỉ sô lẻ

=14— 31

U5, = +” gx =—1+—— <0 >|u,, -Uu,.4 >

VaeR Xét khoảng fas

2 2

Hai sô hạng kê nhau không thê cùng năm trong khoảng

này Vậy không tôn tại giới hạn

Mệnh đề 1 (tinh duy nhật của giới hạn)

| 3m, :(Vn >n, =|u,—b <e£) Đặt nọ =Maxin,.n,j

Je} =la-u, 44, =B|<, =d|+|u, =

†lnh chat cua giời nạn

Nêu các dãy (z„).(v„) hội †ụ và (u„) —> a,(v,,) +b , thi

các dãy {u,+v,}; {u,-v,}; te L (v, #0 & b#0); {|r„|}

H

đêu hội tụ Ta có

1) lim (u, tv, )=atb > im | |<

2) lim (uw, -v,)=a-b 4) lim |u„| =| ai

ñ—>eo —»e

DINN ngnia

Ta nói dãy („) bị chặn trên, nếu

1Ae R:Vne N.u, <A

Ta nói dãy (z„) là dãy giảm, nếu

Vne N,u,,, Su,

Một dãy tăng hay dãy giảm được gọi chung là dãy

đơn điệu.

Mệnh đề 3 (định lý kẹp)

Cho 3 dãy („).(v„).(w„)sao cho 3, Vn > nạ => u„ <v„ <`

và („).(w„) cùng hội tụ đến a, khi đó (v„)——*—>a

Cho £>0 Vì (z„).(w„) hội tụ đến a, nên 3n,,n,e N:

Màu —|u,—a|<e£ Dat 1) =Max{n,,n,}

Vn>n, —>|w„,—=al|<£ Khi đó Vn >mạ, ta có

lu —a|<e£

—>_-£<I,—aSy —=aSw =a<£ >Ì|vy,—-al|<e€

-Ménh dé 4 (dinh ly Weierstrass)

Dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ

Dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ

Cho (z„)) tăng và bị chặn trên

Tap § ={u,,u,, } khác rỗng và bị chặn trên

Theo nguyén ly Supremum, co supS = a

Theo dinh nghia cua supS: Ve > 0,4 (a -€Su, S a)

VỊ (u„) tăng nên Vĩ > mạ — u, = Un

=> limu, =a

>a-ESU, SaA<at+E = |u„ —a|<£ 300

Vi du

Chứng tỏ dãy truy hồi („).# =V2:u,4) =J2+u,

là dãy tăng và bị chặn trên

Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này

Dung qui nap, chung to u, <2

Giasw Van<sk:u,<2 Khidovoi n=k+1

Wy.) = J2+u, <V¥2+2=2 Vay day DỊ chặn trên

Un = /2+u, > /u, +U, > fur =u, Vay day tang

— sdhmu, =a a= J2+a =>a “-a-2=0 >a=z2

Chứng to day (U,, ) Ul, 7 (2n+1)!

là dãy giảm và bị chặn dưới

Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này

Định nghĩa (dãy con)

Cho dãy (u„) ={1.u; , ]

Dãy con của dãy (u„) là một dãy (u„ ) mà các phần tử

của nó được lây từ dãy („ ) theo một cách chon bat

kỳ nhưng phải luôn theo thứ tự từ trái qua phải

ve>0_ Hmuư,=4 @ 3ng,(Vn > nọ ©|u„T— a|< £)

Với dãy con (u„ ), tồn tại my >nọ Khi đó

(Wk > kg Un, =ak<£] => hm Uy, =a

Chú ý

Thường sử dụng mệnh đề 5 đề chứng tỏ không tôn tại

giới hạn của dãy:

1/ Nêu tôn tại hai dãy con có giới hạn khác nhau, thì

không tôn tại giới hạn của dãy ban đâu

2/ Nêu tôn tại một dãy con phân kỳ, thì dãy ban dau cin

Tôn tại hai dãy con có giới hạn khác nhau

Vậy dãy đã cho không có giới hạn

Vay day bi chan ( va tăng), nên dãy hội tụ

Giới hạn của dãy này được ký hiệu là e, và người ta

chứng minh được e là sô vô ty, e = 2.718281828

1 H

lim Hệ =e

n—<voo Hl

Các phương pháp tìm giới hạn của day:

1) Dùng các biên đổi đại số ( nhân lượng liên hiệp, sử

dụng các đăng thức quen biệt, .)

Ví dụ Tìm giới hạn của day

lim [ø—=vn? +1]

—>e

HD Nhân lượng liên hiệp

Ví dụ Tìm giới hạn của day

Ví dụ Tìm giới hạn của day

Ví dụ Tìm giới hạn của day

lim V2 -4/2 8/2 2/2

n—oo

HD Phân tích, biễn đổi sỗ mũ.

Ví dụ Tìm giới hạn của day

Ví dụ Tìm giới hạn của day

Ví dụ Tìm giới hạn của day

Ví dụ Tìm giới hạn của day

20) lim (78 =0 25) lim 22+) <9

Il) Cho u, #1, imu, =1 Tim

lII) Tim lim w,,

‘') Chưng tO rang cac day Sau day Co gio! Nan va tim cac

) CMR không tôn tại các giới hạn lim sinø, lim cosn

71 —>eo —>eo