Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

Mục đích nghiên cứu của đề tài nhằm nghiên cứu một cách có hệ thống và chi tiết về các bài toán tìm giới hạn dãy số để học sinh có cái nhìn tổng quát về các bài toán này. Xây dựng, hệ thống và phân dạng các bài tập về “bài toán tìm giới hạn dãy số” phù hợp với sự phát triển tư duy sáng tạo của học sinh.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

BAO CAO KET QUA NGHIEN CUU, UNG DUNG SANG KIEN

Tên sáng kiến:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ

ác giả sáng kiến: TRẦN VĂN LONG

ã sáng kiến: 28.52.02

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ

ác giả sáng kiến: TRẦN VĂN LONG

ã sáng kiến: 28.52.02

Vĩnh Phúc, năm 2021

MUC LUC

Trang

1 LỜI giỚi thiỆU /- G2 22322193 11211 1191 01 01 H1 11v HH HT ng ước 2

0

0

KIẾN Q1 1S Sà SH 2 1212121110111 re

5, Lĩnh vực áp dụng sáng kiẾn - 2

6 Ngày sáng kiến đƯỢc áp dụng lần đầu hoặc áp dụng 2 7 Mô tả bản chất cỦa sáng kiẾn - 3

7.1 NỘi dung cỦa sáng kiến 3

Phần I Đặt vấn đỀ c0 QQQnnn nai 3 Phần II NỘi dung - - c2 c2 122212121151 121 xe6 5 I CƠ SỞ lý luận c c2 22c SH nh eerrei 5 1 CƠ sở lý luận cỦa đỀ tài - ccccẰẶ cà: 5 2 CƠ SỞ thỰC tiỄn cQ ng nh nh nhe nh nhe 5 II ThỰc trạng của vấn đề nghiên cứu 5

1 Khái quát về phạm vi nghiên cỨu -.- -. -. : 5

2 Thực trạng cỦa vấn đề nghiên cứỨu 5

lll Biện pháp và giải pháp thỰc hiện - 5

1 CƠ sO dé suat giai 5 phấp - che 2 Giải pháp chỦ yẾu - cc c2 siêu 6 Chương 1 Khái niệm giới hạn cỦa dãy sốỐ 6

I Phương pháp sử dụng các giới hạn dặc biệt và 10

10 Kết quả thu được sau khi áp dụng sáng kiến vào giảng

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp 28 dụng sáng kiến lần đầu

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Trong chương trình toán trung học phổ thông, các bài toán giới hạn là vấn đề khó và trừu tượng đối với học sinh ThƯờng học sinh thấy lúng túng khi đứng trước các bài toán giới hạn, không biết lựa chọn phương án nào và bắt đầu từ

tiếp cận bài toán Hơn nỮa, sách giáo khoa và sách bài tập vẫn chưa hệ thống và phân dạng được về các bài toán tìm giới hạn dãy số

Trong các kì kiểm tra thƯờng xuyên, thi TN THPT Quốc Gia và thi học sinh

giỎi lại có xu hƯớng sử dụng các bài tập về tìm giới hạn dãy sỐ, đòi hỏi học sinh phải có tư duy tỐt và có sự phân dạng bài toán để giải quyết đƯỢc bài toán

Vì vậy tôi sưu tầm một số tài liệu, bài tập về các bài toán tìm giới hạn dãy sỐ

và chia các bài tập thành từng dạng để học sinh có cái nhìn tổng quát về các bài

toán tìm giới hạn dãy số, từ đó có cách làm, cách giải bài toán phù hợp Với

mong muốn cho việc dạy và học về các bài toán đếm được tỐt hƠn, tôi quyết

định chọn đề tài “Một số phương pháp tìm giới hạn đấy số” làm đỀ tài sáng kiến kinh nghiệm

2 Tên sáng kiến: Một số phương pháp tìm giỚi hạn dãy số

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Trần Văn Long

- Địa chỈ tác giả sáng kiên: Giáo viên trường THPT Yên Lạc 2

- Số điện thoại: 0978097190 Email: longtv.yl2@gmail.com

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Cá nhân

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

Sáng kiến được áp dụng để “Tìm giới hạn của dãy số” trong chương trình

toán Đại số và Giải tích 11 ở trường THPT

Dạy học sinh ôn thi TN THPT Quốc gia và học sinh thi học sinh giỎi môn toan 11

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 10/01/2021

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1 Về nội dung của sáng kiến

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình toán trung học phổ thông, các bài toán tìm giới hạn dãy sỐ

là vấn đề khó và trừu tượng đối với học sinh ThƯờng học sinh thấy lúng túng khi đứng trước các bài toán tìm giới hạn dãy sỐ, không biết lựa chọn cách nào và

bắt đầu từ đâu?

Trong quá trình giảng dạy, bài toán tìm giới hạn dãy sỐ trong sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 cơ bản và nâng cao, tôi nhận thấy sách giáo khoa trình bày

ngắn gọn và trừu tƯỢng Vì thế học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi tiếp cận bài

toán Hơn nỮa, sách giáo khoa và sách bài tập vẫn chưa hệ thống và phân dạng được về các bài toán tìm giới hạn dãy số

Trong các kì kiểm tra thƯờng xuyên, thi TN THPT Quốc Gia và thi học sinh

giỎi lại có xu hƯớng sử dụng các bài tập về bài toán đếm, đòi hỏi học sinh phải

có tư duy tỐt và có sự phân dạng bài toán để giải quyết đƯợc bài toán

Vì vậy tôi sưu tầm một số tài liệu, bài tập về các bài toán tìm giới hạn dãy sỐ

và chia các bài tập thành từng dạng để học sinh có cái nhìn tổng quát về các bài

toán tìm giới hạn dãy sỐ, tỪ đó có cách làm, cách giải bài toán phù hợp Với mong muốn cho việc dạy và học về các bài toán tìm giới hạn dãy số đƯợc tốt hơn, tôi quyết định chọn đề tài “Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số” làm đỀ tài sáng kiến kinh nghiệm

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một cách có hệ thống và chi tiết về các bài toán tìm giới hạn dãy

số để học sinh có cái nhìn tổng quát về các bài toán này

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các khái niệm về giới hạn dãy số

Xây dựng, hệ thống và phân dạng các bài tập về “bài toán tìm giới hạn day số” phù hợp với sự phát triển tư duy sáng tạo của học sinh

4 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: là các bài toán tìm giới hạn dãy sỐ trong chương trình toán THPT, các bài toán trong các kì thi học sinh giỏi, thi THPT Quốc gia của BỘ

Giáo dục và Đào tạo hàng năm.

Khách thé nghiên cứu: là học sinh lớp 11 trường Trung học phổ thông Yên Lạc 2, huyện Yên Lạc, tỉnh Vĩnh Phúc

5 Pham vi nghiên cứu

Các tài liệu sách báo, sách giáo khoa cơ bản và nâng cao môn toán lớp 11, các chuyên đề ôn thi TN THPT Quốc gia hàng năm vỀ các bài toán tìm giới hạn dãy

số

6 Phương pháp nghiên cứu

Dự giờ, quan sát việc dạy cỦa giáo viên và việc học của học sinh trong quá

trình giải bài toán tìm giới hạn dãy số

Tiến hành thực nghiệm sư phạm trên lớp giảng dạy trên cùng một lớp đối

tượng

7 Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm

Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm gồm các phần sau:

II Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

1 Khái quát về phạm vi nghiên cứu

2 Thực trạng của vấn đê nghiên cứu

HI Biện pháp và giải pháp thực hiện

1 CƠ sở đề xuất giải pháp

I Phương pháp sử dụng các giới hạn dặc biỆt và

III Phương pháp dùng nguyên lý kẹp

IV Kết quả sau khi thực hiện

Phần II: Kết luận và kiến nghị

Tài liệu tham khảo

PHẦN II NỘI DUNG

I Cơ sở lý luận

1 Cơ sở lý luận của đề tài

Môn toán 6 trường Trung học phổ thông là một môn khoa học tỰ nhiên, đòi hỏi sỰ tư duy sáng tạo và cần nhiều kiến thức về giải bài tập để tự hệ thống được kiến thức lý thuyết và hiểu thật sự được bản chất của bài toán TỪ đó hình thành hứng thú học tập cho học sinh học tập bỘ môn toán Ở trường Trung học phổ thông

2 CƠ sở thực tiễn

Các kiến thỨc trong sách giáo khoa và sách bài tập Đại số và Giải tích 11 (ban

cơ bản và nâng cao) do BỘ Giáo dục và Đào tạo ban hành còn mang tính hàn lâm,

lý thuyết và ít thực tế

Trong các bài kiểm tra thường xuyên về bài toán tìm giới hạn dãy số, học sinh

vẫn chưa hiểu được bản chất của bài toán, dẫn tới hiểu sai và có nhiều sai lầm

khi giải toán

Trong các dé thi học kì, thi học sinh giỏi và thi THPT Quốc gia hàng năm có

xu hướng sử dụng các bài toán tìm giới hạn dãy số

II Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

1 Khái quát về phạm vỉ nghiên cứu

Các khái niệm và cdc bai tap vé bai todn tim giGi han day s6 trong chuOng trình môn toán Ở trường Trung học phổ thông

2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Các bài tập về bài toán tìm giới han dãy sỐ trong sách giáo khoa và sách bài tập còn đơn điệu và chưa đưa ra được các dạng bài tập cỤ thể

Học sinh khi học xong các bài toán tìm giới hạn dãy sỐ và làm các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập một cách cẩn thận vẫn không thể tự mình phân dạng bài tập được Vì thế khi gặp loại bài tập này học sinh thƯờng bị lúng túng

II Biện pháp và giải pháp thực hiện

1 CƠ sở đề suất giải pháp

Theo yêu cầu cụ thể của việc dạy và học, phân phối chương trình bộ môn toán Ở trường Trung học phổ thông (gồm các tiết dạy chính khóa và tự chọn) Theo các kiến thức về bài toán tìm giới hạn dãy sỐ và các yêu cầu kỹ năng cần phải đạt được trong các đề kiểm tra thường xuyên, đề thi THPT Quốc gia

và thi học sinh giỎi môn toán Ở trường Trung học phổ thông

2 Giải pháp chủ yếu

HỆ thống lại các kiến thức về bài toán tìm giới hạn dãy số mà học sinh cần

sử dụng đến trong quá trình giải bài tập

Đưa ra các bài tập thường gặp về bài toán tìm giới hạn dãy sỐ, các dạng và

phương pháp giải bài toán tìm giới hạn dãy sỐ để học sinh có thể tự tìm ra lời

giải phù hợp với mỗi bài toán

Nội dung cụ thể của đề tài như sau:

CHƯƠNG 1 KHAI NIEM GIOI HAN DAY SỐ

Trong toán học khái niệm giới hạn được sử dụng để chỉ giá trị mà mỘt hàm số hoặc một dãy số tiến gần đến khi biến số tương ứng tiến gần đến một

giá trị nào đó Trong một khoảng không gian đây đỦ, khái niệm giới hạn cho phép ta xác định

một điểm mới từ một dãy cauchy các điểm đã được xác định trước.giới hạn là

Kíhiệu: imu, O hay u, Okhin

b) Định nghĩa 2: Ta nói dãy sỐ (v,) có giới hạn là sỐ a (hay v„ dần tới a) khi

n nếu lim v, a OQ

Kíhiệu: mv, 4 hay v, a khin

c) Một số giới hạn cơ bản

1.lime=e n 2.lim-^ n n 3.lima" =0, VỚI l¿|<1 n

II Giới hạn vô cực

a) Dãy số có giới hạn +

Định nghĩa 3: Ta nói dãy sỐ (u,) có giới hạn là + nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mỌi số hạng của dãy số, kể từ một sỐ hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó

Kihiéu: limu,=+ hay u, + khin — +

b) Dãy số có giới hạn -

Định nghĩa 4: Ta nói dãy sỐ (u,) có giới hạn là - nếu với mỗi sỐ âm tùy

ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn sỐ âm đó

Kihiéu: limu,=—- hay u, — khin +

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ

I Phương pháp Dùng định nghĩa để tìm giới hạn của một dãy

1 Phương pháp:

« lim y,=0 khi va chi khi |v, | có thể nhỏ hơn một sỐ dƯơng bé tùy ý, kể tỪ số

hạng nào đó trở đi

"my =az khi va chi khi !™ (v,-a)=0

lim,„=+øo khi và chỉ khi z„ có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ số

Mặt khác theo giả thiết ta có lu„ l< vas |v, | (2)

Từ (1) và (2) suy ra „có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý, kể từ một sỐ hàng

nào đó trở đi nghĩa là lim u„ =0

Mặt khác theo giả thuyét ma u, >n? v6i mOi n, nén u, có thể lớn hơn một sỐ

dương tùy ý, kể tỪ mỘt sỐ hàng nào đó trở đi Vậy m„=+øo

Bài 2: Cho biết lím „=-zo và y„<u„ với mỌi ø Có kết luận gì về giới hạn v,

Hướng dẫn:

lim y,=+00 ; HH(-,)=+ø -w„>-u, JHH(-y,)=+ø

Vậy Jmv„=-œ

3n+2 n+

Bài 3: Cho dãy (u„) xác định bởi u„=

a, Tim sO n sao cho |u,-3|<—— " "7000

b, Chứng minh rằng với mỌi n > 999 thi cdc s6 hang cUa day u, đều nằm trong khoảng (2,999;3001)

Hướng dẫn:

a, lu,-3|= — < —— n>999

n+l 1000

b Khin>999 lu-3le 1000 3-——<u<3+—— 1000 1000 2999<w„< 3001

Bài 4: Vì sao dãy (u„) với (u„)=(-1)" không thể có giới hạn là 0 khinm +00?

Hướng dẫn:

Vì Iz,l=l(-7)}'l=7 nên luại không thể nhỏ hơn mỘt số dương bé tùy ý,

kể từ một sỐ hang nào đó trở đi Chẳng han, u, không thể < 0,5 với mỌi z

Do đó dãy sỐ (u„) không thể có giới hạn là 0

Bài 6: Biết Iu,-2l < 3”, có kết luận gì về giới hạn day sỐ (u„;?

Bài 7: Dùng định nghĩa giới hạn dãy sỐ, chứng minh:

II Phương pháp sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải bài

toán tìm giới hạn dãy

Giả sử lim y,=a va lim y,=b, khi d6:

1 lim (U, ViJ=a b

2 lim (u, v,)=a.b

rw * ` °

2, Nếu lim „„=z>0 và lim y,=0 và v,>0 thi lim *=+

3, Nếu lim „„=+ và lim y,=a>0 thi lim y, v,=+

Nếu giới hạn có dạng phân thức mà tử số và mẫu số chứa lũy thừa của n thì chia cả tỬ và mẫu cho # với k là mũ cao nhất

Nếu giới hạn là biểu thức chứa dạng căn thức (dạngvz Ajb:Ÿa ‡#b ) cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản

5 Bai tap 4p dung

Bai 1: tinh các giới hạn sau:

13

Bai 2: Tinh lim(-n* +nVn+1]

Giải: lim| -n? +nVn+1] =tin|-0 | fg

III Phuong pháp dùng nguyên lí kẹp

1 Phương pháp: Cho 3 dãy sỐ (u„), (v„) và (w„) Nếu (w„) < (v„) < (w„) vỚới mỌi

nN

va lim (u,)=lim (w,)= L (LR) thi lim v,=L

2 Bai tap mau

3 Bai tap 4p dung

Bài 1: Tính giới hạn cỦa các giới han sau:

16

vì luạÌ< v„ và vạ<lvạl với mỌi n, nên lu;|< | vạl| với mỌin (2)

Từ (1) và (2) suy ra luạl có thể nhỏ hơn một số dƯơng bé tùy y,kể tỪ sỐ nào

đó trở đi Nghĩa là lim u„=0

Áp dụng: Tính giới hạn cỦa các dãy sỐ có sỐ hạng tổng quát nhƯ sau:

d, u,=(0,99)" cos n e, u,=5"-cos Jn

Đáp số:

17

CHUONG 3: MOT SO BAI TOAN LIEN QUAN TOI GIOI HAN DAY SO

I Chứng minh một đấy s6 cé giới hạn:

1 Phương pháp

a, Ap dung dinh ly Weierstrass;

Nếu dãy số (u,) tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn

Nếu dãy số (u,) giảm và bị chặn dƯỚi thì nó có giới hạn

b, Chứng minh một dãy sỐ tăng và bị chặn trên (đấy số giảm và bị chặn dưới) bởi số M ta thực hiện: tính mỘt vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sát

mối liên hệ để dự đoán chiều tăng (chiều giảm) và số M

c, Tính giới hạn của đấy sỐ ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau:

Phương pháp l:

+ Đặt lim u,=a

+ Từ lim ụ,,,=lm f(u,) ta được mỘt phƯƠng trình theo ẩn a

+ Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy (u,) là mỘt trong các nghiệm của phương trình Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là giới hạn cần tìm, còn nếu phương trình có nhiều hơn 1 nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để loại nghiệm

‹* Chú ý: Giới hạn của dãy số (nếu có) là duy nhất

Phương pháp 2:

15