Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm nghiên cứu nội dung các tính chất của giới hạn hàm số để tìm ra phương pháp cho từng dạng tìm giới hạn hàm số, giúp học sinh tiếp thu dễ dàng. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học.
Trang 11. M đ uở ầ
1.1. Lí do ch n đ tàiọ ề
Lu t giáo d c có vi t: ậ ụ ế “Phương pháp giáo d c ph thông c n phát huyụ ổ ầ tính tích c c, t giác, ch đ ng sáng t o c a h c sinh, phù h p v i đ c đi mự ự ủ ộ ạ ủ ọ ợ ớ ặ ể
c a t ng l p h c, môn h c, b i dủ ừ ớ ọ ọ ồ ưỡng phương pháp t h c, rèn ruy n kự ọ ệ ỹ năng v n d ng ki n th c, tác đ ng đ n tình c m, đem l i ni m vui, h ng thúậ ụ ế ứ ộ ế ả ạ ề ứ
h c t p cho h c sinh”.ọ ậ ọ
Toán h c là m t môn h c đòi h i t duy và logic, ph i bi t v n d ngọ ộ ọ ỏ ư ả ế ậ ụ
và k t h p nhi u ki n th c l i v i nhau. Do đó, vi c phân d ng và hình thànhế ợ ề ế ứ ạ ớ ệ ạ
phương pháp gi i t ng d ng toán là bi n pháp mang l i hi u qu cao trongả ừ ạ ệ ạ ệ ả
gi ng d y, đ c bi t v i đ i tả ạ ặ ệ ớ ố ượng h c sinh có h c l c trung bình, y u.ọ ọ ự ế
Trong quá trình gi ng d y tôi th y h c sinh còn g p nhi u lúng túngả ạ ấ ọ ặ ề trong vi c gi i quy t m t s bài toán tìm gi i h n c a hàm s , m c dù đây làệ ả ế ộ ố ớ ạ ủ ố ặ bài toán được đánh giá là tương đ i d , có th có r t nhi u nguyên nhân d nố ễ ể ấ ề ẫ
đ n tình tr ng nói trên, nh ng theo tôi, nguyên nhân ch y u là h c sinh ch aế ạ ư ủ ế ọ ư
bi t nh n d ng và l a ch n các phế ậ ạ ự ọ ương pháp phù h p đ tìm gi i h n c aợ ể ớ ạ ủ hàm s ố
Ph n gi i h n c a hàm s s có trong n i dung c a đ thi THPT Qu cầ ớ ạ ủ ố ẽ ộ ủ ề ố gia năm 2018, vì v y vi c tìm ra gi i pháp giúp h c sinh (đ c bi t là h c sinhậ ệ ả ọ ặ ệ ọ
có h c l c trung bình ho c y u) có th đ t đi m ph n này là m t vi c th cọ ự ặ ế ể ạ ể ở ầ ộ ệ ự
s c n thi t.ự ầ ế
T nh ng lí do trên tôi ch n đ tài: “ M t s gi i pháp giúp h c sinhừ ữ ọ ề ộ ố ả ọ
trường THPT Thường Xuân 2 gi i thành th o bài toán ả ạ tìm gi i h n c a hàmớ ạ ủ
s ”.ố
1.2. M c đích nghiên c uụ ứ
Nghiên c u n i dung các tính ch t c a gi i h n hàm s đ tìm raứ ộ ấ ủ ớ ạ ố ể
phương pháp cho t ng d ng tìm gi i h n hàm s , ừ ạ ớ ạ ố giúp h c sinh ti p thu dọ ế ễ dàng. T đó nâng cao ch t lừ ấ ượng h c t p c a h c sinh trong các ti t h c.ọ ậ ủ ọ ế ọ
1.3. Đ i tố ượng nghiên c uứ
Đ i tố ượng nghiên c u mà đ tài hứ ề ướng t i là:ớ
Các d ng toán và phạ ương pháp tìm gi i h n hàm s Khám phá, phânớ ạ ố tích l i gi i ờ ả chi ti t ế t đó ừ h c sinh ọ hoàn thi n ki n th c và n m b t bài toánệ ế ứ ắ ắ
m t cách th u đáo và có chi u sâu.ộ ấ ề
Nghiên c u ng d ng c a máy tính c m tay trong ki m tra k t quứ ứ ụ ủ ầ ể ế ả các bài toán tìm gi i h n ho c gi i nhanh t p tr c nghi m.ớ ạ ặ ả ậ ắ ệ
1.4. Phương pháp nghiên c uứ
+ Phương pháp nghiên c u lý lu n: nghiên c u tài li u, sách tham kh oứ ậ ứ ệ ả liên quan đ n gi i h n hàm sế ớ ạ ố, nghiên c u chứ ương trình giáo khoa c a bủ ộ môn
+ Phương pháp nghiên c u th c t : thông qua vi c d y và h c ứ ự ế ệ ạ ọ giúp h cọ sinh nh n d ng và bi t cách gi i bài toán tìm gi i h n hàm s ậ ạ ế ả ớ ạ ố
Trang 2+ Phương pháp ki m ch ng s ph m: ti n hành d y và ki m tra khể ứ ư ạ ế ạ ể ả năng
ng d ng c a h c sinh nh m minh ch ng cho hi u qu c a vi c s d ng các
gi i ả
pháp
2. N i dung sáng ki n kinh nghi mộ ế ệ
2.1. C s lí lu n c a sáng ki n kinh nghi mơ ở ậ ủ ế ệ
V i xu th đ i m i phớ ế ổ ớ ương pháp giáo d c hi n nay c a B giáo d c vàụ ệ ủ ộ ụ đào t o, trong quá trình d y h c đ thu đạ ạ ọ ể ược hi u qu cao đòi h i ngệ ả ỏ ười th yầ
ph i nghiên c u tìm hi u kả ứ ể ỹ chương trình, đ i tố ượng h c sinh; đ a ra cácọ ư
phương pháp phù h p v i ki n th c, v i các đ i tợ ớ ế ứ ớ ố ượng h c sinh c n truy nọ ầ ề
th ụ
Các bài toán gi i h nớ ạ là ph n ki n th c r t đa d ngầ ế ứ ấ ạ , phong phú. Đ h cể ọ
t t đố ược ph n này h c sinh ph i n m ch c các ki n th c c b n. H c sinhầ ọ ả ắ ắ ế ứ ơ ả ọ
ph iả thường xuyên làm bài t p đ h c h i, trau r i phậ ể ọ ỏ ồ ương pháp, kĩ năng khi
bi n đ i. Ki n th c, bài t p ph n này tế ổ ế ứ ậ ở ầ ương đ i d v i đ i tố ễ ớ ố ượng h c sinhọ khá, gi i, nh ng đ i v i h c sinh trung bình, y u thì khá khó khăn trong vi cỏ ư ố ớ ọ ế ệ phân bi t các d ng toán và v n d ng phệ ạ ậ ụ ương pháp phù h p.ợ
Do đó tôi luôn có ý đ nh tìm ra m t phị ộ ương pháp m i, đ truy n d yớ ể ề ạ cho h c sinh, m t phọ ộ ương pháp h cọ đ n gi n, m t phơ ả ộ ương pháp mà h c sinhọ
c m th y h ng thú khi h cả ấ ứ ọ
2.2. Th c tr ng c a v n đ nghiên c u trự ạ ủ ấ ề ứ ước khi áp d ng sáng ki nụ ế kinh nghi mệ
Trường THPT Thường Xuân 2 đóng trên đ a bàn mi n núi, v i đa sị ề ớ ố
h c sinh là con em dân t c Thái, Mọ ộ ường, còn nhi u h n ch trong vi c ti pề ạ ế ệ ế thu ki n th c, đ c bi t là ki n th c c a các môn đòi h i t duy tr u tế ứ ặ ệ ế ứ ủ ỏ ư ừ ượ ng
nh môn Toán.ư Đ i đa s các em đ u có h c l c môn Toán là trung bình, y u.ạ ố ề ọ ự ế
V i đ c đi m nh trên, đ c i thi n ch t lớ ặ ể ư ể ả ệ ấ ượng môn Toán cho đ i tố ượng h cọ sinh đ i trà, chúng tôi thạ ường t p trung vào giúp các em n m v ng và gi iậ ắ ữ ả thành th o các bài toán ph n ki n th c đạ ở ầ ế ứ ược đánh giá là d h c, d ti p thuễ ọ ễ ế
và gi i h n hàm s là m t trong s ki n th c c n cung c p cho các em.ớ ạ ố ộ ố ế ứ ầ ấ
Lượng ki n th c v ph n gi i h n hàm s trình bày trong sách giáo khoaế ứ ề ầ ớ ạ ố
Đ i s & Gi i tích 11 tạ ố ả ương đ i nhi u, đa d ng; bài t p phong phú tuy nhiênố ề ạ ậ
r t ít bài có th áp d ng tr c ti p các tính ch t, mà thấ ể ụ ự ế ấ ường ph i thông qua vàiả
bước bi n đ i. Đi u này th c s là khó khăn đ i v i nh ng h c sinh có h cế ổ ề ự ự ố ớ ữ ọ ọ
l c trung bình, y u.ự ế
Qua th c t gi ng d y tr c ti p các l p kh i, tôi th y r ng khi raự ế ả ạ ự ế ớ ố ấ ằ
nh ng bài t p d ng này h c sinh thữ ậ ạ ọ ường lúng túng trong quá trình bi n đ i vàế ổ
áp d ng các tính ch t. C th năm h c 20152016 khi ch a áp d ng sáng ki nụ ấ ụ ể ọ ư ụ ế vào gi ng d y. Tôi cho h c sinh l p 11B5 làm bài kh o sát, k t qu nh sau:ả ạ ọ ớ ả ế ả ư
Trang 3L pớ Số
Xu t phát t th c t đó, trong năm h c 201ấ ừ ự ế ọ 62017 tôi đã ti n hành đ iế ổ
m i cách d y n i dung này t i l p 1ớ ạ ộ ạ ớ 1B2 (có ch t l ấ ượ ng t ươ ng đ ươ ng v i l p ớ ớ 11B5 trong năm h c tr ọ ướ ). c
2. 3. Các gi i pháp đã s d ng đ gi i quy t v n đả ử ụ ể ả ế ấ ề
2.3.1. H th ng các ki n th c c b n c a gi i h n hàm s : ệ ố ế ứ ơ ả ủ ớ ạ ố
a. Gi i h n tai m t đi m: ớ ạ ộ ể
a1. Gi i h n đ c bi t:ớ ạ ặ ệ
+)
0
0
lim
x x x x= ;
+)
0
lim
x x c c= (c: h ng s ) ằ ố
a2. Đ nh lí:ị
+) N u ế
0
lim ( )
x x f x =L và
0
lim ( )
x x g x =M thì:
[ ]
0
x x f x +g x = +L M
[ ]
0
lim ( ) ( )
x x f x −g x = −L M
[ ]
0
lim ( ) ( )
x x f x g x =L M
0
( ) lim ( )
x x
g x = M (n u M ế 0) +) N u f(x) ế 0 và x xlim ( )0f x =L thì L 0 và
0
lim ( )
x x f x = L
+) N u ế
0
lim ( )
x x f x =L thì
0
lim ( )
x x f x = L
b. Gi i h n m t bên: ớ ạ ộ
0
lim ( )
x x f x =L
lim ( ) lim ( )
x x − f x =x x+ f x =L
c. Gi i h n vô c c, gi i h n t i vô c c: ớ ạ ự ớ ạ ạ ự
c1. Gi i h n đ c bi t:ớ ạ ặ ệ
+) lim k
+ = +
+) lim k
x
neu k chan � � x
neu k le � �
−
+
= −
+) lim
k x
c
x =
Trang 40
1 lim
0
1 lim
+)
c2. Đ nh lí:ị
N u ế
0
lim ( )
x x f x =L 0 và
0
lim ( )
x x g x = thì:
+)
+
=
0
0
lim ( ) lim ( ) ( )
lim ( )
x x
x x
x x
f x g x
+)
=
0
0
( )
( )
lim ( ) 0 ( ) 0
x x
x x
nếu g x
f x
nếu g x vàL g x
g x
nếu g x vàL g x
2.3.2. Phân d ng và ph ạ ươ ng pháp tìm gi i h n hàm s : ớ ạ ố
Đ i v i các bài tốn tìm gi i h n ta cĩ th chia thành hai lo i t ng quát:ố ớ ớ ạ ể ạ ổ
Lo i 1ạ : Các d ng gi i h n c b n. Đ gi i các bài t p lo i này ta ch c nạ ớ ạ ơ ả ể ả ậ ạ ỉ ầ
áp d ng tr c ti p các đ nh lí v gi i h n t ng, hi u, tích thụ ự ế ị ề ớ ạ ổ ệ ương và căn
c a các hàm s ho c quy t c v tìm gi i h n vơ c c, các tính ch t đã h c.ủ ố ặ ắ ề ớ ạ ự ấ ọ
Lo i 2ạ : Các d ng vơ đ nh g m: ạ ị ồ 0, , 0 ,
0 − Đ gi i để ả ược các bài
t p lo i này c n cĩ phậ ạ ầ ương pháp bi n đ i đ đ a v bài tốn lo i 1.ế ổ ể ư ề ạ
a. D ng c b n: ạ ơ ả
D ng 1: ạ ( ) =
D u hi u: ấ ệ u x( ) xác đ nh t i ị ạ x x= 0 ( t c là t n t i ứ ồ ạ u x( )0
Ph ươ ng pháp:
Thay x0 tr c ti p vào bi u th c u(x), n u giá tr ự ế ể ứ ế ị u x( ) 0 t n t i thì ta k t ồ ạ ế
lu n: ậ
( ) =
x x u x u x
Ví d 1 ụ Tìm các gi i h n sau:ớ ạ
a) lim 23( 3)
x x+ b) 2
2
2
1
lim
x
x
−
( Ví d 3 tr155, Sách BTĐS> 11) ụ
H ướ ng d n ẫ :
a) Nh n th y v i ậ ấ ớ f x( ) 2 = x+ 3 thì ta xác đ nh đị ược f(3) 9 = nên:
Trang 5lim 23( 3) 2.3 3 9
b) Nh n th y v i ậ ấ ớ f x( ) = x2 + − 5 1 thì ta xác đ nh đị ược f( 2) 2 − = nên:
2 2
2
c) Tương t ta có: ự 2 2 2 2
1
x
x
Bài t p v n d ng:ậ ậ ụ
Tìm các gi i h n sau:ớ ạ
2
2
+
2
2
1 lim
2
x
x
x 4) −( − )
2
lim 2 1
D ng ạ 2: D ng ạ � �� �L
0
D u hi u: ấ ệ Tìm gi i h nớ ạ ( )
( ) 0
lim
x x
u x
v x v i ớ =
0
0
lim ( ) 0
Ph ươ ng pháp:
B ướ c 1: Tính =
0
lim ( )
x x u x L , v i ớ L 0
B ướ c 2: Tính =
0
lim ( ) 0
x x v x và xét d u bi u th c v(x) v iấ ể ứ ớ
0
x x
B ướ c 3: D a vào b ng xét d u sau đ k t lu n ự ả ấ ể ế ậ ( )
( ) 0
lim
x x
u x
v x
=
0
lim ( )
0
lim ( ) 0
( ) 0
lim
x x
u x
v x
Ví d ụ 2. Tìm các gi i h n sau:ớ ạ
a)
−
−
− 1
lim
1
x
x
x b)
+
−
− 1
lim
1
x
x x
Trang 6( Bài t p 4 tr132, Sách ĐS> 11) ậ
H ướ ng d n: ẫ
a) Ta có: ( )
−
−
− = − = − <
− = − < ∀ <
1
1
x
x
x
V yậ
− − = +
− 1
lim
1
x
x x
b) Ta có: ( )
+
+
− = − = − <
− = − > ∀ >
1
1
x
x
x
V yậ
− − = −
− 1
lim
1
x
x x
Bài t p v n d ng:ậ ậ ụ
Tìm các gi i h n sau:ớ ạ
1)
3
lim
3
x
x x
−
−
− + 2) 2
lim
2
x
x x
−
−
− +
3) 2( )2
3 lim
2
x
x x
−
− 4) 3( )2
2 lim
3
x
x x
−
− +
D ng ạ 3: D ng ạ ( )L
D u hi u: ấ ệ Tìm gi i h n ớ ạ lim ( ) ( )
x u x v x v i ớ lim ( )= 0
x u x L , lim ( )=
Ph ươ ng pháp:
B ướ c 1: Tính lim ( )=
x u x L , v i ớ L 0
B ướ c 2: Tính lim ( )=
B ướ c 3: D a vào b ng xét d u sau đ k t lu n ự ả ấ ể ế ậ lim ( ) ( )
x u x v x
=
lim ( )
x u x v x
Ví d ụ 3. Tìm các gi i h n sau:ớ ạ
Trang 7a) lim( 2− − 3+3 2−5)
( Bài t p 6 tr133, Sách ĐS> 11) ậ
H ướ ng d n: ẫ
a) Nhân và chia bi u th c ể ứ ( 2 − x3 + 3x2 − 5) cho x3 ta được:
= − − = +
.( 2)
b) Nhân và chia bi u th c ể ứ ( x2+ +1 x cho ) x ( do x + nên x= x2 ) ta có:
= + = +
2
.2
Bài t p v n d ng:ậ ậ ụ
Tìm các gi i h n sau:ớ ạ
1) lim(− 3−3 +1)
x x x 2) lim− ( 2+ −1 )
3) lim( 5+ − 4−3 2+1)
b. D ng vô đ nh: ạ ị
D ng 4: ạ D ng vô đ nh ạ ị 0
0
� �
� �
D u hi u: ấ ệ Tìm gi i h n ớ ạ
0
( ) lim ( )
x x
u x
v x v i ớ =
0
lim ( ) 0
0
lim ( ) 0
*) L =
0
( ) lim
( )
x x
u x
v x v i u(x), v(x) là các đa th c và u(x ớ ứ 0 ) = v(x 0 ) = 0
Ph ươ ng pháp : Phân tích c u(x), v(x) thành nhân t và rút g n nhân t ả ử ọ ử chung (x x− 0) đ đ a v d ng c b n ể ư ề ạ ơ ả
Ví d 4 ụ Tìm các gi i h nớ ạ sau:
−
3 2 2
8 lim
4
x
x
x b)
2 2
1
lim
x
( Ví d 4a tr156, Sách BT ĐS> 11) ụ
H ướ ng d n: ẫ
a) D dàng nh n th yễ ậ ấ : ( )3− =
2
2
Trang 8Ta phân tích:x3− =8 (x−2)(x2 +2x+2) vàx2 − =4 (x−2)(x+2) .
Khi đĩ:
2
4
x
−
b) Nh n xét tậ ương t câu a) ta cĩự :
2 ( ) ( )
2
*) L =
0
( ) lim
( )
x x
u x
v x v i u(x ớ 0 ) = v(x 0 ) = 0 và u(x), v(x) là các bi u th c ch a căn ể ứ ứ cùng b c ậ
Ph ươ ng pháp : S d ng các h ng đ ng th c đ nhân l ử ụ ằ ẳ ứ ể ượ ng liên h p t và ợ ở ử
m u đ a v d ng c b n ẫ ư ề ạ ơ ả
Ví d 5 ụ Tìm gi i h n hàm s ớ ạ ố :
a) − −
0
lim
x
x
x b) 2
2 lim
7 3
x
x x
− + −
( Ví d 4b tr156, Sách BT ĐS> 11) ụ
H ướ ng d n ẫ :
0
4
x
b)
2
2
2
x
x
x
x
−
*) L =
0
( ) lim
( )
x x
u x
v x v i u(x ớ 0 ) = v(x 0 ) = 0 và v(x) là bi u th c ch a căn khơng ể ứ ứ
đ ng b c ồ ậ
Ph ươ ng pháp : Gi s : u(x) = ả ử m p x( ) −n q x với p x( ) m ( )0 = n q x( )0 = a
Ta phân tích u(x) = u x( ) =(m p x( ) − + −a) (a n q x( )) .
Ví d 6. ụ Tìm gi i h nớ ạ : 3 + − −
0
lim
x
x
H ướ ng d n ẫ : Áp d ng phụ ương pháp trên ta cĩ :
+ − − = � + − + − − �
Trang 9+ −
= + =
lim
1 1 5
3 2 6
Bài t p v n d ng:ậ ậ ụ
Tìm các gi i h n sau:ớ ạ
1) 22
2
lim
x
−
+ −
− − − 2) 0
1 1 lim
x
x x
+ −
3)
4 3
1 3 lim 2
x
x 4)
x
x
1 1
lim 3 0
D ng 5: ạ D ng vô đ nh ( ạ ị )
Nh n bi t ậ ế : Tìm gi i h nớ ạ : lim ( )
( )
x
u x
v x , v i ớ lim ( )=
x u x , lim ( )=
( (u(x), v(x) là các đa th c ho c các bi u th c ch a căn) ứ ặ ể ứ ứ
Ph ươ ng pháp:
+) N u u(x), v(x) là các đa th c thì chia c t và m u cho lu th a cao ế ứ ả ử ẫ ỹ ừ
nh t c a x ấ ủ
+) N u u(x), v(x) có ch a căn thì có th chia c t và m u cho lu th a ế ứ ể ả ử ẫ ỹ ừ cao nh t c a x. ( ấ ủ Chú ý r ng n u ằ ế x + thì coi nh x> ư 0 , n u ế x −
thì coi nh x < 0 khi đ a x ra ho c vào kh i căn b c ch n ư ư ặ ỏ ậ ẵ ).
Ví d 7 ụ Tìm các gi i h n:ớ ạ
a)
+
+ − + +
2 2
lim
x
x x b) −
− + −
2
lim
1
x
x
x x c)
2 1 lim
1 +
− +
x
x
x
( Ví d 4c tr156, Sách BT ĐS> 11) ụ
H ướ ng d n: ẫ
a) Chia c t và m u c a phân th c ả ử ẫ ủ ứ + −
+ +
2 2
x x cho x2. Khi đó :
2
2
2
x x
+ −
Trang 10b) Chia c t và m u c a bi u th cả ử ẫ ủ ể ứ −
+ −
2
1
x
x x cho x, chú ý khi x − thì ta
có x= − x2 Khi đó :
2
2
3 2
1
x
−
c) Chia c t và m u c a bi u th c ả ử ẫ ủ ể ứ −
+ −
2
1
x
x x cho x, chú ý khi x + thì ta
có x= x2 Khi đó :
2 2
1 1 1
x x
x
x
Bài t p v n d ng:ậ ậ ụ
Tìm các gi i h n sau:ớ ạ
6 6
2
1 3 lim
x x
x x
30 20
1 2
2 3 3 2 lim
x
x x
3)
5 2
1 11 3
x
x x
x 4) 20172 3 20171
lim
x
+ +
D ng 6: ạ D ng vô đ nh ạ ị (( + − + ) ( ) ho c ặ (( − − − ) ( ))
Nh n bi t ậ ế :
Tìm gi i h nớ ạ lim( ( )− ( ))
x u x v x v i ớ lim ( )= +
x u x ,lim ( )= +
x v x ho cặ
+
lim( ( ) ( ))
x u x v x v i ớ lim ( )= −
x u x ,lim ( )= −
x v x ( có th thay ể x b ngằ 0
x x )
Ph ươ ng pháp:
+ N u u(x), v(x) có ch a căn thì n ế ứ hân (chia ) l ượ ng liên h p đ đ a ợ ể ư
gi i h n v ớ ạ ề các d ng trên ạ
+ N u u(x), v(x) d ng phân th c thì ta dùng quy đ ng m u s đ đ aế ở ạ ứ ồ ẫ ố ể ư
v các d ng trên.ề ạ
Ví d 8 ụ Tìm các gi i h n sau:ớ ạ
a) ( )
+ + −
lim 1
x x x b) x lim (x + x 2 x 1)
+
−
2
lim
Trang 11H ướ ng d n ẫ :
a) Nh n th y ậ ấ ( )
+ + = +
lim 1
+ = +
lim
x x nên gi i h n này thu cớ ạ ộ
d ng ạ (( + − + ) ( )) Vì v y ta nhân và chia bi u th c liên h p ậ ể ứ ợ ( 1 x+ + x)
, khi đó gi i h n đã cho đớ ạ ược đ a v d ng ư ề ạ � �� �L :
b) Nh n th y ậ ấ lim− = −
−
� + + �= +
x x nên gi i h n này thu cớ ạ ộ
d ngạ (( − − − ) ( )). Vì v y, nhân và chia v i bi u th c liên h p ậ ớ ể ứ ợ (x x 2 + + x 1)
,
khi đó gi i h n đớ ạ ược đ a v d ng ư ề ạ � �� �:
x 1
2
2
x+ x
x x
+ + =
+ +
2
1 1
2
x x
− −
c) Nh n th yậ ấ
+
= +
2
1 lim
2
= +
�2− � 2
1 lim
4
x x nên gi i h n này thu cớ ạ ộ
d ng ạ (( + − + ) ( )). Khi đó dùng quy đ ng m u s ta đ a gi i h n đã choồ ẫ ố ư ớ ạ
v d ng ề ạ � �� �L
0 T c là:ứ
+� − �= + + = +
x
Bài t p v n d ng:ậ ậ ụ
Tìm các gi i h n sau:ớ ạ
3
1 lim (2 3 )
2 lim ( 2 3 2 )
+ − + −
3 lim ( 2 2)
+ + − −