Định lý cô-si và các hệ quả của định lý cô-si Ý nghĩa hình học của chúng Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Làm các bài tập trong sách giáo khoa trang 79... Bất đẳng thức giữa trun[r]
Trang 1Tiết 44: BẤT ĐẲNG THỨC(tt)
Trang 2a b
2
Cho hai số a và b không âm
Trang 3II Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung
bình nhân (bất đẳng thức Cô-Si)
1 Bất đẳng thức Cô-si
Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc
bằng trung bình cộng của chúng
ab , a, b 0
2
2 xảy ra khi và chỉ khi a = b
Trang 4NHÀ TOÁN HỌC CAUCHY NHÀ TOÁN HỌC CAUCHY
Augustin-Louis
Cauchy
(1789-1857)
Là kĩ sư cầu đường –nhà toán học Pháp
Năm 1805, học trường Bách Khoa Paris, ông đứng thứ 2/293 ứng viên
18 tuổi, vào trường ĐH Cầu Đường Năm 1810, là 1 kỹ sư ở Cherbourg
23 tuổi, Cauchy về Paris, 26 tuổi dành hết thời gian cho Toán học, thành viên
Viện Hàn lâm khoa học Pháp
19 năm cuối đời có trên 500 công trình toán học kể cả cơ học, vật lý
“Những con người sẽ mất, nhưng những công trình của họ vẫn ở lại”
“Những con người sẽ mất, nhưng những công trình của họ vẫn ở lại”
Trang 51 Bất đẳng thức Cô-si
Ví dụ 1: Chứng minh với mọi số dương a ta có: a
a
1 2
x
9 2
Ví dụ 2: Cho x>2 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ví dụ 3: Chứng minh (a b)( ) , a,b
a b
1 1 4 0
Trang 6Hệ quả 1
Tổng của một số dương với nghịch đảo của
nó lớn hơn hoặc bằng 2
a , a
a
1 2 0
Trang 7Cho hai số dương x, y
Nếu tổng x+y không đổi thì
tích xy lớn nhất khi nào?
Nếu tổng x+y không đổi thì
tích xy lớn nhất khi nào?
.
Nếu tích xy không đổi thì tổng x+y nhỏ nhất khi nào?
Nếu tích xy không đổi thì tổng x+y nhỏ nhất khi nào?
Trang 8Hệ quả 2
Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì
tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x=y
Ý NGHĨA HÌNH HỌC
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình
vuông có diện tích lớn nhất.
Trang 9Ví dụ: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi , hình vuông
có diện tích lớn nhất.
Trang 10Hệ quả 3
Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì
tổng x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x=y
Ý NGHĨA HÌNH HỌC
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích,
hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
Trang 11Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu
vi nhỏ nhất.
Trang 12C
Trang 13a | x | 4 x Z
b | x | 3 x R
Tìm x biết
Trang 14III Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
a > 0
a > 0
x x
x x
x 0 , ,
b a
b a
b
a
a x
a a
x
a x
a
x hoặc x a
Trang 15III.Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Giải
2 ; 0 2 0
x
Ví dụ: Cho ,CMR x 2;0 x 1 1
1 1
1 1
1
1 0
1 1
2
x
x
x
Trang 16Củng cố bài học
Tính chất của bất đẳng thức
Định lý cô-si và các hệ quả của định lý cô-si
Ý nghĩa hình học của chúng
Làm các bài tập trong sách giáo khoa trang 79
Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Trang 17II Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung
bình nhân (bất đẳng thức cô-si)
Hãy chứng minh bất đẳng thức cô-si
Nhắc lại:
Để chứng minh một bất đẳng thức ta chỉ cần xét dấu của hiệu hai vế bất đẳng thức đó.
Như vậy để chứng minh bất đẳng thức ab 2a b
Ta cần chứng minh ab a b 0
2
1 Bất đẳng thức Cô-si
Trang 18II Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)
1 Bất đẳng thức Cô-si
Thật vậy
a b
Ta có:
ab 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Tức là khi a = b