RUT GON BIEU THUC

ÔN THI VÀO THPT gi¶i mét sè bµi to¸n vÒ rót gän biÓu thøc C¬ së lý thuyÕt: Cho biÓu thøc Ax.[r]

ễN THI VÀO THPT

giải một số bài toán về rút gọn biểu thức

Cơ sở lý thuyết:

Cho biểu thức A(x) a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của A tại x=?

c) Tìm giá trị của xz để Az Tìm giá trị nhỏ nhất, giá tri lớn nhất của A Tìm giá trịcủa x để A.f(x) =g(x)

Tìm giá trị của x để A=k; Ak;A k Tìm x để A A .

Tìm x để A A

Dạng 1

Bài 1 Cho biểu thức

x 1 x x x 1

a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A

b)Tính giá trị của A khi x=3-2 2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài giải:

a) ĐKXĐ x > 0; x1

Rút gọn

x 1 x x x 1 x 1 x( x 1) x 1

2

( x ) 2 x 1 (x 2)( x 1) x 2

1

x ( x 1) x ( x 1) x

b Khi x= 3-2 2 = ( x 1) 2  x  2 1

5 2 2  2 1

3 2 2 2 5 2 2

1

2 1 2 1

c) Ta có A=

x 2 2



  

( BĐT Côsi cho hai số dơng)

min

2

x

(TMĐK) Vậy Amin=2 2  x 2 .

Bài 2:

Cho biểu thức

x 3 x 3 x 3

a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A

b) Với giá trị nào của x thì A >

1 3 c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất

Bài giải:

a) ĐKXĐ x0;x 9

 

x 3 x 3

x 3 x 3 x 3 x 3 x 3

  

x 3 3



6

x 3 x 3

x 3 3



A =

2

x 3

3 x 3 3 x 3 3 3 x 3



3 x 0

   ( vì 3(( x 3) 0)   x 9  x 9

Kết quả hợp với ĐKXĐ: 0 x 9  thì A > 1/3.

c)

2

A

x 3



 đạt giá trị lớn nhất khi x 3 đạt giá trị nhỏ nhất.

Mà x 3 3    x 3 min  3 x 0  x 0

lúc đó AMax=

2

x 0

3  

Bài 3:

Cho biểu thức

1 x x 1 x 1

  

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị của x để P =

5 4 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M

x 12 1

P

x 1







Bài giải: a) ĐKXĐ x0;x 1

1

x 1

x 1 x 1 ( x 1) x 1

x 2 x 1 x 2

x 1

x 1 x 1





b) P 5 x 2 5 4 x 2 5 x 1 4 x 8 5 x 5

4 x 1 4





x 13 x 168

    (TMĐK)

c)

x 12 1 x 12 x 1 x 12 x 4 16

P

x 1 x 1 x 2 x 2 x 2

16

x 2 2 16 2.4 8

x 2



min

16

M 8 4 4 M 4 x 2

x 2

       



2

x 2 16 x 2 4 x 2 4 0

x 6 x 2 0 x 2 0 x 4(TMDK)

        

Vậy Mmin= 4 x 4 .

Bài 4: Cho biểu thức:

2 x x 3x 3 2 x 2

x 9



a) Tìm ĐKXĐ ,rút gọn biểu thức

b) Tìm x để D <

-1 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D

Dạng 2 Bài 1

Cho biểu thức:

a 2 a a a

a 2 a 1

     

     

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P

b) Tìm az để P nhận giá trị nghyên.

Bài giải:a) ĐKXĐ: a0;a 1

b)

a 1 2

a 1 a 1



  

để P nhận giá trị nguyên thì

2

a 1 nhận giá trị nguyên dơng  a 1 thuộc ớc dơng của 2.

a 1 1 a 0

a 1

a 1 2

    

 

  

 a=1 (Loại vì không thoả mãi điều kiện)

Vậy P nhận giá trị nguyên khi a = 0

B

2 x 3 1 2 x 3 1

a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B

b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên

Bài giải:

a) ĐKXĐ x3;x2

x 3 1 x 3 1

2 x 3 1 2 x 2 x 2

2 x 3 1 2 x 3 1

    

b) B nhận giá trị nguyên khi

1

x 2 nhận giá trị nguyên.

x 2

  Ư(1)

x 2 1 x 1

x 2 1 x 3

  

   

  

  thoả mãn điều kiện

Vậy x= -1; x= -3 thì B nhận giá trị nguyên

Bài 3 Cho biểu thức

 

x x 2x x P



a) Tìm ĐKXĐ , rút gọn P

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

c) Tìm x để biểu thức

2 x Q

P



nhận giá trị nguyên

Dạng 3 Bài1

x x 1 x 1 x



 

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm x để P > 0

Bài giải

a) ĐKXĐ x>0; x1

2

1 x

b) P > 0

1 x

0 1 x 0 x



( vì x 0)  x 1  x 1. Kết hợp với ĐKXĐ: 0 x 1  thì P > 0

Bài 2 Cho biểu thức

1 1 a 1 a 2

a 1 a a 2 a 1

   

     

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P

b) Tìm giá trị của a để P > 0

Bài 3

Cho biểu thức

1 x2

x 2 x 2

2

x 1 x 2 x 1

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P

b) Tìm x để P <

1 2

Bài 4 Cho biểu thức:

x 3 6 x 4 P

x 1

x 1 x 1





a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P

b) Tìm x để P <

1 2

Bài 5: Cho biểu thức:

a 1

a 1 a a a 1

      

a) Rút gọn biểu thức K

b) Tìm giá trị của K khi a = 3+2 2

c) Tìm giá trị của a sao cho K < 0

Dạng 4 Bài 1

Cho biểu thức

x 1 x x x 1

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A

b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0

c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình A x m  x có nghiệm.

Bài giải

a) ĐKXĐ: x > 0; x1

 

2

x 1

1

b) A < 0

x 1

0 x 1 0 x



(vì x 0 )  x 1 kết hợp với ĐKXĐ 0 <x < 1 thì A < 0 c) P.t: A

x 1

x m x x m x x 1 m x (1)

x



        

x 1 m x x x m 1 0(*)

Đặt x t >0 ta có phơng trình t2  t m 1  0 * 

để phơng trình (1) có nghiệm thì

ph-ơng trình (*) phải có nghiệm dph-ơng

Để phơng trình (*) có nghiệm dơng thì:

1 4 m 1 0

m 1 0

    





  



5

4





 

 Vậy m>-1 và m 1 thì pt A x m  x có nghiệm.

Bài 2:

Cho biểu thức:

x 1 x x

  

 

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P

b) Tìm giá trị của P khi x = 25

c) Tìm x để P 5 2 6.  x 1 2  x 2005 2  3

Bài giải:

x 1 x x x 1 x x 1

1 P

x 1

 



b) Khi x= 25  2

P

16

25 1



c)

2

2

P 5 2 6 x 1

1

x 2005 2 3 2 3 x 1 x 2005 2 3

x 1



2 3 x 2005 2 3

       x 2005 TMĐK

Vậy x = 2005 thì P 5 2 6  x 1 2  x 2005 2  3

Dạng 5 Bài 1

Cho biểu thức

x 1 x 1 x

     

a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A

b)Tính giá trị của A khi x=

1

4. c)Tìm giá trị của x để A A.

Bài giải:

a) ĐKXĐ x > 0; x 1.

1 1 1 x 1 x 1 x 1

x 1 x 1 x x 1 x 1 x

   

     

=

   

A

x 1





b) Khi x =

1

1 2 4





c)

2

A 0 0 A 1 0 1

x 1

      



 

2

0 x 1 0 x 1 1

x 1

      





x 3 0

x 9

x 1 0

  



 

 Vậy x > 9 thì A A

Bài 2:

x 2 x 1 A

x 1 x x 1



a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của biểu thức A vơi x = 36

c) Với giá trị nào của x thì A A

Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1

 

x 2 x 1 x 1

A

x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x

b) Khi x=36

36 1 5 A

6 36



c)

x 1

x



       

(vì x 0 )

x 1 x 1

    Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì A A