BT TLTN CHUONG 1 GT

4/ Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận đối với hàm số ax +b y= cx +d 5/ Lập bảng biến thiên Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên.Kết luận khoảng đồn[r]

Chương 1.ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ

HÀM SỐ Bài 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

ĐỊNH NGHĨA.Gỉa sử hàm số y=f(x) xác định trên K.

 Hàm số y=f(x) đồng biến ( tăng) trên K nếu với mọi cặp x1,x2 thuộc K mà:

x1 < x2 => f(x1) < f(x2)

 Hàm số y=f(x) nghịch biến ( giảm ) trên K nếu với mọi cặp x1,x2 thuộc K mà:

x1 < x2 => f(x1) > f(x2)

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K

ĐỊNH LÍ Giả sử hàm số f (x) cĩ đạo hàm trên khoảng K.

a) f/ (x) > 0,  x K => f(x) đồng biến trên K

f/ (x) < 0,  x K => f(x) nghịch biến trên K

b)f(x) đồng biến trên K => f/(x) ≥ 0, x K

f(x) nghịch biến trên K => f/(x)  0, x K

Khoảng K được gọi chung là khoảng đơn điệu của hàm số

Dạng 1 Xét sự đồng biến, nghịch biến(đơn điệu) của hàm số

Qui tắc tìm khoảng đơn điệu của hàm số y= f(x)

1)Tìm tập xác định

2)Tính đạo hàm f/(x) Tìm các điểm xi ( i=1,2,3….) mà tại đĩ f/(x) bằng 0 hoặc khơng xác định.3)Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

4)Dựa vào BBT kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến

Bài 1 Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số :

 ax 2 +bx+c ≥ 0,  x 

¿

a>0 Δ≤ 0

m 

30



); B.m(

52

, +∞); C m(- ∞;

52

]; D.m(-3; +∞);

2

Bài 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1 TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Sử dụng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2

3

(1 − x)2

e)

61

x y x

x x y

x





Dạng 2 BÀI TỐN CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN CỰC TRỊ

Bài 1.Xác định giá tị của tham số m để hàm số y= x3-2x2 +mx+1 đạt cực tiểu tại x=1 (TN2011)

Bài 2 Cho hàm số y= - (m2+5m)x3+6mx2+6x-6.Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x=1

Bài 3 Tìm m đề hàm số f(x)= x3 -3x2+mx-1 cĩ hai điểm cực trị Gọi x1, x2 là hai điểm cực trị đĩ , tìm

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆMCâu 1: Tìm điểm cực tiểu xCT của hàm số

Câu 2:Cho hàm số y=x3-3x2+1 Tích các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số bằng

A. Điểm cực đại tại x  , điểm cực tiểu tại 2 x  0

B Điểm cực tiểu tại x 2, điểm cực đại tại x 0

C Điểm cực đại tại x 3, điểm cực tiểu tại x 0

D Điểm cực đại tại x 2, điểm cực tiểu tại x 2

Câu 5: Điểm cực trị của hàm số y x 3 3x2 2x 1 là x , x1 2 Tính x1x2

Câu 7 Cho hàm số yx3 3x2 Mệnh đề nào dưới đây là đúng ? ( thi 2017)

A Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0) và nghịch biến trên khoảng (0;)

B Hàm số nghịch biến trên khoảng (  ; )

C Hàm số đồng biến trên khoảng (  ; )

D Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;0) và đồng biến trên khoảng (0;)

Câu 8 : Cho hàm số yx4  2x2 Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (  ; 2)

B Hàm số nghịch biến trên khoảng (  ; 2)

C Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1;1)

D Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;1)

Câu 9: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số

Bài 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

-I/ ĐỊNH NGHĨA

Cho hàm số y=f(x) xác định trên tập hợp D ( DR)

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x) trên D, nếu f(x) M với mọi x

thuộc D và tồn tại x0 D sao cho f(x0)= M

Kí hiệu là M =max

D f (x)

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên D, nếu f(x) m với mọi x

thuộc D và tồn tại x0 D sao cho f(x0)= m

Kí hiệu là m=min D f (x )

III/ CÁCH TÌM GTLN,GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN

1/ Định lí Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều cĩ giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên

CHÚ Ý: Nếu là khoảng (a;b) thì phải lập bảng biến thiên.

Dạng 1 TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ y= f(x) trên đoạn [a;b]

+ Tính f/(x)

+ Cho f/(x) = 0, chọn x thuộc [a;b], giả sử cĩ x1, x2,…, xn thuộc đoạn [a;b]

+ Tính giá trị f(a), f(b), f(x1),…,f(xn)

+ Số lớn nhất là max, số nhỏ nhất là min

Bài tập Tìm GTLN ,GTNN của các hàm số :

a) y=x3-8x2+16x-9 trên đoạn [1;3] (TN2007) b) y = x4 -3x2 +2 trên các đoạn [0;3]

-Lập bảng biến thiên của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b)

-Dựa vào bảng biến thiên kết luận

Bài 1: Tìm GTLN,GTNN của các hàm số :

6

A 3.

M

1.3

M

5.3

M

5.6

m 

512

Câu 11: Hàm số

1

x y x

Câu 13 Cho hàm số yf x( ) có bảng biến thiên sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

-Bài 4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN

a/ Đường tiệm cận ngang

ĐỊNH NGHĨA Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang ( gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y= f(x) nếu x →+∞lim f ( x )= y0 hoac lim

x →− ∞ f ( x )= y0

ĐỊNH NGHĨA Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng ( gọi tắt là tiệm cận đứng)

của đồ thị hàm số y= f(x) nếu ít nhất một trong các điểu kiện sau thỏa mãn

x y

16

y x

x y x

5 4 1

y x

y x



11

y x





-Bài 5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

1/ Tìm tập xác định

2/Tính đạo hàm y/,

3/ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y/ bằng 0 hoặc không xác định.

4/ Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận( đối với hàm số

( trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp

thì có thể cho x giá trị nguyên nào đó tìm y )

và một tiệm cận ngang là

a y c

 Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số

 Các dạng đồ thị:

10

y x

0 I

yx 0I

y

x 0 I

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số

a)y= x3+3x2-4 b)y= - x3+3x2-1

Bài 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số a)y= -x4+2x2-2 b)y= x4-2x2-3

Bài 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số a) y= 2 x −1 x −1 b) y= 1− x x +2

-BÀI TẠP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Đồ thị sau đây là của hàm số nào ?

A 3 3 2 yx  x B yx3 3x2 C yx3 3x2 D y x33x2 Câu 2: Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? x   0 2  

y’ - 0 + 0 -

y   3

-1  

a

>

0a

<

0y

’

=

0

có

3

ng

hi

ệ

m

ph

ân

bi

ệt



ab

<

0

y’

=

0

ch

ỉ

có

1

ng

hi

ệ

m



ab

>

0

0a

d

–

b

c

>

0

d – b c

< 0 xy

x y32 O

4 21



11

x y x

 



21

x y x

O 1

CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị ( C ) và hàm số y=g(x) có đồ thị ( C/)

Để tìm hoành độ giao điểm của ( C ) và (C/) ta phải giải phương trình : f(x)=g(x) (*)

 Nếư (*) vô nghiệm thì ( C ) và (C/) không cắt nhau

 Nếu (*) có n nghiệm x1,x2,…, xn thì (C) và ( C/) cắt nhau tại n điểm M1(x1;f(x1)),…,Mn(xn,f(xn))

Bài 1 Cho hàm số

x y x





Xác định tọa độ giao điểm của ( C ) với đường thẳng y= x+2 ( TN2011)

Bài 2.Cho hàm số y2x3 3mx2(m1)x1 (1), m là tham số thực

Tìm m để đường thẳng y = -x +1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt.(ĐHKD/2013)

x y x





 Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y x m  tại 2 giao điểm khi

A.m 1;m3 B m1;m3 C  1 m3 D m1;m7.

Câu 7: Cho hàm số y (x 2)(x2 1) có đồ thị (C) Mệnh đề nào dưới đây đúng ? ( thi 2017)

A ( )C cắt trục hoành tại hai điểm B.( )C cắt trục hoành tại một điểm.

C ( )C không cắt trục hoành D ( )C cắt trục hoành tại ba điểm.

DẠNG 2 DÙNG ĐỒ THỊ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Dùng đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm pt : p (x, m) = 0

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C) của hàm số y = −x3 + 3x2

2) Dựa và ( C) biện luận theo m số nghiệm phương trình: −x3

2)Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3-6x2+m=0 có 3 nghiệm phân biệt.( TN 2010)

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆMCâu 1: Phương trình x312x m  2 0 có 3 nghiệm phân biệt khi :

A  4 m4 B 18m14 C 14m18 D 16m16Câu 2: Với giá trị nào của m thì phương trình x3−3 x −m=0 có ba nghiệm phân biệt

Câu 5: Với giá trị nào của m thì phương trình x3

−3 x2+m=0 có hai nghiệm phân biệt



C

13m4

Dạng 3.PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

1/ Tiếp tuyến tại điểm M o (x o , y o ) thuộc đồ thị (C ): y = f(x)

Phương trình tiếp tuyến ∆: y – y0 = f’(x)(x - xo) ; y0 = f(xo)

2/Tiếp tuyến có hệ số góc góc k.( song song, vuông góc)

 Gọii Mo(xo, yo) là tiếp điểm

 Ta có: f’(xo) = k (ý nghĩa hình học đạo hàm)

 Giải pt trên, tìm xo, suy ra yo = f (xo)

 Viết phương trình ∆: y= k (x – xo) + yo

Chú ý:

 Nếu ∆ song song với d : y=ax+b thì ∆ có hệ số góc là k =a

 Nếu ∆ vuông góc với d : y=ax+b thì ∆ có hệ số góc là k=





 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc

với đường thẳng d: y=x+2.(CĐ/2012)

-BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1:Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= x3 - 2x2 +x -1 tại điểm có hoành độ x0= -1 là:

A.y = 8x+3 B.y= 8x+7 C.y= 8x+8 D.y= 8x+11

Câu 2:Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y= x3- x2+1 tại điểm có hoành độ x0 =1 có phương trình:

A.y= x B.y=2x C.y=2x-1 D.y=x-2

Câu 3:Cho hàm số y x 3 3x1 có đồ thị ( C ) Viết tiếp phương trình tuyến của ( C ) tại điểm M(2;3)

A.y=-4x-3 B.y=-4x+3 C y=-4x-2 D.y=-4x+2

Câu 5:Cho hàm số y = x3 + 3x2 -1 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)

Biết tuyến tuyến song song với đường thẳng 3x + y – 2013 = 0

A.y=-3x+1 B.y=-3x+2 C.y=-3x D.y=-3x-6

DẠNG 4 HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

 Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) )

 Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ( do (2) )

 Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ được (C1)

nếunếu

 Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( do (1) )

 Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( do do tính chất hàm chẵn )

 Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có) ta sẽ được (C2)

x

y

y = x 3 -3x+2

f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=abs(x^3)-abs(3*x)+2

2 4 6 8

x

y

y = x 3 -3x+2

f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=abs(x^3-3*x+2)

Bài 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số y4x3 3x

b)Dựa vào ( C) suy ra đồ thị hàm số

Câu 2: Cho đường cong () được vẽ bởi nét liền trong hình vẽ:

Hỏi () là dạng đồ thị của hàm số nào?

ĐIỀU KIỆN ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

1/ f(x)=m , xD có nghiệm minx D f x  m maxx D f x 

TÍNH CHẤT CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Tính chất 1: Đồ thị hàm số y ax 4bx2c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác

vuông khi và chỉ khi 3

Tính chất 2: Đồ thị hàm số y ax 4bx2c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác

đều khi và chỉ khi 3

Tính chất 4 Đồ thị hàm số y ax 4bx2c có ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn điều kiện

BC OA (với O là gốc tọa độ) khi và chỉ khi 2

Tính chất 5 Đồ thị hàm số y ax 4bx2c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một

tam giác có diện tích là S cho trước khi và chỉ khi

5 3

032

ab

b S

x y x





 Mệnh đề nào sau đây sai

A Đồ thị hàm số luôn nhận điểm I (–2;1) làm tâm đối xứng.

B Đồ thị hàm số không có điểm cực trị.

C Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm A (0;2)

D Hàm số luôn đồng biến trên khoảng   ; 2 , 2;  

Câu 3: Các khoảng nghịch biến của hàm số: y3x 4x3 là

A Đạt cực tiểu tại x = 0 B Có cực đại và cực tiểu

C Có cực đại, không có cực tiểu D Không có cực trị

x , chọn phương án đúng trong các phương án sau

O 1

x y

x y

x y

x có mấy tiệm cận ngang

20

Câu 11: Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x + 2 trên đoạn[– 1; 2] là

x Khẳng định nào sau đây đúng?

A Đồ thị hàm số không có tiệm cận B Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 3.

 có tung độ bằng 5 Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các trục tọa độ Ox,

Oy lần lượt tại A và B Hãy tính diện tích tam giác OAB ?

-2

1 O

Câu 17: Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào?





 3 2

x y





 1 2

x y x

Câu 18: Đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số y x 3  3x 2 tại 3 điểm phân biệt khi

D 2;

Câu 21:Cho hàm số y x 4 2mx22m m 4 Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C m) có ba

điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích S=4 ?

x x y

x





 Khẳng định nào sau đây đúng

A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ;1) và (1;)

22

B Hàm số có tiệm cận ngang x 1.

C Hàm số có tiệm cận đứng y 1.

D Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ;1) và (1;)

Câu 3.Giá trị nhỏ nhất của hàm số hàm số y x 42x2 4 là

x y x





 Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận, tọa độ điểm I là

Câu 11.Bảng biến thiên trong hình bên là bảng biến thiên của hàm số nào sau đây?

C Hàm số có một điểm cực tiểu.

D Hàm số đồng biến trên khoảng  ,0

Câu 14.Hàm số y x 33x2 2 đạt cực tiểu tại

m 

C

43

m 

D

43

m 

Câu 18.Tìm các giá trị của tham số m sao cho hàm số

2

x y

x có đồ thị là (C) Giá trị m để đường thẳng d y:  x m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB 5 là

Câu 21.Cho hàm số y x 3 3x22 có đồ thị là  C

Tìm tọa độ điểm M thuộc  C

sao cho tiếptuyến của đồ thị  C

tại M song song với đường thẳng ( ) : y9x2

A M(0;1) B M(4;3) C M(0;1),M(4;3) D. M(0; 1), M( 4;3)

Câu 22.Một đoàn cứu trợ lũ lụt đang ở vị trí A của tỉnh Quảng Bình muốn tiếp cận vị trí C để tiếp tế

lương thực và thuốc phải đi theo con đường từ A đến B và từ B đến C (như hình vẽ) Tuy nhiên donước ngập con đường từ A đến B nên đoàn cứu trợ không thể đi đến C bằng xe, nhưng đoàn cứu trợ cóthể chèo thuyền từ A đến vị trí D trên đoạn đường từ B đến C với vận tốc 4km/h rồi đi bộ đến C vớivận tốc 6km/h Biết A cách B một khoảng 5km, B cách C một khoảng 7km Xác định vị trí điểm D đểđoàn cứu trợ đi đến xã C nhanh nhất

Câu 1: Cho hàm số y x 3 6x29x1 Khẳng định nào sau đây đúng:

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 1;3

B Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 1; 

C Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 1;3

D Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 5;

Câu 2: Cho hàm số

12

x y

x





 Khẳng định nào sau đây đúng:

A Hàm số đã cho nghịch biến trên R

B Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó

C. Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

D Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;2  2;

Câu 3: Hàm số y x 4 2x21 có bao nhiêu cực trị ?

Khẳng định nào sau đây đúng:

A Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  , giá trị cực tiểu của hàm số là 0 y 0 0

B Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 1, giá trị cực tiểu của hàm số là y   1 1

C. Hàm số đạt cực đại tại điểm x  , giá trị cực đại của hàm số là 1 y   1 1

D Hàm số đạt cực đại tại điểm x 0, giá trị cực đại của hàm số là y 0 0

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

x y

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

x y

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

x y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

x y

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

x y

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

x y

Câu 7: Đồ thị hàm số

12

x y x





có dạng:

-2 -1 1 2 3 4

-2 -1 1 2 3 4

x

-4 -3 -2 -1 1 2

-2 -1 1 2 3 4

x , hãy tìm khẳng định đúng?

A Hàm số có một điểm cực trị

B Đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận

C Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

D Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

Câu 9: Cho hàm số yx3 3x24 có đồ thị ( C ) Tiếp tuyến với đường cong (C), song song với đường thẳng ( ) :d y3x5 có phương trình là:

A y3x1 B y3x2 C y3x4 D y3x5

Câu 10: Phương trình tiếp tuyến với (C):

-=+

3

x y

x tại giao điểm với trục tung là:





 vuông góc với đường thẳng

125

y x

có phương trình là:

A

1

25

y x

và

1225

y x

B y5x2 và y5x22

C y5x 2và y5x 22 D.

125

y x

và

1225

y x

Câu 12: Cho hàm số

2( )1

m m

m m

m m

m m