DE THI HSG HUYEN TOAN 6

Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm.. Tính số giao điểm của chúng.[r]

Phßng GD&§T HUYỆN NGA SƠN

CỤM CHUYÊN MÔN

THANH – THUỶ - BẠCH – TÂN

-(Đề thi gồm có 01 trang)

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2016-2017 MÔN TOÁN 6 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 24 tháng 11 năm 2016

Bài 1: (3điểm) Tính bằng cách hợp lý nhất:

a 2.31.12 + 4.6.42 + 8.27.3

b (68.8686 – 6868.86).(1+2+3+ …+ 2016)

Bài 2: (3điểm) So sánh

a 27 à 8111v 8

b 6315 và 3418

Bài 3: (4điểm)

a Cho A = 21 + 22 + 23 + … + 230 Chứng minh rằng: A chia hết cho 21.

b Tìm các chữ số a, b sao cho số a b65 45

Bài 4: (3 điểm) Khối 6 của một trường có chưa tới 400 học sinh, khi xếp hàng 10; 12;

15 đều dư 3 nhưng nếu xếp hàng 11 thì không dư Tính số học sinh khối 6

Bài 5: (6 điểm)

a Cho đoạn thẳng AB = 8cm Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC = 4cm Tính độ dài đoạn thẳng AC

b Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không

có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm Tính số giao điểm của chúng

Bài 6: (1điểm) Tìm các số tự nhiên n có hai chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là

các số chính phương

-Hết -ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

1a

(1,5đ)

2.31.12 + 4.6.42 + 8.27.3

=(2.12).31 + (4.6).42 + (8.3).27

= 24.31 + 24.42 + 24.27

= 24.(31 + 42 + 27)

=24 100

= 2400

0,5 0,25 0,25 0.25 0.25 1b

(1,5đ)

(68.8686 – 6868.86).(1+2+3+ …+ 2016)

= (68.86.111 – 68.111.86).(1+2+3+ …+ 2016)

= 0 (1+2+3+ …+ 2016) = 0

1 0.5 2a

(1,5đ)

Ta có 2711 = (33)11 = 333

818 = (34)8 = 332

Vì 333>332 nên 2711 > 818

Vậy 2711 > 818

0.25 0.25 0.75 0.25 2b

(1,5đ)

Ta có 6315 < 6415 =(26)15 = 290

3418 > 3218 = (25)18 =290

=> 6315 < 3418

Vậy 6315 < 3418

0.5 0.5 0.25 0.25 3a

(2đ)

A = 2 1 + 2 2 + 2 3 + … + 2 30

Ta có: A = 2 1 + 2 2 + 2 3 + … + 2 30

= (2 1 + 2 2 ) + (2 3 + 2 4 ) + … (2 29 + 2 30 )

= 2.(1+2) + 2 3 (1+2) + … + 2 29 (1+2)

= 3.( 2 + 2 3 +…+ 2 29 ) suy ra A  3 (1)

Ta có: A = 2 1 + 2 2 + 2 3 + … + 2 30

= (2 1 + 2 2 + 2 3 ) + (2 4 + 2 5 + 2 6 ) + … (2 28 +2 29 + 2 30 )

= 2.(1+2+2 2 ) + 2 4 (1+2+2 2 ) + … + 2 28 (1+2+2 2 )

= 7 (2 + 2 4 + … + 2 28 ) suy ra A  7 (2)

Mà (3,7) = 1 Kết hợp (1) và (2) => A ⋮ 3.7 hay A ⋮ 21

0,75 0,5

0,75 3b

(2đ)

Ta có 45 = 5.9 và (5,9)=1

 a b65 45  a b65 5và a b65 9

Vì a b65 5  b= 0 hoặc b = 5

* TH1: b = 0  a650 9   a+119

Mà 1a9  12a + 11 20 a + 11 = 18  a = 7

* TH2: b = 5  a655 9   a+169

Mà 1a9  17a + 11 25 a + 16 = 18  a = 2

Vậy a=7 và b= 0; a= 2 và b = 5

0,25 0,25 0,25 0,5

0,5 0,25

(3đ) Ta có: a-310; a-312; a- 315 a-3BC(10;12;15)

Lại có: BCNN(10,12,15)= 60

=> BC(10;12;15)= B(60) = {0;60;120;180;240;300;360;420;…}

Vì 3< a <400 nên 0< a-3 < 397

=> a-3{60;120;180;240;300;360}

Vì a11 => a=363

Vậy khối 6 có 363 học sinh

0,5 0,25

0,5 0,5

0,5 0,25 0.25 5a

(4đ)

Xét hai trường hợp :

*TH 1: C thuộc tia đối của tia BA

● ● ●

A B C

Hai tia BA, BC là hai tia đối nhau  B nằm giữa A và C

Vậy AC = 12 cm

*TH 2 : C thuộc tia BA

● ● ●

A C B

Vậy AC = 4 cm

2

2

5b

(2đ)

- Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại nên tạo ra 100 giao

điểm

- Có 101 đường thẳng nên có : 101.100 = 10100 giao điểm

- Do mỗi giao điểm được tính hai lần nên số giao điểm là :

10100 : 2 = 5050 giao điểm

Vậy số giao điểm là: 5050 giao điểm

0.75

0.75 0.25 0.25 6

(1đ)

Ta có 10n99 nên 212n+1199

Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được:

Chỉ có 121 là số chính phương

Vậy n = 40

0.25 0.5

0.25