Chứng minh rằng nếu ABCDE là ngũ giác đặt biệt thì 5 tam giác AXY, BYZ, CZV, DVW và EWX có diện tích bằng nhau, và ngũ giác XYZVW cũng là ngũ giác đặc biệt ?.. HẾT Giám thị coi thi không[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian ra đề )
Câu 1:( 1 điểm )
Cho biểu thức: A = √6+2√5 – √6−2√5
a) Chứng minh rằng A là số nguyên tố nhỏ nhất.
b) Tính giá trị của biểu thức sau :
A2+2 A+
3
A2+6 A +8+
3
A2+10 A+24+… +
3
A2+4034 A+20162+4032
Câu 2: ( 2 điểm )
a) Giải phương trình: √x−2012−1
x−2012 + √y −2013+1 y−2013 +√z−2014−1
z −2014 = 34 b) Cho x, y thỏa mãn biểu thức: x
2
+y2
x2
−y2+x2
−y2
x2
+y2 = k Tính: x
8
+y8
x8
−y8+x8
−y8
x8
+y8 theo k.
Câu 3: ( 2 điểm )
a) Tìm các số tự nhiên p, q sao cho số 2 2p + 2 2q là số chính phương
b)Cho hàm số f(x) thỏa mãn: f(x) = f(x + 3).f(x – 3) Chứng minh rằng: f(x) + f (x+17) = 2f(x)
Câu 4: ( 3,5 điểm )
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a Trên tia đối của tia CA lấy điểm E, F, I sao cho AE = 2a,
AF = 5a, AI = 8a
a) Tính tỉ số giữa bình phương đoạn thẳng AB với diện tích tam giác BAF ?
b) Chứng minh rằng: √3 BC
AC = 6
√ AI
2 AE
c) Chứng minh rằng: BFA+^ ¿ BIA^ = B^
2 – BEA^
Câu 5: ( 1 điểm )
Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x ≥ 1; y ≥ 1; z ≥ 1 Chứng minh rằng :
4
yz+
8
3 xy+
3
xz ≤
4 x+3 y
4 xy√z−1+
3 x +2 z
3 xz√y−1+
8 z+9 y
12 yz√x−1
Câu 6: ( 0,5 điểm )
Ta gọi ABCDE là ngũ giác đặc biệt nếu mỗi đường chéo song song với một cạnh tương ứng Nói cách khác, EB // DC, AC // ED, CE // BA và DA // CB Gọi X, Y, Z, V, W là giao điểm của các đường chéo như hình vẽ Chứng minh rằng nếu ABCDE là ngũ giác đặt biệt thì 5 tam giác AXY, BYZ, CZV, DVW và EWX có diện tích bằng nhau, và ngũ giác XYZVW cũng là ngũ giác đặc biệt ?
HẾT
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay)
Họ và tên thí sinh:………Số báo danh :………