Tuyển tập đề thi có đáp án chi tiết bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 phần 27 | Toán học, Lớp 9 - Ôn Luyện

tam giác OPM cũng vuông cân tại P.. Tâm là trung điểm H của OM.[r]

Bài 6 (3 điểm):

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm A

và B Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến

MN và MP với đường tròn (O), (P, N là hai tiếp điểm)

a) Chứng minh rằng MN2 MP2 MA MB.

b) Dựng vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông

c) Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P luôn chạy trên đường thẳng cố định khi M di động trên đường thẳng d

DAPAN

Bài 6

(3 đ)

d

d '

D

B

I E N

P

H O

M

0,25 đ

a (0,75 điểm)

Ta có: MN = MP (Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Chứng minh được 2 tam giác MAN và MNB đồng dạng

Suy ra:

0,5 đ 0,25 đ

b (1 điểm)

Để MNOP là hình vuông thì đường chéo OM ON 2 R 2

Dựng điểm M: Ta dựng hình vuông OADC, dựng đường tròn tâm O đi qua

điểm D, cắt (d) tại M

Chứng minh: Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MN và MP Ta có

2 2

MN  MO  ON R, nên Tam giác ONM vuông cân tại N Tương tự,

0,25 đ

0,25 đ 0,25 đ

tam giác OPM cũng vuông cân tại P Do đó MNOP là hình vuông.

Bài toán luôn có 2 nghiệm hình vì OM R 2R 0,25 đ

c (1 điểm)

+ Ta có: MN và MP là 2 tiếp tuyến của (O), nên M, N, O, P cùng nằm trên

đường tròn đường kính OM Tâm là trung điểm H của OM Suy ra tam giác

ba điểm M, N, P thuộc đường tròn đường kính OM, tâm là H

+ Kẻ OEAB, thì E là trung điểm của AB (cố định) Kẻ HL( )d thì

HL // OE, nên HL là đường trung bình của tam giác OEM, suy ra:

1

2

(không đổi)

+ Do đó, khi M đi động trên (d) thì H luôn cách dều (d) một đoạn không đổi,

nên H chạy trên đường thẳng (d') // (d) và (d') đi qua trung điểm của đoạn OE

cố định

0,5 đ

0,25 đ

0.25 đ