Xác định điều kiện của m để khoảng cách từ O đến d là lớn nhất.. Kẻ tiếp tuyến MA, MB với O.[r]
Trang 1ĐỀ HSG TOÁN 9 HUYỆN THANH HÀ
NĂM HOẠC 2015 – 2016 Câu 1 (2.5đ)
1) Cho biểu thức A 4 x 8x : x 1 2
4 x
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = - 1
2) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = a b c= 2
1 a 1 b 1 c (1 a)(1 b)(1 c) Câu 2 (1.5đ)
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình:
(m – 4)x + (m – 3)y = 1 (với m là tham số)
Xác định điều kiện của m để khoảng cách từ O đến (d) là lớn nhất
Câu 3 (2.0đ)
1) Giải phương trình 7 x x 1 x 18x 85 4 2
2) Tìm x, y biết rằng: 1x2 1y 2,52 2x 3y
Câu 4 (3 đ)
1) Cho điểm M nằm ngoài (O; R) Kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm với (O) MO cắt AB tại H Qua H kẻ dây CD bất kì của (O) (Dây CD không trùng với dây AB, không đi qua O)
a) Chứng minh rằng AB < CD
b) Kẻ tiếp tuyến tại C, D với (O) cắt nhau tại N Chứng minh rằng MN // AB
2) Không sử dụng máy tính bỏ túi Hãy tính chính xác cos360
Câu 5 (1đ)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1
Chứng minh rằng: 2a 2 b 2 c 2 9
4
1 a 1 b 1 c
Trang 2SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI:
Câu 1 (2.5đ)
1) Cho biểu thức A 4 x 8x : x 1 2
4 x
HD:
a) Rút gọn A: ĐK: x > 0; x 4
4 x
4 x 2 x 8x x 1 2( x 2)
(2 x)(2 x) x( x 2)
8 x 4x x( x 2)
(2 x)(2 x) 3 x
(2 x)(2 x) 3 x
4x
A
3 x
b) Tìm x để A = - 1
Ta có A = - 1 4x 1
3 x
4x x 3 0
x 1 3 x 4
x = 9/16 (thỏa mãn) 2) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = a b c= 2
1 a 1 b 1 c (1 a)(1 b)(1 c) HD:
Từ a b c= 2 a + b + c + 2( ab ac bc) 4 2+ 2( ab ac bc) = 4
ab ac bc= 1
1 + a = ab ac bc+ a = ( a b)( a c)
Tương tự, 1 + b = ( b c)( b a); 1 + c = ( c b)( c a)
(1 + a)(1 + b)(1 + c) = ( b c)( b a)( c a)2
(1 a)(1 b)(1 c) =
2 ( b c)( b a)( c a) (1)
1 a 1 b 1 c = a( b( a c) b)( bb( a c)( cc) c( aa) b)
Trang 3= ab ac bc ab ac bc
( a b)( b c)( c a)
2 ( a b)( b c)( c a) (2)
Từ (1) và (2) điều phải chứng minh
Câu 2 (1.5đ)
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình:
(m – 4)x + (m – 3)y = 1 (với m là tham số)
Xác định điều kiện của m để khoảng cách từ O đến (d) là lớn nhất
HD:
+ m = 4 thì (d) có phương trình y = 1 khoảng cách từ O tới (d) bằng 1 đơn vị độ dài (1) + m = 3 thì (d) có phương trình – x = 1 khoảng cách từ O tới (d) bằng 1 đơn vị độ dài (2) + m 4 và m 3
(d) cắt Ox tại A 1 ;0
m 4
và cắt Oy tại A 0; 1
m 3
tạo thành OAB vuông tại O
Kẻ OH AB tại H thì OH1 2 OA12 OB12
2
1 (m 4) (m 3)
OH = 2m2 – 14m + 25
2
2
OH 4m2 – 28m + 50 = (2m – 7)2 + 1 1
OH2 2 OH 2 Dấu “=” xảy ra m = 7/2 (3)
Từ (1), (2), (3) OHmax = 2 m = 7/2
Câu 3 (2.0đ)
1) Giải phương trình 7 x x 1 x 18x 85 4 2
HD:
(1 1 ).(7 x x 1) 7 x x 1
7 x x 1 7 x x 1 4 Dấu “= “ xảy ra x = 3 (1)
Lại có: x4 – 18x2 + 85 = (x2 – 9)2 + 4 4 Dấu “= “ xảy ra x = 3 hoặc x = - 3 (2)
Từ (1) và (2) phương trình có nghiệm x = 3
2) Tìm x, y biết rằng: 1x2 1y 2,52 2x 3y
HD:
2 2
1x 1y 2,5 2x 3y
2 2 x y 5 2 2x 2 3y 02 2
x 2 y 3 0 x 2
y 3
Trang 4N
D
H
M
O A
B C
D H
K
C B
A
Câu 4 (3 đ)
1) Cho điểm M nằm ngoài (O; R) Kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm với (O) MO cắt AB tại H Qua H kẻ dây CD bất kì của (O) (Dây CD không trùng với dây AB, không đi qua O)
a) Chứng minh rằng AB < CD
b) Kẻ tiếp tuyến tại C, D với (O) cắt nhau tại N Chứng minh rằng MN // AB
2) Không sử dụng máy tính bỏ túi Hãy tính chính xác cos360
HD:
1a)
Kẻ OK CD tại K thì H và K không trùng nhau
OK < OH AB < CD
1b)
CO2 = OK.ON; OB2 = OH.OM mà OB = OC
OK.ON = OH.OM
từ đó chứng minh được OKH ~ OMN
OMN OKH 90 0
NM OM mà AB OM MN // AB
2)
Giả sử ABC cân tại A có A= 360, B C = 720
Kẻ CH AB, lấy D trên AB sao cho HB = HD
CBD cân tại C có BCD= 360
Chứng minh được ADC cân tại D Kẻ DKAC
Đặt BC = a thì AD = DC = a
Đặt AK = KC = x thì ta có AB = AC = 2x, BD = 2x – a
ABC có CD là phân giác DA/DB = CA/CB
a/(2x – a) = 2x/a a2 = 4x2 – 2ax 4x2 – 2ax – a2 = 0
(2x – a/2)2 = 5a2/4 x = (1 + căn 5)/4 (nghiệm dương)
cos360 = x = (1 + căn 5)/4
Câu 5 (1đ)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1
Chứng minh rằng: 2a 2 b 2 c 2 9
4
1 a 1 b 1 c HD:
1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = (a + b)(a + c)
Tương tự, 1 + b2 = (b + c)(b + a); 1 + c2 = (c + a)(c + b)
Trang 5 2a 2 b 2 c 2
1 a 1 b 1 c =
(a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b)
= 2a 2a 2b b 2c c
a b a c a b 2(b c) a c 2(b c)
Ta có:
2a 2a. 1. 2a 2a
a b a c 2 a b a c ;
a b 2(b c) 2 a b 2(b c)
a c 2(b c) 2 a c 2(b c)
a b a c a b 2(b c) a c 2(b c)
2 a b a c a b 2(b c) a c 2(b c)
1 a 1 b 1 c
1 2 2 1
2 2 = 94 Dấu “ = ” xảy ra a = 7b = 7c = 7
15