Đường phân giác của góc cắt đường.. tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C[r]
Trang 1Kì thi HSG lớp 9
Câu 1 a) Giải hệ phương trình:
2
2
b) Giải phương trình:
2
x x
Câu 2
a) Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên thỏa mãn đẳng thức:
x4 y4 7 z4 5
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn đẳng thức:
x 1 4 x 1 4 y3
Câu 3
Cho hình bình hành ABCD với Đường phân giác của góc cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C Kẻ đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với CO Đường thẳng (d) lần lượt cắt các đường thẳng CB, CD tại E, F.
b) Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.
Câu 4 Với x, y là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3
4 8
P
Câu 5
a) Chứng minh rằng n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 với mọi n N
b) Cho phương trình mx2 -2(m-2) x + m – 3 = 0 Tìm các giá trị của m để các nghiệm x1, x2
của phương trình thỏa mãn điều kiện x2
1 + x2
2 = 1
Trang 2
-HÕt -Câu 1 a) Đặt x – 1 = a, y – 2 = b ta có
2
2
a b
2
a
=> b = 0 => x = 1; y = 2
x
x5 – 4x4 +6x3 – 16x2
+ 25x – 12= 0 ( x- 1)2(x-3)( x2 + x+ 4) = 0 ==> x = 1 hoặc x = 4
Câu 2a) x4 + y4 + z4 = 8z4 + 5 => x, y, z cùng lẻ hoặc chỉ có 1 số lẻ
Với x, y, z cùng lẻ => x4 + y4 + z4 chia 8 dư 3 mà 8z4 + 5 chia 8 dư 5 ( vô lí)
Với x, y, z chỉ có 1 số lẻ => x4 + y4 + z4 chia 8 dư 1 mà 8z4 + 5 chia 8 dư 5 ( vô lí) Vậy không tồn tại bộ ba số x, y, z thoả mãn đẳng thức
b) ( x + 1) 4 – ( x – 1)4 = y3
y3 = 8x(x2 +1) Nếu x > 0 => 8x(x2 +1) > (2x)3 và 8x(x2 +1) < ( 2x + 1)3 => (2x)3 < y3 < (2x+1)3
=> không có giá trị nào của y nguyên thoả mãn
Tương tự với x < 0 ta cũng có kết quả như trên Với x = 0 => y = 0 ( thoả mãn)
Câu 3
K
F
E
I O
D
C B
A
a)Tam giác CEF cân tại C nên CO là trung trực của EF và CEF CFE BAE , OE = OF
=> Tam giác BAE cân tại B => BE = BA = DC
=> Tam giác DAF cân tại D => DA = DF = BC
Tứ giác BCDO nội tiếp =>OBE ODC
=> O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF
c) CI cắt AD tại K KD // BC =>
IB.BE.EI ID.DF.FI
=> Đpcm
Câu IV Ta có
a b
2
8
P
Trang 32 2 2 2
P
P
P P khi y