ON TAP TOAN 9 HK 2

Chú ý: Học sinh chỉ chứng minh một trường hợp: một trong hai dây, có một dây đi qua tâm cuả đường tròn Câu 4: Áp dụng các định lí về mối quan hệ giữa cung nhỏ và dây căng cung đó trong m[r]

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP HỌC KÌ II

A ĐẠI SỐ

I LÝ THUYẾT

Câu 1: Nêu dạng tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn Phương trình bậc nhất hai ẩn

có thể có bao nhiêu nghiệm?

Câu 2: Nêu dạng tổng quát của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số.

Câu 3: Mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có bao nhiêu nghiệm?

Câu 4: Nêu định nghĩa hai hệ phương trình tương đương.

Trong các câu sau, câu nào đúng câu nào sai:

a/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì luôn tương đương với nhau

b/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau

Câu 5: Viết dạng tổng quát của phương trình bậc hai

Áp dung : Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:2 2 và 2  2

Câu 10: Nêu tính chất của hàm số y ax a  2(  0)

1 5

62

Tìm giá trị của m để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất.

Câu 2: Tìm giá trị của a để hệ phương trình

Câu 2: Xác định đường thẳng y ax b  biết rằng đồ thị của nĩ đi qua điểm

A(2 ; 1) và đi qua giao điểm B của hai đường thẳng yx và y2x1

Bài 5: Cho hàm số y = -x2 cĩ đồ thị (P) và y = -2x +m cĩ đồ thị là (d)

a/ Xác định m biết rằng (d) đi qua điểm A trên (P) cĩ hồnh độ bằng 1

b/ Trong trường hợp m = -3 Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ và xác định tọa độcác giao điểm của chúng

c/ Với giá nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ; (d) tiếp xúc với (P) ,(d) khơng cắt (P)

Bài 6: Giải phương trình :

2/ 3 75 0 / 384 0

3/ ( 15) 3(27 5 ) / (2 7) 12 4(3 ) / (3 2) 2( 1) 2

b/ 2x mx m 0 co ù 2 nghiệm phân biệt

c/ 25x +mx + 2 = 0 có nghiệm kép

Bài 9:Cho phương trình :x2 + (m+1)x + m = 0 (1)

1/ Chứng tỏ rằng phương trình cĩ nghiệm với mọi m

2/ Tìm m sao cho phương trình nhận x = -2 làm nghiệm Tính nghiệm cịn lại?

3/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau

4/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo nhau

5/ Tìm m sao cho x1 - x2 = 2

6/ Tìm m để x12 x22 đạt gía trị nhỏ nhất

7/ Tìm m để cả hai nghiệm đều dương

8/ Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m

Câu 1 : Chứng minh định lí: “Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai

đường tròn bằng nhau: Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau”

Câu 2: Nêu cách tính số đo của cung nhỏ trong một đường tròn Áp dụng:Cho đường

tròn (O), đường kính AB Vẽ dây AM sao cho·AMO=400 Tính số đo cung BM ?

Câu 3: Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song

song thì bằng nhau (Chú ý: Học sinh chỉ chứng minh một trường hợp: một trong hai dây, cómột dây đi qua tâm cuả đường tròn)

Câu 4: Áp dụng các định lí về mối quan hệ giữa cung nhỏ và dây căng cung đó trong

một đường tròn để giải bài toán sau: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB.Vẽ các bán kính

OM, ON sao cho:·AOM =40 ,0 BON· =800 So sánh: AM, MN và NB ?

Câu 5: Chứng minh định lí: “ Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện

bằng 1800 ”

Câu 6: Chứng minh định lí: “ Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa

số đo của cung bị chắn”.( Chỉ chứng minh một trường hợp: có một cạnh của góc đi qua tâm )

Câu 7: Chứng minh định lí: “Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng

nửa số đo của cung bị chắn”.( Chỉ chứng minh một trường hợp: Tâm O của đường tròn nằm ởngoài của góc)

Câu 8: Chứng minh định lí: “ Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa

tổng số đo hai cung bị chắn”

Câu 9: Nêu cách tính độ dài cung n0của hình quạt tròn bán kính R Áp dụng: Cho đường tròn ( O; R = 3 cm) Tính độ dài cung AB có số đo bằng 600?

Câu 10: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn (O)

Chứng minh: AB + CD = AD + BC

II BÀI TẬP

Bài 1: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Trên đoạn

AB lấy điểm M ( khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N Đường thẳng d vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N ở điểm P Chứng minh :

a/ Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn

b/ Tứ giác CMPO là hình bình hành.

c/ Tích CM.CN không đổi

Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC = 2R, một điểm A trên nửa đường tròn ấy

sao cho BA = R Lấy M là một điểm trên cung nhỏ AC, BM cắt AC tại I Tia BA cắt tia CM tại D

a/ Chứng minh: DI  BC

b/ Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn

c/ Giả sử ·AMB=450.Tính độ dài đoạn thẳng AD theo R và diện tích hình quạt AOM

Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C là một điểm trên đường tròn sao cho

CA > CB Vẽ hình vuông ACDE có đỉnh D trên tia đối của tia BC Đường chéo CE cắt đường tròn tại điểm F ( khác điểm C)

a/ Chứng minh : OF  AB

b/ Chứng minh : Tam giác BDF cân tại F

c/ CF cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại điểm M Chứng minh ba điểm D, E,

M thẳng hàng

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tạiA, AH là đường cao và AM là trung tuyến ( H, M 

cạnh BC ) Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt AB tại P và AC tại Q

a/ Chứng minh rằng 3 điểm P, H, Q thẳng hàng

b/ Chứng minh: MA  PQ

c/ Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp được một đường tròn

Bài 5: Cho đường tròn tâm O có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau, dây AE đi

qua trung điểm P của OC, ED cắt CB tại Q

a/ Chứng minh tứ giác CPQE nôi tiếp được một đường tròn

Câu 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng ax by c 

Trong đó a,b và c là các số đã biết ( a 0 hoặc b 0 )

Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm

Câu 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ' ' '

Câu 3: Mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có thể vô nghiệm, có 1 nghiệm duy

nhất hoặc vô số nghiệm

Câu 4: Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập

x y

1 5

62

a b

11

a b

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng:

ê = ë Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là B(-1 ;-1) ; C(3 ;-9)

c/ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)

- x2=- 2x m+ Û x2- 2m m+ =0

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Û D = -' 1 m> Û0 m<1

Với m<1 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Û 2 = Û ê =- ë 1

2

9 81

9

x x

x

4/

Û - = Û

ê = ê

2 2

1 2

(2 7) 12 4(3 )

2 7 12 12 4

2 11 0

0 (2 11) 0 11

Û - = Û

ê = ê

2

1 2

(3 2) 2( 1) 2

9 12 4 2 4 2 2

7 8 0

0 (7 8) 0 8

m 

Với

13

é =ê

Û - = Û ê

ê

x x (m 1)(1)

x x m(2)

x x 2

(x x ) 4 (x x ) 4x x 4

Phương trình có hai nghiệm đều dương Û

ê = ë (Thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là x1 =-3 và x2 = 5

t t

x x

KL Tính ·BOM ?

Ta có:OA = OB ( bán kính)  AOM cân tại O

 ·BOM = 2·AMO=2.400=800 ( định lí góc ngoài của tam giác AOM)

KL

» »

Ta có: ·AOC=OCD· ( So le trong); BOD· =ODC· ( So le trong)

Mà OCD· =ODC· ( VOCD cân tại O)

 ¼AM<MN¼ <»NB ( góc ở tâm nhỏ hơn thì chắn cung nhỏ hơn)

 AM < MN < NB ( cung nhỏ hơn thì căng dây nhỏ hơn)

180180

A C

B D

+ =+ =

Ta có: µA =12sđ¼BCD ( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn)

µC =12sđ¼BAD ( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn)

Tương tự: B Dµ + =µ 1800 ( hoặc B Dµ + =µ 3600- 1800=1800: tính chất tổng 4 góc của tứ giác)

Câu 6: Học sinh xem SGK trang 74

Câu 7: Học sinh xem SGK trang 78

Câu 8:

n

E O D

C A

B

m

GT

Cho đường tròn (O)

·BEC: góc có đỉnh bên trong (O)

KL ·BEC=12sđ(BnC¼ +¼AmD)

Xét tam giác BDE, ta có:

·BEC= B Dµ +µ ( định lí góc ngoài của tam giác BDE)

Mà

µ 12

sđ¼AmD ( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn)

µ 12

sđ¼BnC ( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn)

Nên: ·BEC= 12sđ(¼AmD+BnC¼ )

Câu 9:

O A

Cho đường tròn(O;R)

AB, CD: đường kính, AB  CD tại O

MAB, CM cắt (O) tại NĐường thẳng d AB tại MTiếp tuyến của (O) tại N cắt d tại P

KL a/ OMNP nội tiếp được 1 đường tròn

b/ CMPO là hình bình hànhc/ CM.CN không đổi

Nên: Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn (Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp

nhìn môt cạnh dưới 1 góc không đổi) b/ Chứng minh tứ giác CMPO là hình bình hành:

Mặt khác: PM // CO ( Cùng vuông góc với AB) (4)

Từ (3), (4)  CMPO là hình bình hành ( Tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song) c/ Chứng minh tích CM.CN không đổi:

Ta có: CND· =900 ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn)

Nên ta chứng minh được: VOMCഗVNDC (g.g)



Hay CM.CN = CO CD = R.2R= 2R2

Mà R không đổi  2R2 không đổi

Nên: CM.CN không đổi (đpcm)

 ?

a/ Chứng minh : DI BC:

Ta có: BAC· =900 ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn)

 CA  BD hay CA là đường cao cuả tam giác BDC (1)

Và ·BMC=900( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn)

 BM  CD hay CA là đường cao cuả tam giác BDC (2)

Từ (1), (2)  I là trực tâm của tam giác BDC

 DI là đường cao thứ ba của tam giác BDC

Nên: Tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn

( Tứ giác có tổng 2 góc đối diện bằng 1800)

c/ Tính độ dài AD Diện tích hình quạt AOM:

2  ( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn và

AOB

V đều) Nên: ·ADI=300

Vậy : Tam giác ADI là nửa tam giác đều

, với n = ·AOM =2.·ABM =900

Nên: Squat AOM

c/ D, E, M thẳng hàng

a/ Chứng minh: OF  AB

Ta có: ·ACF=BCF· =450( Tính chất của đường chéo hình vuông)

»AF=BF» ( Hai góc nội tiếp bằng nhau chắn 2 cung bằng nhau)

 AF = BF

 VAFB cân tại F

Mà O là trung điểm của AB

 FO là trung tuyến cũng là đường cao ( Tính chất tam giác cân) Hay : FO  AB

b/ Chứng minh tam giác BDF cân tại F:

F  đường chéo CE của hình vuông ACDE

 FA = FD ( Tính chất 2 đường chéo của hình vuông) (1)

Mà: FA = BF ( cmt)

 FD = FB (2) Hay: Tam giác BDF cân tại F

c/ Chứng minh: D, E, M thẳng hàng:

Xét tam giác ABM, ta có:

O là trung điểm của AB

Mà OF // AM ( cùng vuông góc với AB)

 F là trung điểm của BM

 FM = FB (3)

Từ (1),(2),(3)  FA = FB = FD = FM

 ABDM là tứ giác nội tiếp được một đường tròn ( Tứ giác có 4 đỉnh

cách đều F)  ·BAM+BDM· =1800

Mà BAM· =900 ( Tiếp tuyến vuông góc với bán kính)

P

B

M I

GT

Cho VABCvuông tại A AM: trung tuyến, AH: đường cao Đường tròn (H; HA) cắt AB tại P

và AC tại Q

KL a/ Chứng minh : P, H, Q thẳng hàng

b/ MA  PQc/ BPCQ nội tiếp được đường tròn

a/ Chứng minh 3 điểm P, H, Q thẳng hàng:

Ta có: PAQ· =900(GT)

Mà ·PAQ là góc nội tiếp

 ·PAQ chắn cung nửa đường tròn

 PQ là đường kính của đường tròn tâm H

 P, H, Q thẳng hàng ( đường kính đi qua tâm)

b/ Chứng minh: MA  PQ:

Gọi I là giao điểm của AM và PQ

Ta có: Cµ =MAC· ( Tam giác MAC cân tại M)

Mà µ · 0

90

C+HAC= ( Tam giác AHC vuông tại H)

Và ·HAC=·AQH ( Tam giác AHQ cân tại H)

 MAC· + ·AQH = 90 0

Nên: Tam giác AIQ vuông tại I

Hay PQ vuông góc với AM tại I

c/ Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp được 1 đường tròn:

Ta có: Cµ =·BAH( cùng phụ với ·CAH )

mà µP=BAH· ( Tam giác AHP cân tại H)

 Cµ =µP

 Tứ giác BPCQ nội tiếp được 1 đường tròn

( Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn 1 cạnh dưới 1 góc không đổi)

Cho đường tròn (O)

AB, CD là 2 đường kính:ABCDtại O

AE cắt OC tại P ( P: trung điểm OC)

ED cắt BC tại Q

KL a/ CPQE nội tiếp được 1 đường tròn

b/ PQ // AB c/ So sánh S CPQ

Vậy: Tứ giác CPQE nội tiếp được 1 đường tròn

( Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn 1 cạnh dưới 1 góc không đổi)

b/ Chứng minh: PQ // AB:

Ta có: Tứ giác CPQE nội tiếp được 1 đường tròn (cmt)

 CEP· =CQP·

( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CP)

Ta lại có: CEP· =Bµ ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của đường

tròn(O))  CQP· =Bµ

 Q là trung điểm của BC

Nên: PQ là đường trung bình của tam giác BOC