On tap Toan 9

+ Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung + Khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn + Định lý: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của [r]

II NỘI DUNG CÁC CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN ĐỀ I: BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ (12 TIẾT)

Tiết 1: TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC

3 Nhân đa thức với đa thức:

a) Quy tắc: Nhân một đa thức với một đa thức ta nhân lần lượt từng số hạng của đa thức này với đa thức kia rồi cộng tổng các tích vừa tìm được

= - 25x4 + 10x3- x2 Bài 2 Tìm x biết: 3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) = 30

2

1y) Bài 2 Rút gọn các biểu thức sau (với a≥ 0):

1 Chia đa thức cho đơn thức:

* Quy tắc: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức

A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau

Ví dụ:

(15x2y3 + 12x3y2 - 10 xy3) : 3xy2

= (15x2y3 : 3xy2) + (12x3y2 : 3xy2) + (-10xy3 : 3xy2)

- ( 3 2

2x + 8x − 2x) 2

3x − 12x+ 3 2

3 Tính chất cơ bản của phân thức:

a) Định nghĩa phân thức đại số:

Phân thức đại số (hay phân thức) có dạng A

B, trong đó A, B là các đa thức và B khác đa thức 0

−

−

−

x x

x x

= – 3 Bài 3 Tính:

=23

100 23

7

7

9 2

=

x

x x

7

7 3

) ( 10

y x xy

y x xy

+ +

Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:

xy

y x x y

2 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

a) Phương pháp đặt nhân tử chung :

Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được biểu diễn thành một tích của nhân tử chung với một đa thức khác

2 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

d Phương pháp tách một hạng tử :(trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm)

Tam thức bậc hai có dạng: ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c (a≠ 0) nếu

1 Quy tắc quy đồng mẫu nhiều phân số:

Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu chung

Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu) Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng

Ví dụ: Quy đồng mẫu các phân số sau: 5 à 7

2 Quy đồng mẫu nhiều phân thức:

Muốn quy đồng mẫu nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung

- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức

- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng

Ví dụ: Quy đồng mẫu thức của 3

2 4

x

x+ và 2

3 4

x x

3x(2

)3x(5)

3x

−

=+

=

+

)3x)(

3x(2

6)

3x)(

3x(2

2.3)

3x)(

3x

(

39

x2

2 2

)4x(x3

x6)

4x(x3

x.x2)

4x(

x216

−

2 2

)4x(x3

)4x(x)4x(x3

xx

Bài 2: Chứng minh đẳng thức : 3 6 2 2 4 3 6

TIẾT 7: PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Cộng hai phân thức cùng mẫu:

* Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau

và giữ nguyên mẫu thức

3

4 4 6

3

4 4

= +

+ +

+

x x

x x x

= +

+ +

2 2 2 2

2

2 2 2 2

.

2

2 2

x

x x

x

x x

2 2

2

2 2 = + +

x x

2 Cộng hai phân thức không cùng mẫu:

* Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức

rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được

36 12 2

−

+

−

y y

y y

=

) 6 ( 6

) 6 ( 2

−

−

y y

B

C A B

C B

A+ = +

x x

−

−

x x

Bài 2: Cho biểu thức: P 1 2 2 5

b) Tính giá trị của P khi x = 1

TIẾT 8: PHÉP NHÂN, CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Phép nhân các phân thức đại số:

Ví dụ:

a)

4

1 )

2 )(

2 (

) 1 )(

1 ( 2

− +

x

x x x

1 )(

1 (

) 3 )(

3 ( 1

3

− +

x x x

2 2

7 2

+ +

−

= +

x x

x x

2

2

) 2 ( ) 2 (

) 1 ( ) 1 (

2 1

2 :

2

x

x x

x

x x

x

x x

x x

3 Biến đổi biểu thức hữu tỉ:

- Biểu thức hữu tỉ là biểu thức có chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số

- Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức là sử dụng các quy tắc cộng, trừ nhân, chia các phân thức đại số để biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức

II BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Thực hiện phép tính:

2 3

2 2

3 2

) 2 7 ( 4 14

3

2 7 4

xy

y x x x

y x xy

x y

+

= +

+

= +

+

Bài 2: Rút gọn biểu thức: Q =

x

x x

x x

=

x

x x

x x x

+

1

3 1

) 1 ( )

1

(

=

x x

x x

) 1 ( 3 1

x x

x

4

2 2 2

2:2

1

+

++

++

+

x

x x

x x

x

D B

C A D

C B

A

.

= (B; D ≠ 0)

: = ( , , ≠0)

B C D

Bài 2: Cho biểu thức:

b) Tìm giá trị của Q khi a = 3b

Bài 3: Cho biểu thức P 2 x 2 x 4x : x 3

c) Tìm giá trị của x sao cho P = 1

TIẾT 10: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI (Tiếp )

1a:1a

1a

1

a M

M= − < (Vì a>0,a≠1) Vậy M < 1

a) Tìm điều kiện xác định của A? Rút gọn A

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3

4c) Tìm x để A < 8

2 3 2

2x 2 3y 2x 3y 2

4 2x 3y 2 2x 3y 2 2x 3y

2 2x 3y 2x 3y 2 2 2x 3y

2 1

4 2 3

2 1 2 1 x

x 1 x

=

− 2

1 đ

1 đ

2 đ

1 đ

Bình phương hai vế của (2) ta có:

A a

Phương trình dạng ax+b=0, với a và b là hai số đã cho

và a ≠0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

Trong m ột phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử

t ừ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó

Ví d ụ 1: Cho phương trình: x – 2 = 0, chuyển hạng tử -2

từ vế trái sang vế phải và đổi dấu thành +2 ta được x = 2

22

Ví d ụ 2: Cho phương trình:

3

2 + x = 0, chuyển hạng tử

3 2

từ vế trái sang vế phải và đổi dấu thành -

b) Quy t ắc nhân với một số:

Trong m ột phương trình ta có thể nhân cả hai vế với cùng m ột số khác 0

Ví d ụ 3: Cho phương trình:

2

1

x = 3, nhân hai vế của

phương trình với 2 ta được: x = 6

Trong m ột phương trình ta có thể chia cả hai vế cho cùng m ột số khác 0

Ví d ụ 4: Cho phương trình 3x = -2, chia hai vế của phương

trình cho 3 ta được: x =

3 2

−

c) Cách gi ải phương trình bậc nhất một ẩn

T ừ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy

t ắc nhân, ta luôn nhận được một phương trình mới tương đương phương trình đã cho

Ví d ụ 5: Giải phương trình:

3x – 6 = 0

Gi ải: 3x – 6 = 0 ⇔ 3x = 6 (Chuyển -6 sang vế phải

và đổi dấu)

⇔ x = 2 (Chia hai vế cho 3)

Vậy phương trình có tập nghiệm S={2}

2

1) x = (-2).(-3)

Bài 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là

- Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu (nếu có)

- Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc (nếu có)

- Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia

- Thu gọn và giải phương trình nhận được

- Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế và chuyển các

hạng tử tự do sang vế kia:

3 +

Phương với mọi x ∈ R

Bài 5: Giải phương trình: 2 1

⇔

−

= +

−

⇔

−

= +

3

12 2 4 8

3

12

12 2 12

4 8

3

6 3

x

x x x

x

x x x

x

x x x

x

6

2 2

2 3

2 3

1 3

1 ) 2

⇔x – 2 =

2 9

⇔ x =

2 13

Phương trình có tập nghiệm: S= {

2

13}

3 6

3

=

− +

* Tích hai số: a.b = 0 ⇔ hoặc a = 0 hoặc b = 0

* Phương trình tích có dạng: A(x).B(x) = 0; Trong đó A(x), B(x) là đa thức

- Cách giải: A(x).B(x) = 0 ⇔A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

* x + 3 = 0 ⇔ x = -3

* Các ki ến thức trọng tâm liên quan đến giải phương trình tích

- Nh ững hằng đẳng thức đáng nhớ

- Phân tích đa thức thành nhân tử

- Quy t ắc biến đổi và cách giải phương trình

- Ph ương trình đưa được về dạng ax + b = 0

) 1 2 (

= 0 d) (3x2 - 5x + 1)(x2 - 4) = 0

) 1 2 (

) 1 2 (

2 x+ − x−

= 0

* 3x – 1 = 0 ⇔ 3x = 1 ⇔ x =

3 1

*

4

1 7 7

) 1 2 (

2 x+ − x−

= 0 ⇔

7

) 1 2 (

8 x+

=

28

) 1 7 (

7 x−

⇔ 8 ( 2x+ 1 ) = 7 ( 7x− 1 ) ⇔ 16x+ 8 = 49x− 7 ⇔ 16x− 49x= − 7 − 8

11

5 15

5

; 3 1

Bài 2: Giải phương trình sau:

Tập nghiệm của phương trình là S = {1 ; - 5,5}

Bài 3: Giải phương trình sau bằng cách đưa về dạng phương trình tích:

0) với a,b là các số đã cho

Nghiệm của phương trình là: x

=

-a b

* Ví du: 2x + 5 = 0 <=> 2x = 5 <=> x =

-2 5

ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤0) a≠0

Nghiệm của bất phương trình là: ax + b > 0 <=> ax > -b <=> x > -

a

b

nếu a > 0 hoặc x <

-a b

nếu a < 0

28

* Ví dụ: 2x + 3 > 0 <=> 2x > 3 <=> x >

-2 3

-2x + 3 > 0 <=> -2x > -3 <=> x <

2 3

a = a khi a ≥ 0

a = -a khi a < 0

Ví d ụ: 6 = 6 ; 0 = 0 ; − 3 = 3

ví d ụ : Giải phương trình sau:

Ta giải hai phương trình sau:

1) 4x = 2x + 1 với điều kiện x ≥ 0

Ta có 4x = 2x + 1 <=> 4x - 2x = 1 <=> 2x = 1 <=> x = 0,5

Giá trị x = 0,5 thoả mãn điều kiện x ≥ 0, nên x = 0,5 là nghiệm của phương trình (1)

2) - 4x = 2x + 1 với điều kiện x < 0

6

1

− là nghiệm của phương trình (1)

Tâp nghiệm của phương trình (1) là S =

Ta giải hai phương trình sau:

1) x + 4 = 2x-5 với điều kiện x ≥- 4

3 1

Giá trị x =

3

1 không thỏa mãn điều kiện x < - 4, nên x =

3

1

không là nghiệm của (2)

Vậy tập nghiệm của phương trình (2)là: S = { }9

Bài 2: Giải phương trình − 5x = x + 8 (3)

Gi ải

Ta có − x = -5x khi -5x ≥ 0 <=> x ≤ 0

− x = 5x khi -5x < 0 <=> x > 0

Ta giải hai phương trình sau:

1) -5x = x + 8 với điều kiện x ≤ 0

2) 5x = x +8 với điều kiện x > 0

Gi ải

Ta có: 2x− 3 = 2x - 3 khi 2x - 3 ≥ 0 <=> x ≥ 1,5

2x− 3 = -2x + 3 khi 2x - 3 < 0 <=> x < 1,5

Ta giải hai phương trinh sau:

1) 2x - 3 = 2x - 3 với điều kiện x ≥ 1,5

Ta có 2x - 2x = -3 + 3 <=> 0x = 0 , ta thấy mọi giá tri của x ≥ 1,5 đều thoả mãn điều kiện của ẩn nên x ≥ 1,5

là nghiệm của phương trình (4)

2) -2x + 3 = 2x - 3 với điều kiện x <1,5

Ta có -2x + 3 = 2x - 3 <=> -2x – 2x = -3 – 3 <=> -4x

= -6 <=> x = 1,5

Giá trị x = 1,5 không thỏa mãn điều kiện x < 1,5 nên

x = 1,5 không là nghiệm của phương trình (4)

Vậy tập nghiệm của phương trình (4) là S={x/x≥ 1 , 5}

III Bài t ập đề nghị:

Giải các phương trình sau:

a) 5x- 3x – 2 = 0

b) 3 −x + x2 – (4+x)x = 0

30

PH ẦN II: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Ti ết 17: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN CÁCH GI ẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHUYẾT

• Nếu a.c > 0 thì phương trình vô nghiệm

• Nếu a.c < 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt

áp dụng quy tắc chuyển vế và đưa phương trình về

dạng x2

=a

c

rồi giải

Ví dụ 2: Phương trình x2

+ 2 = 0 vô nghiệm vì a = 1, c = 2; 1.2 = 2 > 0

D ạng 1: Nhận biết phương trình bậc hai và các hệ số a, b,

c

Bài tập 1: Trong các phương trình sau phương trình nào là

phương trình bậc hai ? Xác định các hệ số a, b, c của

3 = 0

⇔2x2 + 2x - 6 = 0

Là phương trình bậc hai có a = 2, b = 2, c = - 6 c) Phương trình 7x2

+ 2x = 3 + 2x ⇔7x2+2x -3 -2x = 0

⇔7x2 – 3 = 0

Là phương trình bậc hai có a = 7, b = 0 , c = -3 d) Phương trình − 2 2x2 + 2x+ 8 = 8

x x

Vậy phương trình có hai nghiệm : x = 0 và x = 5

2

−b) 5x2 - 15 = 0 ⇔ 5x2 = 15 ⇔x2 = 3 ⇔x = ± 3

Vậy phương trình có hai nghiệm : x = 3 và x = - 3c) x2 + 2010 = 0 Có a = 1, c = 2010, a.c = 2010 > 0

Vậy phương trình vô nghiệm

d) 4x + 5 = 0 không phải là phương trình bậc hai

Bài 2: Đưa các phương trình sau về phương trình dạng 2

ax + + =bx c 0 và giải các phương trình đó:

a) 5x2 + 8x = 2 ( 4x+ 2 ), b) 7x2 + 7x− 86 = −(x+ 86)

Gi ải

2 2

x x

Đối với phương trình ax 2 + + =bx c 0, a≠ 0 và biệt thức 2

4

b ac

∆ = −

- Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

- Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

2

b x

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m?

4 4.2.

8 16 8 16

Cho phương trình bậc hai: ax2

∆' < 0 => phương trình (2) vô nghiệm

Ví d ụ 2: Giải phương trình sau:

= +

2 ) 3 (

=

−

; c = -3 c) 5 x2 - 4 ( 3- 1)x - 2 = 0

Ta có: a = 5; b' = 2 ( 3 1 ) 2 ( 1 3 )

2

) 1 3 ( 4

∆' > 0 => phương trình ( 5) có hai nghiệm phân

biệt:

x1 =

2

1 16

8 16

3 ) 5

2 16

3 ) 5

2 = −

−

c) 2 3x2 - 4 ( 3- 1)x + (2 3 + 4) = 0 (7)

Ta có: ∆' = {2(1 - 3)}2 - 2 3 (2 3 + 4) = 4 - 4 3+ 12

- 12 - 8 3 = 4 - 12 3 < 0

∆' < 0 => phương trình (7) vô nghiệm

Chú ý: Giáo viên dạy cần hướng dẫn học sinh biết kiểm tra

k ết quả bằng máy tính cầm tay

Bài 3: Cho phương trình: ( m +1)x2

+ 4mx + 4m - 1 = 0 (8)

a) Giải phương trình với m = 1

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (8) có hai nghiệm phân biệt?

∆ = − = − < ⇒ phương trình (8’) vô nghiệm

b) Phương trình (8) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

∆' > 0 ⇔(2m)2 - (m + 1)(4m - 1) > 0 ⇔4m2 - 4m2 +

36

m - 4m + 1 > 0 ⇔3m < 1 ⇔m <

3

1 Bài 4: Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép?

5x2 + 2mx - 2m + 15 = 0 (9)

Gi ải:

Phương trình (9) có nghiệm kép khi và chỉ khi:

∆' = 0 ⇔m2 - 5 ( 15 - 2m) = 0 ⇔m2 + 10m - 75 = 0

⇔ ∆'m = 52 - 1.(-75) = 100 => ∆ ' = 10

1

10 5

= +

−

1

10 5

Bài 1: Xác định hệ số a, b', c trong mỗi phương trình,

rồi giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn:

a) -x2 - 6( 3 − 2 )x + 2- 3 = 0; b) - 5x2 - (2 3 − 2 )x + 3- 1 = 0;

c) -x2 - 8( 3 − 2 )x + 3- 5 = (2 3 − 4 )x; d) x2 + ( 7 − 4 )x +

7- 1 = (4 − 7 )x

Bài 2: Giải các phương trình sau

a) - x2 - 4x + 5 = 0 (6); b) 25x2 - 16 = 0 (7)

Gi ải:

a) - x2 - 4x + 5 = 0 (6) Ta có: ∆' = (-2)2 - (-1).5 = 4 + 5 = 9; ∆ ' = 9 = 3

∆' > 0 => phương trình (6) có hai nghiệm phân biệt:

1

5 1

3 ) 2 (

3 ) 2 (

20 0

⇔4m2 + 4 = 0 điều này vô lý vì: 4m2

+ 4 >

0

Vậy phương trình (12) không có nghiệm kép với mọi m

cx.x

a

bx

x

2 1

2 1

Ví d ụ1: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích

các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau:

a) 4x2 + 2 x - 5 = 0, b) 9x2 - 12x + 4 = 0

Gi ải:

a) 4x2 + 2 x - 5 = 0 (a = 4; b = 2; c = -5)

Do a, c trái dấu PT chắc chắn có hai nghiệm phân

biệt, gọi x1, x2 là nghiệm của PT đã cho, theo định lý Vi-ét ta có:

x1 + x2 =

2

14

2a

12

=

x1 x2 =

94

Ví d ụ 2: Dùng hệ thức Vi-ét tính nhẩm các nghiệm của

phương trình:

x2 – 7x + 12 = 0 (a = 1; b = -7; c = 12)

Gi ải:

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

38

1 2

1 2

7 7 1 12

Ví d ụ 3: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

23

3223

a) 2x2 – 7x + 2 = 0; b) 5x2 + x + 2 = 0; c) 16x2 - 8x + 1 = 0

Gi ải:

a) 2x2 – 7x + 2 = 0 (a = 2; b = -7; c = 2) ∆= b2 - 4ac = (-7)2 – 4.2.2 = 33 >0

=> x1 + x2 =

2

72

)7(− =

)8(

Bài 3: Biết x1 là nghiệm của phương trình, tìm x2?

Tiết 21: ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT GIẢI BÀI TOÁN

TÌM HAI S Ố KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH

I Tóm t ắt kiến thức cơ bản :

Nếu hai số u và v có tổng là S và có tích là P thì ta tìm u và v theo các bước sau:

Bước 1: Điều kiện để tồn tại hai số u và v là S2

– 4P ≥

0

Bước 2: Giải phương trình x2

- Sx + P= 0 Tính ∆= S2- 4P

=1; x2 =

2

1 ) 3 ( − +

−

= 2

Bước 3 :Vậy hai số cần tìm là 1 và 2

Ví d ụ 2: Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 4 và

Vậy hai số cần tìm là………

b) Tìm điêu kiện để hai số tồn tại S2

- 4P = (-8)2 –

Vậy có tồn tại hai số không ?………

Ti ết 22: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH

14; 8 là các phân số

- Phân thức đại số là biểu thức dạng

) (

) (

x B

x A

xy x

−

− 2 2

;

xyz

b a

7

5 2 là các phân thức

- Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của một phân thức là tập các giá trị của biến làm cho mẫu thức khác 0

- Phân thức

) (

) (

x B

x A

có ĐKXĐ là tập các giá trị của x sao cho B(x) ≠0

- ĐKXĐ của một phương trình là tập các giá trị của biến làm cho tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức:

2 3 2

2 3 2

x

là x ≠ ± 1 b) Vì x- 2 ≠ 0 ⇔ x≠2 nên ĐKXĐ của phương trình

x x