Phương pháp này được sử dụng rất tiện lợi khi giải toán về chia hết , phân tích thành nhân tử và rút gọn biểu thức .Nhưng do t rnh độ có hạn nên tôi xin t rnh bày một số hiểu biết của mn[r]
Trang 1C huyên đề bồi dương giáo viên
Phương pháp giải toán dựa trên cơ sở tính toán và biến đổi hệ số của đa thức người ta gọi là phương pháp hệ số bất nh Phương pháp này được sử dụng rất tiện lợi khi giải toán về chia hết , đđ phân tích thành nhân tử và rút gọn biểu thức Nhưng do t nh độ có hạn nên tôi xin t nh bày một số r r hiểu biết của nh về việc vận dụng phương pháp hệ số bất nh để giải một số dạng toán thông m đđ thường Vậy tôi rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để chuyên đề này phát huy tác dụng trong việc dạy cho học sinh và bồi dươ ng học sinh giỏi Sau đây là một số nội dung chủ ơ yếu
I ) KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 ) nh lý ĐĐ :
a) Nếu đa thức bằng 0 với mọi giá t của các biến t hệ số của các hạng tử đều bằng 0 r h́
Nếu đa thức f(x) = a n x n +a n-1 x n-1 + + a 1 x + a 0 = 0 với mọi x Q t a h́ i = 0 ( i = 0;1;2;3; n)
b) Nếu hai đa thức cùng bậc mà hằng đẳng với nhau với mọi giá t của các biến t hệ số của r h́ các hạng tử đồng dạng bằng nhau
cho hai đa thức f(x) = an xn+an-1xn-1 + + a1x + a0 và g(x) = bnxn+ bn-1xn-1 + + b1x+ b0
Nếu f(x) = g(x) t ah́ i = bi ( i = 0;1;2;3; n )
2 ) nh lý Bơzu ĐĐ :
a) nh lý : Nếu đa thức f(x) chia cho n thức ( x - a ) có số dư r t r = f(a) ĐĐ h h́
b) Hệ quả : Nếu đa thức f(x) chia hết cho ( x- a) t f(a) = 0 h́
Từ hệ quả ta suy ra nếu đa thức f(x) chia hết cho (x - a) t khi phân tích đa thức f(x) thành h́ nhân tử t có chứa thừa số là x-a Điều này có nghĩa f(x) h́ ( x - a) t f(x) = (x - a ) q(x) h́
II ) LOẠI TOÁN VỀ TÍNH TOÁN HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC
Bài 1 : Không làm phép tính , ha y viết đa thức sau dưới dạng chính tắc ơ
(x - 2)(x + 1)(2x - 3) + 4x - 3
Giải : đa thức trên sau khi biến đổi là đa thức bậc 3 đối với biến x , do vậy sau khi biến đổi có dạng
A x3 + Bx2 +Cx + D Theo bài ra ta có
(x - 2)(x + 1)(2x - 3) + 4x - 3 = A x3 + Bx2 +Cx + D với mọi xQ
cho x = 0 t D = 3 h́
cho x = 1 t A + B + C + D = 3 h́ A + B + C = 0 (1) ;
cho x = - 1 t -A + B - C + D = -7 h́ -A + B - C = - 10 (2)
cho x= 2 t 8A + 4B + 2C + D = 2 h́ 4A + 2B + C = 1 (3)
Lấy (1) + (2) ta được 2B = - 10 B = - 5 A + C = 5
Từ (3) ta có 4A + C = 11 ; cho nên ( 4A + c) - ( A + C ) = 3A = 6 A = 2 và C = 3
Vậy đa thức cần m là 2xt́ 3 - 5x2+ 3x + 3 hay
(x - 2)(x + 1)(2x - 3) + 4x - 3 = 2x3 - 5x2+ 3x + 3
Bài 2 ) Viết đa thức 3x 3 + 4x - 5 dưới dạng lu y thừa giảm dần của x - 1 ơ
Giải
Cách 1: Ta có 3x3 + 4x - 5 = a(x - 1)3 + b(x - 1)2 + c(x - 1) + d
= a x3 + ( b - 3a)x2 + (3a - 2b + c)x -a + b - c + d
cho nên a = 3
b - 3a = 0
3a - 2b + c = 4 a = 3 ; b = 9 ; c = 13 ; d = 6
-a + b - c + d = -1
cách 2 : cho x = 1 t d = 6h́
cho x = 0 t -a + b - c + d = -1 h́ -a + b - c = -7(1)
cho x = -1 t -8a + 4b - 2c + 6 = -8 h́ -8a + 4b - 2c = -14 hay -4a + 2b - c = -7(2)
Trang 2cho x = 2 t a + b + c + d = 31 h́ a+ b + c = 25 (3)
Từ (1) và (3) ta được 2b = 18 b = 9 ; a + c = 16 (4) ; từ (2) và (4) ta có 4a + c = 25
vậy a = 3 ; c = 13
v́
Vậy 3x3 + 4x - 5 = 3(x - 1)3 + 9(x -1)2 + 13(x -1) + 6
Bài 3 : Cho đa thức x 3 + mx + n = (x - 1)(x - 2)(x + a)
Tính a; m;n
Giải : Vế phải = x3 + (a - 3)x2 + (2 - 3a)x + 2a
Cho nên a - 3 = 0 ; 2 - 3a = m ; 2a = n a = 3 ; n = 6 ; m = 4
Bài 4 : m a , b để đa thức xT́ 4 + 4x3 - 8x2 + ax +b bằng nh phương của đa thức xb́ 2 + mx + n
Giải :ta có x4 + 4x3 - 8x2 + ax +b = (x2 + mx + n)2
= x4 + m2x2 + n2 + 2mx3 + 2nx2 + 2mnx
= x4 + 2mx3 + (m2 + 2n)x2 + 2mnx + n2
¿
2 m=4 ⇒m=2
m2+2n=−8 ⇒ n=− 6
2 mn=a ⇒a=−24
n2=b ⇒b=36
¿{ { {
¿
Bài 5 : Với giá t nào của a và b để đa thức x r 4 + 2x 3 - a x 2 + 3x + b chia hết cho đa thức x 2 + 3x - 1
Giải :
Thực hiện phép chia đa thức x4 + 2x3 - a x2 + 3x + b x2 + 3x - 1
x + 3x4 3 - x 2 x2 - x + (4 - a)
- x3 + (1 - a)x2 + 3x + b
- x 3 - 3x2 + x
(4 - a)x2 + 2x + b
( 4 - a)x2 + ( 12 - 3a)x -(4 - a)
(3a - 10)x + (b - a + 4)
Để đa thức x4 + 2x3 - a x2 + 3x + b (x2 + 3x - 1 ) (3a - 10)x + (b - a + 4) = 0 với mọi
cho nên
¿
3 a −10=0
b − a+4=0
¿{
¿
a = 103 ;b=−2
3
Bài 6 : Xác nh a , b để cho đa thức 2x đĐ 4 - 6x 3 + a x 2 - 7x + 3 chia hết cho đa thức x 2 - x + b.
Giải :
Thực hiện phép chia 2x4 - 6x3 + a x2- 7x + 3 x2 - x + b
2x 4 - 2x3 + 2bx2 2x2 - 4x + a - 2b - 4
- 4x3 + (a - 2b)x2 - 7x +3
- 4x 3 + 4x2 - 4bx
(a -2b -4)x2 + (4b-7)x +3
(a -2b - 4)x2 - (a-2b-4)x + b(a-2b-4)
(a+2b-11)x +3-b(a-2b-4)
Để đa thức 2x4 - 6x3 + a x2- 7x + 3 chia hết cho đa thức x2 - x + b
Û(a+2b-11)x +3-b(a-2b-4) = 0 với mọi x
¿
a+2 b −11=0
3 −b (a −2 b − 4)=0
¿{
¿
Từ a+2b - 11 =0 a = 2b + 11(1)
Từ 3 - b(a-2b-4) = 0 3 - ab + 2b2 + 4b = 0 (2) Thay (1) vào (2) ta được
3 - b( -2b + 11) +2b2 +4b = 0
Trang 3do vậy ta có hai cặp số ( a,b) = ( 9 ; 1) ; ( 19/2 ; 3/4)
Bài 7 ) Chứng minh rằng không tồn tại các số a, b,c ,m , n ,p sao cho với mọi x , y , t t h́
(a x + by + ct )(mx + ny + pt ) = x 2 + y 2 + t 2
Giải
Giả sử tồn tại các số a,b,c,m,n,p sao cho
x2 + y2 + t2 = (a x + by + ct )(mx + ny + pt )
= am x2 + bny2 + cpt2 + (an + mb)xy + (ap +mc)xt + (bp + nc)yt
am = bn = cp = 1 (1)
và an + bm = ap + cp = bp + nc = 0 (2)
Từ (1) ta có am = bn a b=n
m (3) Từ (2) ta có an = -mb a b=− m
n (4) , nhân từng vế (3) với (4) ta được a b ⋅ a
b=−
m
n ⋅ n
m=−1 hay(a b)2=−1 điều này vô lí nh phươngv́ b́ của một số là số không âm
Vậy không tồn tại các số a, b,c ,m , n ,p sao cho với mọi x , y , t t h́
(a x + by + ct )(mx + ny + pt ) = x2 + y2 + t2
Bài 8 : Xác nh a , b để đa thức a x đĐ 4 + bx 3 + 1 chia hết cho đa thức (x - 1) 2 .
Giải : Đặt f(x) = a x4 + bx3 + 1
Theo hệ quả nh lý Bơ Zu ta có : f(x) = a xđđ 4 + bx3 + 1 (x - 1)2 , nên f(x) = a x4 + bx3 + 1 (x - 1)
f(1) = a + b + 1 = 0 b = -a -1 thay vào f(x) ta có
f(x) = a x4 + bx3 + 1 = a x4 - a x3 - x3 + 1 = a x3(x - 1) - (x - 1)(x2 + x + 1 ) = (x - 1)(a x3 - x2 - x - 1) Đặt g(x) = a x3 - x2 - x - 1 Mà f(x) (x - 1)2 nên g(x) (x - 1)
Vậy g(1) = a -1 -1 -1 = 0 a = 3 và b = -4
Vậy a = 3 , b = - 4 t đa thức a xh́ 4 + bx3 + 1 chia hết cho đa thức (x - 1)2
Bài 9 : Xác nh a,b,c sao cho đa thức 2x đĐ 4 + a x 2 + bx + c chia hết cho x - 2 , khi chia cho x 2 - 1 th́
dư 2x + 5
Giải
Đặt f(x) = 2x4 + a x2 + bx + c , f(x) v́ (x - 2) nên f(2) = 32 + 4a + 2b +c = 0
hay 4a + 2b + c = -32 (1)
Theo bài ra f(x) chia cho (x2 - 1) dư 2x + 5 nên ta có f(x) = 2x4 + a x2 + bx + c = (x2 - 1).q(x) + 2x +5
theo nh lý Bơ Zu t f(1) = 2 + a + b + c = 7 đđ h́ a + b + c = 5(2)
f(-1) = 2 + a - b +c = 3 a - b + c = 1 (3)
Lấy (2) - (3) ta được 2b = 4 b = 2 , a + c = 3(4)
Lấy (1) - (4) ta được 3a = -39 a = -13 và c = 16
Vậy đa thức cần m là 2xt́ 4 -13 x2 + 2x + 16
Bài 10 ) m số dư của phép chia đa thức x T́ 1998 + x 998 + x 199 + x 19 + x + 3 chia cho đa thức x 2 - 1
Giải
Đặt f(x) = x1998 + x998+ x199 + x19 + x + 3 và ta có x2 - 1 = (x - 1)(x + 1) là đa thức bậc hai nên phép chia f(x) cho đa thức x2 - 1 có dư là đa thức bậc nhất , đa thức dư có dạng mx + n
Vậy f(x) = (x2 - 1).q(x) + mx + n
Áp dụng nh lý Bơ Zu : f(1) = m + n = 8 đđ (1) ; f(-1) = -m +n = 2 (2)
Cộng và trừ từng vế của (1) với (2) ta được m = 3 , n = 5
Vậy đa thức dư của x1998 + x998+ x199 + x19 + x + 3 cho x2 - 1 là 3x + 5
Bài 11 ) Xác nh a,b để đđ
x+1¿2
¿
x2
+5
x3−3 x − 2=
a
x − 2+
b
¿ Giải
Trang 4Vế Phải =
x+1¿2+b (x − 2)
¿
x +1¿2
¿
(x − 2)¿
a¿
¿ Nên a = 1
2a + b = 0 b = -2
a - 2b = 5
x+1¿2
¿
x2+5
x3−3 x − 2=
1
x − 2+
−2
¿
Loại phân tích thành nhân tử
Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : ( a + b + c ) 3 - a 3 - b 3 - c 3
Giải
Đa thức trên sau khi khai triển và thu gọn ta được đa thức bậc 3 đối với tập hợp các biến , các biến a ,b ,c có vai trò như nhau trong đa thức Nếu a = -b hoặc a = -c hoặc b = -c t đa thức có h́ giá t bằng 0 vậy khi phân tích đa thức trên thành nhân tử thí có chứa các thừa số a + b ; b+ c ; cr V́ + a
Vậy ( a + b + c )3 - a3 - b3 - c3 = k(a + b) (a + c)(b + c)
Lấy a = b = c = 1 t 8k = 24 h́ k = 3
Vậy ( a + b + c )3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b) (a + c)(b + c)
Bài 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử : a 2 b 2 (b - a) + b 2 c 2 (c - b) - a 2 c 2 (c - a)
Giải
Đa thức trên sau khi khai triển và thu gọn ta được đa thức bậc 5 đối với tập hợp các biến , các biến a ,b ,c có vai trò như nhau trong đa thức Nếu a = b ; b = c ; a = c t đa thức có giá h́
t bằng 0 r
Nên sau khi phân tích thành nhân tử đa thức có chứa các nhân tử b - a ; c - b , c - a
Vậy đa thức có dạng a2b2(b - a) + b2c2(c - b) - a2c2(c - a) = k(b - a)(c - b)(c - a)(ba + ac + bc) Lấy a =0 , b = 1 , c = -1 t k = 1h́
Vậy a2b2(b - a) + b2c2(c - b) - a2c2(c - a) = (b - a)(c - b)(c - a)(ba + ac + bc)
Bài 3 : Phân tích thành nhân tử x 3 - 3x - 2
Giải
đa thức x3 - 3x - 2 sau khi phân tích thành nhân tử se chứa ít nhất một nhân tử là đa thức bậc nhất , nên Mà với x = 2 t xh́ 3 - 3x - 2 = 8 - 6 - 2 = 0 cho nên theo hệ quả nh lý Bơ Zu sau khi đđ phân tích x3 - 3x - 2 thành nhân tử có chứa nhân tử (x - 2)
Vậy x3 - 3x - 2 = (x -2 )(x2 +mx + n )
Cho x = 1 - (1 + m + n) = -4 hay m + n = 3
Cho x = -1 -3(1 - m + n) = 0 hay - m + n = -1 Từ đó m = 2 , n = 1
Vậy x3 - 3x - 2 = (x -2 )(x2 +2x + 1 ) = (x - 2)(x + 1)2
Bài 4 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử với hệ số nguyên
M = x 2 - 5xy + y 2 + x + 2y - 2
Giải
M là đa thức bậc hai đối với tập hợp các biến x và y nên M chỉ có thể viết dưới dạng V́
M = (x + ay + b)(x + my + n) ( a,b,m,n Z )
= x2 + (m + a)xy + amy2 + (n + b)x + (na + bm)y + bn
Trang 5
¿
am=4
m+a=−5
b+n=1
na +mb=2
bn=−2
¿{ { { {
¿
từ bn = -2 b = -1 và n = 2 hoặc b = 2 và n = -1
Nếu b = -1 , n = 2 a = -1 , m = -4 Nếu b = 2 , n = -1 a = -4 , m = -1
2 bộ số trên chỉ cho ta một kết quả nên M = (x - y - 1)(x - 4y + 2)
V́
Vậy : x2 - 5xy + y2 + x + 2y - 2 = (x - y - 1)(x - 4y + 2)
Bài 5 ) Phân tích thành nhân tử ( x + y) 5 - x 5 - y 5
Giải
Đa thức trên sau khi khai triển và thu gọn ta được đa thức bậc 5 đối với tập hợp các biến , các biến x ,y, có vai trò như nhau trong đa thức Đặt P = ( x + y)5 - x5 - y5
Khi cho x = y = 0 hoặc x = -y t đa thức có giá t bằng 0 vậy khi phân tích P thành nhân tử t h́ r V́ h́
P có chứa các nhân tử là x , y , x + y , mà tích xy(x + y) là đa thức bậc 3 đối với tập hợp các biến x,y cho nên P có dạng là kxy(x + y)(x2 + xy + y2)
cho x = y = 1 t 6k = 30 h́ k = 5
Vậy ( x + y)5 - x5 - y5 = 5xy(x + y)(x2 + xy + y2)
Bài 6 ) Chứng minh rằng : Không thể phân tích đa thức x 3 - x + a thành tích của hai đa thức có bậc nhỏ hơn với hệ số nguyên ( a Z và a không chia hết cho 3 )
Giải
Giả sử đa thức x3 - x + a phân tích được thành tích của hai đa thức có bậc nhỏ hơn với hệ số nguyên , xv́ 3 - x + a là đa thức bậc 3 nên khi phân tích thành nhân tử se có dạng
x3 - x + a = (x + m)(x2 + bx + c ) ( m , b , c Z )
= x3 + ( b + m)x2 + (c + mb)x + mc
¿
b+m=0
c +mb=− 1
mc=a
¿{ {
¿
từ b + m = 0 m = -b và c +mb = -1 nên c = -mb-1 = b2 –1
thay vào mc = a ta được b(b2 - 1) = -a , mà b(b2 - 1) =b(b-1)(b+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp
mà vế trái chia hết cho 3 nên a 3 Điều này là vô lý vi a không chia hết cho 3
Vậy Không thể phân tích đa thức x3 - x + a thành tích của hai đa thức cvó bậc nhỏ hơn với hệ số nguyên ( a Z và a không chia hết cho 3 )
Cách 2 : xV́ 3 - x + a là đa thức bậc 3 có hệ số cao nhất là 1 cho nên khi phân tích thành nhân tử se phải có nhân tử có dạng x + m ( m Z) , theo hệ quả nh lý Bơ Zu khi thay x = - m t đđ h́
m 3 - m + a = 0 a = - m(m - 1)(m + 1) 3 a 3 điều này vô lí vi a không chia hết cho 3 Vậy không thể phân tích x3 - x + a thành tích của hai đa thức có bậc nhỏ hơn với hệ số nguyên trong đó a không chia hết cho 3
Bài 7 ) m số nguyên a sao cho (x - a)(x - 1999 ) + 3 được phân tích thành tích của hai đa thức bậc T́ nhất với hệ số nguyên
Theo bài ra ta có (x - a)(x - 1999 ) + 3 = (x - m)(x - n) , m ,n Z
Thay x = m t (m - a)(m- 1999 ) + 3 = 0 h́ (m - a)(m - 1999 ) = - 3
m - a = 3 và m - 1999 = -1 a = 1995 , cho nên (x - 1995)(x - 1999 ) + 3 = ( x - 1998)(x - 1996)
hoặc m -a = -1 và m - 1999 = 3 a = 2003 , cho nên (x - 2003)(x - 1999 ) + 3 = (x - 2000)(x - 2002)
Vậy a = 1995 ; 2003
Bài 8 ) Phân tích ( x + y + z ) 5 - x 5 - y 5 - z 5 thành nhân tử
Giải
Trang 6Đa thức trên sau khi khai triển và thu gọn ta được đa thức bậc 5 đối với tập hợp các biến , các biến x , y , z có vai trò như nhau trong đa thức Nếu x = - y ; x = - z ; y = - z t đa thức h́ trên có bía t bằng 0 do vậy đa thức chia hết cho tích (x + y)(x + z)(y + z) và thương của phép chia r là đa thức bậc hai đối với tập hợp các biến vậy đa thức trên khi phân tích thành nhân tử có dạngV́ là
( x + y + z )5 - x5 - y5 - z5 = (x + y)(x + z)(y + z)[ M(x2 + y2 + z2) + N(xy + xz + yz)]
cho x = 0 , y = z = 1 thi 2(2M + N ) = 30 2M + N = 15 (1)
x = y = z= 1 thi 8(3M + 3N ) = 240 M + N = 10 (2)
Từ (1) và (2) M = 5 , N = 5
Vậy ( x + y + z )5 - x5 - y5 - z5 = 5(x + y)(x + z)(y + z)[ (x2 + y2 + z2) + (xy + xz + yz)]
Bài 9 ) Phân tich đa thức (b - c)(b + c) 4 + (c - a)(c + a) 4 + (a - b)(a + b) 4 thành nhân tử
Lời giải sơ lược
T nh bày tương tự như trên ta có r
(b - c)(b + c)4 + (c - a)(c + a)4 + (a - b)(a + b)4 = (b - c)(a - b)(c - a)[M(a2 + b2 + c2) + N(ab + bc + ca)]
cho a = 0 , b = 2 , c = 1 5M + 2N = -25
a = -1 , b = 2 , c = 1 6M - N = -13
M = -3 , N = - 5
Vậy (b - c)(b + c) 4 + (c - a)(c + a) 4 + (a - b)(a + b) 4 = - (b - c)(a - b)(c - a)[3 (a 2 + b 2 + c 2 ) + 5(ab + bc + ca)]
Loại rút gọn biểu thức
Bài 1 ) Rút gọn biểu thức sau với a, b,c đôi một khác nhau
(x + b)(x + c)
(a −b)(a− c)+
(x +c )(x+ a)
(b −c )(b − a)+
(x +a)(x +b)
(c −a)(c − b)
Giải
Biểu thức trên sau khi rút gọn là đa thức bậc hai đối với biến x Do vậy sau khi biến đổi có dạng
mx2 + nx + p
cho x = -a ta được ma2 - na + p = 1 (1)
x = -b ta được mb2 - nb + p = 1(2)
x = -c ta được mc2 - nc + p = 1(3)
Lấy (1) - (2) m(a + b) - n = 0(4) va a b
(1) -(3) m(a + c) - n = 0(5) va a c
(4) - (5) m( b - c) = 0 m = 0 va b c
Từ đó n = 0 , p = 1
Vậy (x + b)(x + c)
(a −b)(a− c) +
(x +c )(x+a)
(b −c )(b − a)+
(x +a)(x +b)
(c −a)(c − b) = 1
Bài 2 ) Rút gọn biểu thức sau với a, b,c đôi một khác nhau
a
(x − a)(a − b)(a −c )+
b
(x −b)(b − c)(b −a)+
c
(x − c)(c − a)(c − b)
Biểu thức sau khi biến đổi có dạng
1
(x - a)(x - b)(x - c)(a(x − b)(x − c)(a− b)(a − c) +
b(x − a)(x − c)
(b − a)(b − c) +
c (x − a)(x −b)
(c − a)(c − b) )
Biểu thức trong ngoặc sau khi biến đổi có dạng mx2 + nx + p
cho x = a ma2 + na + p = a (1)
x = b mb2 + nb + p = b(2)
x = c mc2 + nc + p = c(3)
Lấy (1) - (2) (a - b)[(a + b)m + n ] = a - b (a + b).m + n = 1(4)
Trang 7(4) - (5) m(b - c) = 0 m = 0 , n = 1 và p = 0
(x − a)(a − b)(a −c )+
b
(x −b)(b − c)(b −a)+
c
(x − c)(c − a)(c − b) =
x
(x − a)(x − b)(x − c)
Bài 3) Rút gọn biểu thức với a , b , c đôi một khác nhau
a3
(a − b)(a −c )+
b3
(b− a)(b − c)+
c3
(c − b)(c −a)
Giải : Biểu thức sau khi quy đồng có dạng
a3(b − c)+b3(c − a)+c3(a −b)
(a −b)(c − a)(b −c ) Đặt P = a3(b - c) + b3(c - a) + c3(a - b)
Đa thức P trên sau khi khai triển và thu gọn ta được đa thức bậc 4 đối với tập hợp các biến , các biến a ,b ,c có vai trò như nhau trong đa thức Với c = b ; a = c ; a= b t P = 0 , vậy khi phânh́ V́ tích P thành nhân tử t đa thứ P chứa các nhân tử a - b , c - a , b - c , h́
mà tích (a - b)(c - a)(b - c) là đa thức bậc 3 đối với tập hợp các biến a,b,c , nên nhân tử còn lại là
đa thức bậc nhất đối với các biến vậy V́
đa thức P = k(a -b)(c - a)(b - c)(a + b +c )
Cho a = 0 , b = 1 , c = 2 k = 1 ; nên P = (a -b)(c - a)(b - c)(a + b +c )
Vậy a3
(a − b)(a −c )+
b3
(b− a)(b − c)+
c3
(c − b)(c −a) = a + b + c
Bài 5 ) m các chư số x , y ,z để có đẳng thức T́ ơ
xxx xx − yyy y =zzz zz 2 đúng với mọi n N
Giải
Đặt Pn = 111 11 = 10n −1
9
Từ điều kiện của bài ta có x.111 11 - y.1111 11 = z2.111 112
x(Pn.10n + Pn) - y.Pn = z2.Pn2 với mọi Pn mà 10n = 9Pn + 1
x[ Pn.(9Pn + 1) + Pn] - y.Pn = z2 P2
n x.9P2
n + 2x.Pn - y.Pn = z2 P2
n
x.9Pn + 2x - y - z2 Pn = 0 với mọi Pn (9x - z2)Pn + (2x - y) = 0 với mọi Pn
9x - z2 = 0 9x = z2 x là số chính phương
2x - y = 0 y = 2x x < 5
do vậy suy ra x = 1 ; 4
Nếu x = 1 thi y = 2 và z = 3
Nếu x = 4 thi y = 8 và x = 6
Bài 6) Cho đa thức f(x) = x 2 +a x + b thỏa man f(x) 1/2 với mọi x 1
Chứng minh : f(x) = x 2 - 1/2
Giải
Cho x = 0 ; 1 ; -1 , ta có b 1/2 (1)
1 + a + b 1/2 (2)
1-a+b 1/2 (3)
Từ (1) -1/2 b 1/2 1 + b > 1/2 (4)
Thay (4) vào (3) và (2) ta được 1/2 > 1- a + b > 1/2 - a a 0
1/2 > 1 + a + b > 1/2 + a a 0 do đó a = 0
Thay a = 0 vào (2) 1 + b 1/2 1 + b 1/2 (5) vi 1 + b > 0
từ (4) và (5) ta có 1 + b = ½ b = -1/2
Vậy f(x) = x2 - 1/2
Bài 7 ) Xác nh đa thức bậc 3 f(x) = a x đĐ 3 + bx 2 + cx + d thỏa man f(x) - f(x - 1) = x 2
Áp dụng : Tính 1 2 + 2 2 + 3 2 + + 1998 2
Giải
Ta có f(x - 1) = a(x - 1)3 + b(x - 1)2 + c(x - 1) + d
Trang 8 f(x) - f(x - 1) = 3a x2 + (2b - 3a)x + a - b + c mà f(x) - f(x - 1) = x2
Cho nên 3a x2 + (2b - 3a)x + a - b + c = x2 3a = 1 , 2b - 3a = 0 , a + b + c = 0
a = 1/3 ; b = 1/2 ; c = 1/6
Vậy f(x) = 1/3x3 + 1/2x2 + 1/6 x + d ( d R )
Áp dụng : 12 + 22 + 32 + + 19982 = f(1) - f(0) + f(2) - f(1) + f(3) - f(2) + + f(1998) - f(1997) = f(1998) - f(0) = 1/3 19983 + 1/2 19982 + 1/6 1998
= ( 1998 1999 3997)/6
IV ) MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1 ) Xác nh f(x) biết f(x - 1) = xđđ 3 - 5x2 + 7x + 2
Bài 2 ) a - m đa thức bậc 2 f(x) biết f(x) - f(x - 1) = xT́
b - m đa thức bậc 3 f(x) biết f(x) - f(x - 1) = x(x + 1)T́
Áp dụng tính tổng 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 1998 1999
Bài 3 ) m các số thực m , n , p , q sao cho T́
x4 + 1 = (x2 + px + q)(x2 + mx + n )
Bài 4) Xác nh a và b sao cho đđ
a) 6x4 - 7x3 + a x2 + 3x + 2 chia hết cho x2 - x + b
b) a x4 + bx + 1 chia hết cho (x - 1)2
Bài 5) Giả sử n > 3 , xác nh a để cho xđđ n - a xn - 1 + a x - 1 chia hết cho (x - 1 )2
Bài 6) Xác nh a , b , c sao cho f(x) = 2xđđ 4 + a x2 + bx + c chia hết cho ( x - 2) , khi chia cho (x2 - 1)
thi dư 3x + 2
Bài 7) Bằng phương pháp hệ số bất đinh hay phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 3x3 - 5x + 2
b) x3 - 19x - 30
c) 2x2 - 21xy - 11y2 - x + 34y - 3
Bài 8) Không làm tính nhân hay viết đa thức sau dưới dạng chính tắc
(x - 1)(x - 2)(x + 3) + 5x + 4
Bài 9) Xác nh a , b sao cho xđđ 3 + a x2 - 3x + b chia cho x - 2 dư 5 , chia cho x + 1 dư -4
Bài 10) Biết f(x) = 3x3 + 7x2 - 15x + 3 chia cho x - 1 dư 4 , chia cho x + 2 dư 5 Không làm tính chia hay xác nh số dư trong phép chia của f(x) cho tích (x - 1)(x + 2)đđ
Bài 11) Phân tích thành nhân tử
a) a(b2 - c2) + b(c2 - a2) + c(a2 - b2)
b) a3(b2 - c2) + b3(c2 - a2) + c3(a2 - b2)
c) 8x3(y + z) - y3(z + 2x) - z3(2x - y)
d) x3(z - y2) + y3( x - z2) + z3(y - x2) + xyz(xyz - 1)
e) (x + y)7 - x7 - y7
Bài 12)
a) im số nguyên a để có (x - a)(x - 1992 ) + 1 = (x + b)(x + c) với mọi x và b ,c T́ Z
b) im k T́ Z sao cho ( x - k)(x - 10) + 5 có thể phân tích thành tích hai đa thức bậc nhất với hệ số nguyên
Bài 13) Chứng minh rằng không tồn tại đa thức f(x) với hệ số nguyên có thể có đồng thời các giá t r
f(7) = 5 và f(15) = 9
Bài 14) Cho đa thức f(x) = x3 + a x2 + bx + c thỏa man f(x) 1/4 với mọi x 1
Chứng minh f(x) = x3 - 3/4x
Bài 15) Tim số tự nhiên a , b sao cho aaa aabbb b (ccc ccc 1) 2 ( n chu a ; n chu b ; n chu c) vói mọi n là số tự nhiên
Bài 16) Rút gọn các biểu thức sau : với a , b , c đôi một khác nhau
Trang 9a (x+b)(x+c)
(a − b)(a −c )+
b (x+c)(x +a)
(b − c)(b − a)+
c (x +a)(x +b)
(c − a)(c − b)
a2
(x −b)(x −c )
(a − b)(a − c) +
b2
(x −c )(x − a)
(b − a)(b −c ) +
c2
(x − a)( x −b)
(c −a)(c −b)
a2
(x+a)(a −b)(a− c)+
b2
(x +b)(b − a)(b −c )+
c2
(x +c )(c − a)(c −b)
(b+c)(x − b)(x − c)
(a− b)(a − c) +
(c +a)(x −c )(x − a)
(b −a)(b − c) +
(a+b)(x − a)(x − b)
(c − a)(c − b)
Bài 17) Xác nh a , b để đđ
x2+5
x3−3 x − 2=
a
(x − 2)+
b
(x+1)2
2 x2− 7 x+7
x3−5 x2+8 x − 4=
a
x −1+
b
(x +1)2