- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic.. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tươn[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN
TP THANH HÓA - TRIỆU SƠN
ĐỀ GIAO LƯU
Ngày 12/01/2020
KỲ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2019- 2020 Môn: TOÁN – LỚP 9 THCS
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề có 05 câu, gồm 01 trang
Họ và tên học sinh: SBD:
Bài 1: (4,0 điểm): Cho biểu thức A=
2
x y
a Rút gọn biểu thức A b So sánh A và A
Bài 2: (4,0 điểm)
a Giải phương trình x2 15 3 x 2 x2 8
b Giải hệ phương trình
Bài 3: (4,0 điểm)
a Tìm tất cả các số nguyên tố p để p vừa là tổng vừa là hiệu của hai số nguyên tố
b Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn x3 – y3 = 13(x2 + y2)
Bài 4: (6 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp O lấy điểm D thuộc đoạn BC (D , không trùng B, C) Vẽ O tiếp xúc trong với (O) tại K, tiếp xúc với đoạn ,' CD AD
lần lượt tại F, E Các đường thẳng KF KE cắt (O) lần lượt tại M, N.,
a) Chứng minh rằng MN / /EF
b) Chứng minh rằng MC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác KFC
c) Chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định khi D chạy trên BC.
Bài 5: (2,0 điểm): Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz = 1 Chứng minh :
3 3 3
P
-
Trang 2Hết -Chữ ký của giám thị 1: -; Hết -Chữ ký của giám thị 2:
Trang 3-HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI GIAO LƯU ĐỘI TUYỂN HSG TOÁN 9
NĂM HỌC 2019-2020
Bài 1
4đ
a
2 đ
Điều kiện để A có nghĩa x0, y 0 ; xy
Khi đó
2
2
.
.
.
A
x y x xy y
x xy y
xy
0,5 0,5
0,5 0,5
b
2 đ
Vì x 0; y0 và x y nên ( x y)2>0
0
x xy y xy
Do đó : 0 A =
1
xy y
xy x
xy
hay 0 A<1
Ta có : A - A A( A1)0 Vậy A A
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A=0 ó x=0 hoặc y = 0
0.5
0,5
0,5 0,5 Bài 2
4 đ
a
2 đ Vì
3
x x x x
Ta có
3( 1)
x
x
x
Do đó (*) x – 1 = 0 x =1 (t/m) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
0,5
0,5
0,5 0,5
Trang 4b.
2đ
Đặt
a x y
b x y
khi đó
Hệ phương trình đã cho trở thành
2
2
3; 2 ( / )
4, 5,5 ( ì 4 )
Ta có
- Nếu
3
2
x
y
- Nếu
3
2
x
y
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là
3 1 3 1
; ; ;
2 2 2 2
0.5
0.5
0.5
0.5
3
4đ
a
2đ
Giả sử tồn tại số nguyên tố p thỏa mãn điều kiện đề bài
Khi đó p là số nguyên tố lẻ và p = p1 + p2 = p3 – p4 với p1; p2 ; p3 ; p4 là các số nguyên tố
Vì p là số nguyên tố lẻ nên p1 và p2 không cùng tính chẵn lẻ Như vậy sẽ có một số nguyên tố là 2, giả sử p2 = 2
Lại vì p là số nguyên tố lẻ nên p3; p4 không cùng tính chẵn lẻ
Cũng sẽ có một số nguyên tố là 2 Do p3 > p4 nên p4 = 2
Từ p = p1 + 2 = p2 – 2 suy ra p; p1; p3 là ba số nguyên tố lẻ liên tiếp
Chỉ có bộ 3 số p1 = 3; p = 5; p2 = 7 là thỏa mãn
Vậy p = 5
0,5
0,5 0,5
0,5
Trang 52đ
Đặt (x,y) = d 1 suy ra x = md ; y = nd với m > n và (m,n) = 1 thay vào phương trình ta có :
m3d3 – n3d3 = 13(m2d2 + n2d2)
d(m – n)(m2 + mn + n2) = 13(m2 + n2)
Lại có (m2 + mn + n2 , m2 + n2 ) = (mn , m2 + n2 )
Ta sẽ chứng minh (mn , m2 + n2 ) = 1 Thật vậy giả sử (mn , m2 + n2 ) = d1
1 1
mn d
Vì mn d1 và (m,n) = 1 nên m hoặc n chia hết cho d1
Giả sử m d1 Lại có m2 + n2 d1 nên n d1 Khi đó 1 d1 d1 = 1
(m2 + mn + n2 , m2 + n2 ) = 1 Khi đó 13 (m2 + mn + n2) m2 + mn + n2 = 13 m = 3, n = 1
d = 5
x = 15, y = 5 Vậy x = 15, y = 5
0,5
0,5
0,5
0,5
4
6,0 đ
a
2đ
I
H
M
N
O
A
O'
K
F E
a) Qua K kẻ tiếp tuyến chung d với O và O ' Gọi H là giao của (d) và BC
- Xét (O) ta có
1
0.5
Trang 6
cung cùng chắn 1 cung)
- Xét (O’) ta có
EF
K FKH (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây
cung cùng chắn 1 cung)
0.5
0,5 0,5
b
2đ
b) Ta có tam giác HKF cân tại H suy ra HKF HFK
BM CM KH KC BM Mà HKF là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và
dây cung chắn và HFK là góc có đỉnh ở bên trong đường
tròn chắn và suy ra
Suy ra BCM MKC nên ta có MC là tiếp tuyến KFC
1 1
c
2
c) Gọi AM cắt EF tại I Ta chứng minh I cố định bằng cách
chứng minh I là giao điểm các đường phân giác của ABC
BM CM Ta có suy ra AM là phân giác của BAC Ta
chứng minh CI là phân giác của ACB hay ACI ICB
Thật vậy:
+) Xét (O’) có D EFEKF (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp
tuyến và dây cung cùng chắn một cung)
+) AKN AMN AIE nên tứ giác AEIK nội tiếp
Suy raEAI EKI D EF EAI EKF EKI
EIA IKF
MIF IKF
Suy ra
2
Ta có MC là tiếp tuyến KFC suy ra MC2 MF MK (2)
Từ (1) và (2) suy ra MI MCLúc đó ta có:
Nên CI là phân giác ABC,
mà AM là phân giác góc BAC nên I
cố định
0.5
0.5
0.5
0.5
Trang 72,0đ
Đặt a =
1
x ; b =
1
y ; c =
1
z suy ra abc = 1 (a, b, c > 0)
Biểu thức P được viết lại
(1 2 ) (1 2 ) (1 2 )
2
P
Chứng minh:
3 2
(bất đẳng thức Ne – bit)
Ta có
3 2
9
2
b c c a a b
a b b c c a
Dấu = xảy ra khi a = b = c
Bất đẳng thức này luôn đúng vì áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có
a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a
Chứng minh :
2
b c c a a b
Áp dụng bất đẳng thức Bunnhiacopxki dạng phân thức ta có :
3
a b c
abc
Dâu = xảy ra khi a = b = c
Do đó
3
P
Dấu “ =” xảy ra khi x = y = z = 1
0,75
0,5
0,5
0,25
Lưu ý:
Trang 8- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.
- Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.