BO DE HSG TOAN 8 HAY

a/ Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.. b/ Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N.[r]

TRƯỜNG THCS LAM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG – LẦN 1 NĂM HỌC 2014 - 2015

Môn thi: Toán lớp 8

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

3 4

3 8

Bài 5 : (2,75 điểm) Cho hình vuông ABCD Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau

lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S

a) Chứng minh Δ AQR và Δ APS là các tam giác cân

b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS Chứng minh tứ giác AMHN làhình chữ nhật

c) Chứng minh P là trực tâm Δ SQR

d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC

e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng

Bài 6 : (0,5 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015

b) Cho hai số a,b thỏa mãn điều điều kiện a + b = 1 Chứng minh a3 + b3+ ab  2

1

- Hết

-1

3 8

3

1 1 2

1 3 1 2

1 3 2

x

=

3

1 2

7

4 =

77 4

c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị

nguyên dương của A

của x và y, chẳng hạn:

x 2

y 2

x x x

 x = 0 hoặc x = 2 (thỏa mãn điền kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình: S =

a) a) Δ ADQ = Δ ABR vì chúng là hai

tam giác vuông (2 góc có cạnh t.ư vuông góc)

và DA = BD (cạnh hình vuông) Suy ra

AQ=AR, nên Δ AQR là tam giác vuông

cân Chứng minh tương tự ta có: Δ ABP =

do đó AP =AS và Δ APS là tam giác cân tại

A

b) AM và AN là đường trung tuyến của tam

giác vuông cân AQR và APS nên AN SP

c) Theo giả thiết: QA RS, RC SQ nên QA và RC là hai đờng cao

của Δ SQR Vậy P là trực tâm của Δ SQR

d) Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung điểm nên AM = 12

QR

0,25 điểm

0,25 điểm 0,5 điểm

⇒ MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C

Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông

SCP, ta có NA = NC, nghĩa là N cách đều A và C Hay MN là trung trực

của AC

e) Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C Nói cách

khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm

trên đường trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng

Vậy min A = 2010 khi (x = 3

2

; y = 3

1

)

0,25 điểm

b) Ta có a3+ b3 + ab 2

1 (1)  a3+b3+ab -2

0,25 điểm

4

TRƯỜNG THCS LAM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 2

MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích thành nhân tử:

b c a c a b    

Câu 6: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhỏ hơn 900 Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm C, bờ là đường thẳng AB vẽ AF vuông góc với AB và AF = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm B, bờ là đường thẳng AC vẽ AH vuông góc với AC và AH = AC Gọi D là trung điểm của BC Trên tia đối của tia

DA lấy điểm I sao cho DI = DA Chứng minh rằng:

a/ AI = FH ; b/ DA  FH

Bài 7: (2 điểm)Cho hình bình hành ABCD có E, F thứ tự là trung điểm của AB, CD.

a/ Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

b/ Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N Chứng minh rằng EMFN là hình bình hành.

Bài 8: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của: A x x 1 x 3 x 4 x 6 10

- HẾT

-5

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 2

Bài 3: (2,0 điểm)

a/ Rút gọn A =

1 2

a 

Để A nguyên

1 2

a



 nguyên  1   a = 1; a = 3 b/ n 5 + 1  n 3 + 1  n 2 (n 3 + 1) - (n 2 - 1)  (n 3 + 1)  (n + 1)(n - 1)  (n 3 + 1)

6

7

AB=AF (gt),ABI FAH(cùng bù với BAC),

BI = AH (cùng = AC)   ABI =  EAH (c.g.c)

 AI = FH (2 cạnh tương ứng).

b/ Gọi K là giao điểm của DA và FH ta có:

BAI FAK  , mà AFH BAI

hay AFK BAI nên AFH FAK 900

- Xét  AFK có AFH FAK 900

- Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành

ABCD, ta có O là trung điểm của BD.

- Chứng minh BEDF là hình bình hành

- Có O là trung điểm của BD nên O cũng là trung điểm của

EF

- Vậy EF, BD, AC đồng quy tại O.

b/ Xét  ABD có M là trọng tâm, nên

1 3

- Xét  BCD có N là trọng tâm, nên

1 3



; x =

7 13 2

PGD&ĐT THỌ XUÂN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

TRƯỜNG THCS LAM SƠN LẦN THỨ BA - NĂM HỌC 2014-2015

Môn thi: Toán Lớp 8

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1 (3,5 điểm) Phân tích các đa thức thành nhân tử:

1) 18x 3 -

8

25x2) a(a + 2b) 3 - b(2a + b) 3

1) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A được xác định.

2) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Bài 3 (3,0 điểm)

1) (1,5 điểm) Cho a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn: ab + bc + ca = 1

Tính giá trị của biểu thức: A =

1) (1,5 điểm) Tìm dư khi chia x2015 + x 1945 + x 1930 - x 2 - x + 1 cho x 2 - 1

2) (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x2 + 3x + 4) 2

3) Lấy M bất kỳ thuộc đoạn DC Gọi I, K theo thứ tự là các điểm đối xứng của M qua tâm E, F Chứng minh rằng I, K thuộc đường thẳng AB.

4) Chứng minh: AI + AK không đổi khi M thuộc đường thẳng AB.

HẾT

PGD&ĐT THỌ XUÂN HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG CẤP TRƯỜNG

TRƯỜNG THCS LAM SƠN LẦN THỨ BA - NĂM HỌC 2014-2015

= a(a + b) 3 + 3ab 2 (a + b) + ab 3 - a 3 b - 3a 2 b(a + b) - b(a + b) 3

= (a + b)[a(a + b) 2 + 3ab 2 -ab(a - b) - 3a 2 b -b(a + b) 2 ] 0,5

= (a + b)(a 3 + 2a 2 b + ab 2 + 3ab 2 - a 2 b + ab 2 - 3a 2 b - a 2 b - 2ab 2 - b 3 ]

x x

x y

Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O là trung

Ta có: AO, BE là trung tuyến của  ABD

Mà: AO cắt BE tại P nên P là trọng tâm của  ABD 0,52

Theo câu 1) P là là trọng tâm của  ABD

1

Vậy AP = PQ = QC 3

Vì I đối xứng với M qua E nên EI = EM

Ta có: AE = ED, EI = EM  AMDI là hình bình hành

 AI // MD (1) Chứng minh tương tự, ta có: BK // MC (2)

Từ (1), (2) và (3) suy ra I, A, B, K thẳng hàng hay I, K thuộc đường thẳng AB.

0,5 0,5

4

 KMI có E, F lần lượt là trung điểm của MI, MK

 EF là đường trung bình của  KMI

1 EF=

2KI



 KI = 2.EF Suy ra AI + AK = IK = 2.EF (4)

BF // AE và AF = AE  Tứ giác ABFE là hình bình hành

 EF = AB (5)

Từ (4) và (5) suy ra: AI + AK = 2.AB không đổi khi M di động trên cạnh CD.

0,5 0,5

Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Môn thi: Toán Lớp 8

Thời gian làm bài: 150 phút

x  , với x là số nguyên

Câu 5 (6,0 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Qua A vẽ đường thẳng song song với

BC cắt BD ở E và cắt CD ở K Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC ở F và cắt

PGD & ĐT THỌ XUÂN HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI

0,250,5b)

b) Có thể chứng minh một trong hai cách sau:

0,250,25

0,250,50,25

ĐỀ MÃ SỐ 01

1

Ghi chỳ: Nếu học sinh làm cỏch khỏc mà đỳng thỡ vẫn cho điểm tối đa.

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Mụn thi: Toỏn Lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phỳt Cõu 1 (2,0 điểm)

a) Tam giỏc MHD đồng dạng với tam giỏc CMD

b) E là trực tõm tam giỏc ABN

Cõu 6 (2,0 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh CD và N là một

điểm trên đờng chéo AC sao cho BNM  900 Gọi F là điểm đối xứng của A qua N Chứngminh rằng FB  AC

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI

2,0

0,250,25

ĐỀ MÃ SỐ 02

ĐỀ MÃ SỐ 02

1

Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.

Môn thi: Toán Lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (2 điểm)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 b) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015

Bài 2: (2,5 điểm)Cho biểu thức:

2 2

A = b+c − a a + b

a+c −b+

c a+b − c ≥ 3

Bài 4: (3,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD

a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?





(0,25 điểm) ⇒ A= 32 hoặc A= 52 (0,75 điểm)

c) A < 0 ⇔ x - 2 >0 ⇔ x >2 (0,25 điểm)

ĐỀ MÃ SỐ 03

ĐỀ MÃ SỐ 03

1

1 (x+5)(x +6)+

1 (x+6)(x +7)=

1 18

x +41 − 1

x +7=

1

18 (0,25 điểm) 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)

Chứng minh : BEODFO g c g(   ) ⇒ BE = DF (0,5 điểm)

Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành (0,25 điểm)

b) Chứng minh: ∠ ABC= ∠ ADC ⇒ ∠ HBC= ∠ KDC (0,25

⇒ AF

AK =

AD

AC ⇒ AD AK=AF AC (0,25 điểm)Chứng minh : Δ CFD ∽ Δ AHC(g-g) ⇒ CF

1

GIẢI MỘT SỐ ĐỀ THI

Đề 1 Bài 1: a) Thực hiện phép chia: (x3 - 2x - 4) : (x2 + 2x + 2)

b) Xác định a sao cho ax3 - 2x - 4 chia hết cho x - 2

c) Tìm nghiệm của đa thức: x3 - 2x - 4

Bài 2: a) Tính S =

(c a)(a b) (a b)(b c) (b c)(c a)        b) Chứng minh

Bài 4: Cho  ABC vuơng tại A Vẽ ra phía ngồi tam giác đĩ các tam giác ABD vuơng cân ở

B, ACE vuơng cân ở C CD cắt AB tại M, BE cắt AC tại N

a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng; các tứ giác BCE; ACBD là hình thang

b) Tính DM biết AM = 3cm; AC = 4 cm; MC = 5cm

c) Chứng minh AM = AN

Bài 5: Cho M là điểm nằm trong  ABC, từ M kẻ MA’  BC, MB’ AC, MC’  AB

(A’ BC; B’ AC; C’ AB) Chứng minh rằng: a b c

MA ' MB' MC '

h  h  h = 1(Với ha, hb, hc là ba đường cao của tam giác hạ lần lượt từ A, B, C xuống ba cạnh của  ABC)

Bài giải

Bài 1:

a) Thực hiện phép chia: (x3 - 2x - 4) : (x2 + 2x + 2) = x - 2

b) Xác định a sao cho ax3 - 2x - 4 chia hết cho x - 2

Vì ax3 - 2x - 4 chia hết cho x - 2 nên x = 2 là nghiệm của đa thức ax3 - 2x - 4 , nên ta cĩ: a

23 - 2 2 - 4 = 0  8a - 8 = 0  a = 1

c) Tìm nghiệm của đa thức: x3 - 2x - 4

Nghiệm của đa thức là các giá trị của x để

1

C B

A

1

 AM(AC + AB) = AC AB  3(4 + AB) = 4 AB  AB = 12 cm  MB = 9 cm

Cho M là điểm nằm trong  ABC, từ M kẻ MA’  BC, MB’ AC, MC’  AB

(A’ BC; B’ AC; C’ AB) Chứng minh rằng: a b c

MA ' MB' MC '

h  h  h = 1(Với ha, hb, hc là ba đường cao của tam giác hạ lần lượt từ A, B, C xuống ba cạnh của  ABC)Giải

Kẻ đường cao AH, ta có:

h S (2) và

MBA

S MC'

h S (3)Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế, ta có:

a) Trong ba số a, b, c có 1 số dương, 1 số âm và 1 số bằng 0; ngoài ra còn biết thêm

2

a  b (b c)  Hỏi số nào dương, số nào âm, số nào bằng 0

b) Cho x + y = 1 Tính giá trị biểu thức A = x3 + y3 + 3xy

Câu 2: a) Giải phương trình: x 2 3 1  

b) Giả sử a, b, c là ba số đôi một khác nhau và

Câu 3: Cho tam giác ABC; gọi Ax là tia phân giác của BAC, Ax cắt BC tại E Trên tia Ex lấy điểm H sao choBAE ECH  Chứng minh rằng:

A

2

Câu 4: Cho tứ giác ABCD Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BD tại E; từ B kẻ

đường thẳng song song với AD cắt AC tại F

2

b c bc + ba - a (c - a) (a - b)(c - a)(b - c)





(3)Cộng từng vế (1), (2) và (3) ta có đpcm

AB AC - BE EC = AE.AH - AE EH

 AB AC - BE EC = AE (AH - EH) = AE AE = AE2

x

C B

A

O

F D

E

C

B A

2

Bài 1: Cho phân thức: P = 2

2 x 4



 a) Tìm TXĐ của P b) Rút gọn P c) Tính giá trị của P khi x 5 1,5 

Bài 2: So sánh A và B biết:

a) A = 2002 2004 và B = 20032

b) A = 3.(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) và B = 264

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC Hạ CE vuông góc với AB, CF

vuông góc với AD và BG vuông góc với AC Chứng minh:

a) ACE ABG và AFC CBG

b) AB AE + AD AF = AC2

Bài 4: Cho hình thoi ABCD cạnh a, có Â = 600 Một đường thẳng bất kỳ qua C cắt tia đối của tia BA và DA lần lượt tại M và N

a) Chứng minh: Tích BM DN có giá trị không đổi

b) Gọi K là giao điểm của BN và DM Tính số đo góc BKD

Coọng (5) vaứ (6) veỏ theo veỏ ta coự:

AB AE + AF AD = AC AG + AC CG

 AB AE + AF AD = AC(AG + CG) = AC AC

Vaọy: AB AE + AD AF = AC2

=

CN DN (2)Tửứ (1) vaứ (2) suy ra

2 2

Câu 2: Giải phơng trình: (x + 1)2 = 4(x2 + 2x + 1)

Câu 3: Cho a, b, c thoã mãn:

a b c a b c  Tính giá trị của biểu thức: A = (a3 + b3)(b3 + c3)(c3 + a3)

Câu 4: Cho ABC có A 2B 4C 4       Chứng minh:

ABBC CA

Câu 5:

Cho ABC cân tại A có BC = 2a, M là trung điểm của BC Lấy D, E theo thứ tự thuộc AB,

AC sao cho: DME B 

a) Chứng minh rằng: tích BD CE không đổi

b) Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc BDE

c) Tính chu vi của ADE nếu ABC là tam giác đều

a) Ta có DMC = DME + CME = B + BDM      , mà DME = B   (gt)

nên CME = BDM   , kết hợp với B = C   (ABC cân tại A)

(do BM = CM) DME DBM (c.g.c)  MDE = BMD 

hay DM là tia phân giác của BDE

c) chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của DEC

kẻ MH CE ,MI DE, MK DB thì MH = MI = MK  DKM = DIM

 DK =DI  EIM = EHM  EI = EH

Chu vi AED là PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK)

ABC là tam giác đều nên suy ra CH =

Câu 4 : Cho tam giác ABC, điểm D nằm trên cạnh BC sao cho DBDC= 1

2 ;điểm O nằm trên đoạn AD sao cho

OA 3

OD 2 Gọi K là giao điểm của BO và AC

Tính tỉ số AK : KC

Câu 5 : Cho tam giác ABC cĩ 3 gĩc nhọn, trực tâm H Một đường thẳng qua H cắt AB, AC

thứ tự ở P và Q sao cho HP = HQ Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng tam giác MPQ cân tại M

A

2

Gọi giao điểm của AH và BC là I

Từ C kẻ CN // PQ (N AB),

Tứ giác CNPQ là hình thang, có H là trung điểm PQ, hai

cạnh bên NP và CQ đồng quy tại A nên K là trung điểm CN

 MK là đường trung bình của BCN

 MK // CN  MK // AB (1)

H là trực tâm của ABC nên CHA B (2)

Từ (1) và (2) suy ra MK CH  MK là đường cao của

CHK (3)

Từ AH BC  MCHK  MI là đường cao của CHK (4)

Từ (3) và (4) suy ra M là trực tâm của CHK MHCN  MHPQ

MPQ cĩ MH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên cân tại M

Đề 6

Câu 1: a) Tìm các số nguyên m, n thoả mãn

2

n n 1 m

n 1

 



 b) Đặt A = n3 + 3n2 + 5n + 3 Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giá trịnguyên dương của n

O

K M

C D

B A

I K N

A

2

c) Nếu a chia 13 dư 2 và b chia 13 dư 3 thì a2+b2 chia hết cho 13.

1 + 5.7

1 + … +

1 2009.2011

Câu 4: Cho 3 số x, y, z, thoả mãn điều kiện xyz = 2011 Chứng minh rằng biểu thức sau

không phụ thuộc vào các biến x, y, z :

a) BD.CE=

2

BC 4b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của BDE và CED.

c) Chu vi ADE không đổi

Giải

1) a, Thùc hiÖn chia

2

n n 1m

3

1 x x

MÉu thøc:

3 3 3

c, Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC

Chøng minh DH = DI, EI = EK

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

2 1

x

y

E D

B

A

2

1. Giải phương trình sau:

1 Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x 2 dư 10, f(x) chia cho x  2dư 24, f(x)

chia cho x 2 4 được thương là 5x và còn dư

2 Chứng minh rằng:

a b c b c a(  )(   )2c a b a b c(  )(   )2 b a c a c b(  )(   )2

Câu 4 (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao

cho AE = AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.

1 Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.

2 Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF.

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP

TRƯỜNG NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN LỚP 8 – VÒNG 4

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian

2

(2.0 điểm)

ĐK:

0 2

x x

2

x x





với

0 2

x x

2011 11

Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải

phương trình tìm được

x = -1; từ đó tìm được

hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là:

x z a

2 2 2 (1)

ΔADM = ΔBAF (g.c.g)

0.75

=> DM=AF, mà

AF = AE (gt) Nên AE = DM Lại có AE // DM ( vì AB // DC )

0.5

Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành

Mặt khác.DAE = 90 0

0.5

N M

H F

E

B A

3