c) Chứng minh rằng hai tam giác ADE và ABC đồng dạng với nhau. Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD tại M và cắt CD tại I. Cho đo[r]
Trang 1Chuyên đề 2 Định lí Talet - Tam giác đồng
dạng
1 Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Vẽ CE AB và FC AD Chứng minh
rằng: AB.AE + AD.AF = AC2
Hướng dẫn:
o Kẻ BH AC
o Chứng minh: AHB AEC, BHC CFA
2 Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AB và BC Các đường thẳng DN và CM cắt nhau tại I Chứng minh rằng: a) Tam giác CIN vuông
b)Tính diện tích tam giác CIN theo a
c) Tam giác AID cân
Hướng dẫn:
a) Chứng minh: BMC CND
b)Chứng minh: ICN CDN
ICN CDN
S
? S
SICN = ? c) Gọi Q là trung điểm CD Tương tự câu a, chứng minh PI = PD
3 Cho hình thang ABCD (BC // AD) với ABC ACD Tính độ dài đường chéo
AC, biết rằng 2 đáy BC và AD theo thứ tự có độ dài 12 m và 27 m
Hướng dẫn:
o Chứng minh: ABC DCA AC = ?
4 Cho tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC Từ một điểm E trên cạnh BC
ta kẻ Ex // AM, Ex cắt tia CA ở F và tia BA ở G
Chứng minh rằng: FE + EG = 2AM
Hướng dẫn:
o Áp dụng hệ quả ĐL Talet với AM // FE và EG // AM
5 Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo AC lấy điểm I, tia DI cắt đường
thẳng AB tại M, cắt đường thẳng BC tại N Chứng minh rằng:
a)
AM DM CB
AB DN CN
b) ID2 = IM.IN
Hướng dẫn:
a) Chứng minh: MBN DCN và MBN MAD
b) Chứng minh: IAD ICN và IAM ICD
6 Cho tam giác ABC, đường phân giác trong của góc C cắt cạnh AB tại D Chứng
minh rằng: CD2 < CA.CB
Hướng dẫn:
o Lấy M thuộc BC sao cho: CDM A
o Chứng minh: CDN CAD
7 Cho tam giác ABC, BD và CE là 2 đường cao của tam giác ABC, DF và EG là
2 đường cao của tam giác ADE Chứng minh rằng:
a) Hai tam giác ADE và ABC đồng dạng
Trang 2b)FG // BC.
Hướng dẫn:
a) Chứng minh: ADB AEC
b)Chứng minh: AFG ADE
8 Cho tam giác ABC (AB < AC) Hai Đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a) So sánh góc BAH và góc CAH
b)So sánh 2 đoạn thẳng BD và CE
c) Chứng minh rằng hai tam giác ADE và ABC đồng dạng với nhau
Hướng dẫn:
b)Chứng minh: ADB AEC
c) Tương tự câu a Bài 7
9 Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD Qua A kẻ đường thẳng song song với
BC cắt đường chéo BD tại M và cắt CD tại I Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt cạnh CD ở K Qua K kẻ đường thẳng song song với BD cắt
BC ở P Chứng minh rằng MP // DC
Hướng dẫn:
o Áp dụng hệ quả ĐL Talet với AB // DI và KP // BD
10 Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm của AB Vẽ về phía AB các tia Ax và
By vuông góc với AB Lấy C trên Ax, D trên By sao cho góc COD bằng 900 a) Chứng minh rằng tam giác ACO đồng dạng với tam giác BDO
b)Chứng minh rằng: CD = AC + BD
c) Kẻ OM vuông góc CD tại M, gọi N là giao điểm của AD với BC Chứng minh rằng: MN // AC
Hướng dẫn:
b)Kéo dài CO cắt DB ở E Chứng minh DCE cân tại D
c) Áp dụng hệ quả của ĐL Talet với AC // BD
NBMD
11 Cho tam giác ABC với AB = 5 cm, AC = 6 cm, BC = 7 cm Gọi G là trọng tâm
tam giác ABC, O là giao điểm của hai tia phân giác trong của tam giác ABC Chứng minh rằng: GO // AC
Hướng dẫn:
o Áp dụng tính chất đường phân giác trong ABC và ABD và tính chất 3 đường trung tuyến
12 Cho ABC có A 30 0 Dựng bên ngoài tam giác đều BCD Chứng minh rằng:
AD2 = AB2 + AC2
Hướng dẫn:
o Dựng tam giác đều ACE BE = AD
13 Cho hình vuông ABCD Trên BC lấy M sao cho:
1
3
Trên tia đối của tia CD lấy điểm N sao cho
1
2
Cạnh AM cắt BN tại I và CI cắt AB tại K Gọi H là hình chiếu của M trên AC Chứng minh rằng K, M, H thẳng hàng
Hướng dẫn:
o Áp dụng hệ quả ĐL Talet với AB // CE, AB // NE và BK // CN để chứng minh BM = BK
o Áp dụng tính chất 3 đường cao để chứng minh KM AC
Trang 314 Cho hình thoi ABCD có góc bằng 600 Gọi M là một điểm thuộc cạnh AD Đường thẳng CM cắt đường thẳng AB tại N
a) Chứng minh rằng: AB2 = DM.BN
b)BM cắt DN tại P Tính số đo góc BPD
Hướng dẫn:
a) Áp dụng hệ quả ĐL Talet với AM //BC và tính chất dãy tỉ số bằng nhau b)Dựa theo câu a chứng minh: NBD BDM
15 Cho ABC, điểm M nằm trên cạnh BC.
Chứng minh rằng: MA.BC < MC.AB + MB.AC
Hướng dẫn:
o Áp dụng hệ quả ĐL Talet với MD // AC và bất đẳng thức tam giác ADM
16 Cho tam giác ABC (AB = BC) Trên cạnh AC chọn điểm K nằm giữa A và C.
Trên tia đối của tia CA lấy E sao cho: CE = AK
Chứng minh rằng: BK + BE > BA + BC
Hướng dẫn:
o Lấy F đối xứng B qua C Chứng minh: ABK = CFE
17 Cho tam giác ABC đều Gọi M là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác Chứng
minh rằng tống các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác có giá trị không đổi khi M thay đổi vị trí trong tam giác
Hướng dẫn:
o Dựa vào đẳng thức: SABC = SMAB + SMBC + SMCA
18 Cho tam giác ABC Qua một điểm O tùy ý trong tam giác, ta kẻ các đường AO,
BO, CO cắt BC, CN, AB lần lượt tại M, N và P Chứng minh rằng:
OM ON OP
1
AMBNCP
Hướng dẫn:
o Tính các tỉ số:
OBC ABC
S S
,
OAB ABC
S S
,
OAC ABC
S S
và áp dụng hệ quả ĐL Talet
19 Cho ABC có 2 đường cao BD và CE Chứng minh rằng: AED ACB
Hướng dẫn:
o Chứng minh: ADB AEC AED ACB
20 Cho ABC có đường phân giác AD.
Chứng minh rằng: AD2= AB.AC – DB.DC
Hướng dẫn:
o Chứng minh: AEB ACD
o Chứng minh: ACD BED
21 Cho tam giác ABC, gọi D là trung điểm AB Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho
AE = 2EC Gọi O là giao điểm của CD và BE Chứng minh rằng:
a) Diện tích tam giác BOC bằng diện tích tam giác AOC
b)BO = 3EO
Hướng dẫn:
a) Chứng minh: SACD = SBCD,SAOD = SBOD
b)Chứng minh: OEC OBC
1
3
22 Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt AC tại E và cắt
đường thẳng song song với AB kẻ từ C ở F Gọi S là giao điểm của AC và BF Chứng minh rằng: SC2 = SE.SA
Trang 4Hướng dẫn:
o Áp dụng hệ quả hệ quả ĐL Talet với EF // BC và CF // AB
23 Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB lấy M.Vẽ BH vuông góc với CM Vẽ
HN DH Chứng minh rằng:
a) DHC NHB
b)AM.NB = NC.MB
Hướng dẫn:
b)Chứng minh: HCB BCM, kết hợp kết quả câu a
24 Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD Gọi
K là điểm nằm giữa C và D Gọi P, Q theo thứ tự là các điểm đổi xứng của K qua tâm M và N
a) Chứng minh rằng Q, P, A, B thẳng hàng
b)Gọi G là giao điểm của PN và QM Chứng minh rằng GK luôn đi qua điểm I
cố định khi K thay đổi trên đoạn CD
Hướng dẫn:
a) Chứng minh: AQ // DK và BP // CK
b)Chứng minh: HP = HQ, I là trung điểm HK I là trung điểm MN
25 Cho tứ giác ABCD Đường thẳng qua A song song với BC cắt BD tại P và
đường thẳng qua B song song với AD cắt AC tại Q.Chứng minh: PQ // CD
Hướng dẫn:
o Áp dụng hệ quả hệ quả ĐL Talet với BQ // AD và AP // BC và định lí Talet đảo