de Thi thu HSG toan 8

Tính diện tích tam giác, đa giác Số câu Số điểm Tỉ lệ % Chứng minh bất đẳng thức và tìm GTNN Số câu Số điểm Tỉ lệ % Tổng số câu: Tổng số điểm: Tỉ lệ:.. Vận dụng Cấp độ thấp.[r]

Cấp độ

Chủ đề

Cấp độ thấp Cấp độ cao

1 Phân tích

đa thức thành

nhân tử Giải

phương trình

Biết phân tích đa thức thành nhân

tử rồi Giải phương trình

Biết phân tích

đa thức thành nhân tử bậc cao

Biết phân tích

đa thức thành nhân tử để cm

là số chính phương

Số câu

Số điểm Tỉ

lệ %

1 0,75đ 7,5%

1 0,75đ 7,5%

1 0,75đ 7,5%

3 2,25đ 22,5%

Rút gọn phân

thức rồi tính

giá trị biểu

thức

Biết Rút gọn phân thức rồi tính giá trị biểu thức

Số câu

Số điểm Tỉ lệ

%

1 1đ 10%

1 1đ 10%

Chứng minh

tính chia hết

Biết Chứng minh tính chia hết

Biết tìm hệ số để

đa thức chia hết

Số câu

Số điểm Tỉ lệ

%

1 1đ 10%

1 1đ 10%

2 2đ 20%

3 Tam giác

đồng dạng

Tính diện tích

tam giác, đa

giác

Chỉ ra được định lí talet trong tam giác

Vận dụng đươc các trường hợp đồng dạng của tam giác để giải toán

Sử dụng công thức tính diện tích để chứng minh đẳng thức

Số câu

Số điểm Tỉ lệ

%

1 1đ 10%

1 1đ 10%

1 1đ 10%

3 3đ 30%

Chứng minh

bất đẳng thức

và tìm GTNN

Biết tìm GTNN của phân thức

Biết sử dụng

cô si để chướng minh

Số câu

Số điểm Tỉ lệ

%

1 0,75đ 7,5%

1 1đ 10%

2 1,75đ 17.5%

Tổng số câu:

Tổng số điểm:

Tỉ lệ:

2 1,75đ 17.5%

3 2,5đ 25%

2 2đ 20%

4 3,75đ 37,5%

11 10,0đ 100%

PHÒNG GD&ĐT NAM SÁCH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

Năm học: 2013-2014

Môn: Toán 8 (Thời gian làm bài 150 phút)

(Đề thi này gồm 01 trang).

Câu 1: (1,5 điểm )

a) Phân tích đa thức x4 2014x2  2013x 2014thành nhân tử

b) Giải phương trình: x2 x 2013.2014 0 

Câu 2: (2,0 điểm )

a) Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện abc = 2014 Tính giá trị biểu thức:

P =

2014

ab a bc b  ac c 

b) Cho a a1 , , 2 a2013 là các số tự nhiên có tổng bằng 20132014

Chứng minh rằng: B a 13a23 a20133 chia hết cho 3

Câu 3: (1,5 điểm )

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

2

2013

A

x



( x khác 0) b) Tìm số tự nhiên n sao cho số A = n2 +2014 là số chính phương

Câu 4: (2,0 điểm )

a) Xác định các hệ số a, b để đa thức f(x) = x3 ax  b chia hết cho đa thức x2  x 6

b) Cho a , b , c là độ dài ba 3 cạnh của một tam giác và abc = 2014

Chứng minh rằng :A =

6042

b c a a c b a b c        

Câu 5: (3,0điểm )

Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O Đường thẳng qua

O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N

a) Chứng minh rằng: diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC

b) Chứng minh rằng AB1 + 1

2

c) Chứng tỏ rằng bình phương diện tích tam giác AOD bằng tích diện tích tam giác AOB với diện tích tam giác DOC Từ đó tính diện tích hình thang ABCD

Biết SAOB= 20132 (đơn vị diện tích); SCOD= 20142 (đơn vị diện tích)

-Hết -Họ và tên thí sinh:………SBD:…………

ĐỀ GIỚI THIỆU

( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm )

Năm học: 2013-2014

Môn: Toán 8 Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1

1,5đ

a 0,75đ Ta có

4 2014 2 2013 2014

x4  x 2014x2  2014x 2014 0,25 x x  1 x2  x 1 2014x2  x 1 0,1 x2  x 1 x2  x 2014 0,15 Kết luận x4 2014x2 2013x 2014 x2  x 1 x2  x 2014 0.25

b 0,75đ

x x





0,15

2014 2013

x x







01

Vậy phương trình có tập nghiệm S =  2013; 2014 0,15

Câu 2

2.0đ

a 1,0đ

P =

2014

ab a bc b  ac c 

=

2014

abc

Thay abc = 2014 vào P ta có:

P = abc (abcaab+abca+abc+

b

c

= abc [abcaab (1+ac+c)+

b

b (c +1+ac)+

c

= abc (acac +c +1+

1

c

ĐỀ GIỚI THIỆU

b 1,0đ Dễ thấy

3 ( 1)( 1)

Xét hiệu B (a1 a2  a2013 ) (  a13a23 a20133 ) (  a1 a2  a2013 )

 (a13 a1 ) (  a32  a2 ) (   a20133  a2013 ) chia hết cho 3

0,25

Mà a a1 , , 2 a2013 là các số tự nhiên có tổng bằng 20132014 3 0,25

Câu 3

1,5đ

a 0,75đ A =

2

2013.2014

x

0,25

=

2

2 2014 2014 2013.2014

x

+

2 2

2013 2013.2014

x x

0,25

=

2 2

x

x



A min =

1

2014 khi x - 2014 = 0 hay x = 2014

0.1

b 0,75đ Giả sử 2014 + n

2 là số chính phương thì 2014 + n2 = m2 (mN) 0,15

Từ đó suy ra m2 - n2 = 2014  (m + n) (m – n) = 2014 0,1 Như vậy trong 2 số m + n và m – n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)

Mặt khác m + n + m – n = 2m  2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)

0,15

Từ (1) và (2)  m + n và m – n là 2 số chẵn

 (m + n) (m – n)  4 nhưng 2014 không chia hết cho 4

 Điều giả sử sai

0,25

Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2014 + n2 là số chính phương 0,1

Câu 4

2,0đ

a 1,0đ f(x) chia hết cho  

2

x x 6  f(x) chia hết cho (x + 3)(x -2)

 f(- 3) = 0   3a   b 27 (1)

0,25

Tương tự ta có f(2) = 0 2a  b  8 (2) 0,25 Trừ hai vế của (1) cho (2) ta được: - 5a = 35  a  7 0,25

b

abc

b c a a c b a b c       

0,15

b c a a c b a b c       

0,1 Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 0,15

Từ đó suy ra a= 2 ; 2 ; 2

y x c z x b z









;

0,1

Thay vào ta được A 2014( 2 2 2 )

0,25

1

2

Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số ta có 2

Từ đó suy ra A1007(2 2 2)  hay A 6042 0,25

Câu 5

N M

B

a 0,75đ Vì AB//CD AB) ⇒ SDAB  SCAB(có cùng chiều cao so với đáy

0,25

b 1,0đ Xét Δ ABD do OM//AB =>

OM

DM

xét Δ ADC do OM//DC => OMDC = AM

Từ (1) và (2) ⇒ OM.( AB1 + 1

AD

0,25

Chứng minh tương tự ON ( 1

1

0,15

Từ đó có (OM + ON) ( 1

1

2

c 1,0đ AOB

AOD







,

BOC DOC

S OB

S OD





 ⇒ AOB

AOD

S S





DOC

S S





0,25

⇒ SAOB.SDOC SBOC.SAOD

0,1

Chứng minh được SAOD  SBOC

⇒ SAOB.SDOC  (SAOD)2

0,25

Thay số 20132.20142 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2013.2014 0,15

Do đó SABCD = 20132 + 2.2013.2014 + 20142 = (2013 + 2014)2 = 40272 (đơn vị DT)

0,25

Tổng 10

Ghi chú: Học sinh có thể làm bằng cách khác nhưng kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa.

Bài 1 Cho biểu thức: A =

3 2 3



a) Rút gọn A

b) Tìm các số nguyên x để A nhận giá trị nguyên Tìm các giá trị nguyên đó của A

Bài 2 : Giải các phương trình: a) x3 – 5x2 + 8x – 4 = 0 b) 2 2

x (x 1) x x 1

    

Bài 3 : a) Cho các số m, n, p thỏa mãn :

1 1 1

m n p

     

Tính giá trị của biểu thức A = m4 + n4 + p4

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x2 + 2y2 – 2x – 4y + 1 = 0

Bài 4 : Cho hình thang ABCD (AB//CD và AB < CD) có các đường phân giác trong của

các góc A, B, C, D cắt nhau tại O Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên

AB, DC

a) Chứng minh: AOD BOC 90    b) Chứng minh: AH.DK = BH.CK

c) Gọi E là giao điểm của các đường thẳng AD và BC, EH cắt CD tại F Chứng minh: CF = DK

Bài 5 : Cho các số dương a, b, c có tổng bằng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P =

Bài 1 : Cho biểu thức P =

2 2

: 1

a) Rút gọn P b) Tìm x để P = -2 c) Tìm x để P < 0

Bài 2 : Giải các phương trình sau:

a) x2 + 3x – 4 = 0 b)

2 2

c) | x | + | x – 1| = 5 Bài 3 : a) Cho biểu thức M = x2 + xy + y2 – 3x – 3y + 2011 Với giá trị nào của x và y thì

M đạt giá trị nhỏ nhất

b) Tính giá trị của biểu thức: A =

y z z x    x y  Biết rằng các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức :

1

y z z x    x y  

Bài 4 : Cho tam giác ABC có AK là trung tuyến Từ điểm I trên cạnh BC kẻ đường thẳng a song song với AK cắt AB ở M, cắt AC ở N Chứng minh :

a) AC AM = AB AN b) MI + NI = 2.AK

Bài 5 : Cho hình vuông ABCD Trên AB và AD lấy M, N sao cho AM = AN Kẻ AH vuông góc với MD Chứng minh :

a)  AHN  DHC b) CH2 + HN2 + ND2 + DC2 = MC2 + NC2