De thi va dap an HSG toan 6

TÝnh tæng sè dông cô.. thªm 15 chiÕc.[r]

Đề thi học sinh giỏi lớp 6

( Thời gian 120 phút (không kể thời gian chép đề)

Câu 1 : (2 điểm)

Tìm hai số tự nhiên chia hết cho 9 biết rằng :

a.Tổng của chúng là *657 và hiệu của chúng là 5*91

b.Tổng của chúng là 523* và số lớn gấp đôi số bé

Câu2: (2 điểm)

Cho S = 2 + 22 + 23 + 24 + +……+ 2+ 2100

a.Chứng minh S  3

b Chứng minh S 15

c Tìm chữ số tận cùng của S

Câu3 : (2 điểm)

Viết dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 101 làm thành số A

a A có là hợp số đợc không?

b A có là số chính phơng đợc không?

c A có thể có 35 ớc số không?

Câu 4 :(1 điểm)

Tìm các số tự nhiên n để 5n + 6 và 8n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau Câu 5 : (2 điểm)

Tìm một số có 5 chữ số biết rằng nếu viết thêm chữ số 4 vào đằng trớc thì

đ-ợc số gấp 4 lần viết thêm chữ số 4 vào đằng sau?

Câu 6 : (1 điểm)

Cho AB = 2cm ; BC = 3cm ; CA = 4cm Chứng minh rằng ba điểm A , B , C không thẳng hàng

Đáp án :

Câu 1 :(2 điểm)

a.(1điểm) Vì hai số tự nhiên cần tìm chia hết cho 9 nên tổng và hiệu của 2

số đó là số chia hết cho 9

-Vì *657  9 nên *+6+5+7  9 nên 18 + *  9 Vậy * = 9 nên tổng là 9657 -Vì 5*91 9 nên 5+*+9+1 9 nên 15+ *  9 Vậy * = 3 nên hiệu là 5391

Vậy số bé là : ( 9657-5391) : 2 = 2133

Số lớn là : 9657 – 2133 = 7524

b (1 điểm) Vì hai số tự nhiên cần tìm chia hết cho 9 nên tổng chia hết cho 9 Vì 523*  9 nên 5+3+2+*  9 nên 10 + *  9 vậy * = 8 nên tổng là 5238

Ta có sơ đồ :

Số bé …Số bé …

Số lớn ……Số lớn ……

Số bé là : 5328 : (1+2) = 1776

Số lớn là : 5328 – 1776 = 3552

Câu 2 : (2 điểm)

a.(1 điểm) S = 2+22+23+24++……+2+2100

=(2+22)+(23+24)+(25+26)+)+……+(2+(299+2100)

=(2+22)+22(2+22)+24(2+22)+)+……+2+298(2+22)

=(2+22)(22+24+26++……+2+298)

= 6 (22 + 24 +26 + +……+2+298) 3

b ( 0,5 điểm) S = 2+22+23+ + ……+ 2+ 2100

=(2+23)+(22+24)+)+……+(2+(298+2100) =(2+23)+2(2+23) +) +……+2+297(2+23) =(2+23)(1+2+)(1+2+………….+2.+297)

=10 (1+2+….+2

=10 (1+2+….+297)  5

Ta có tổng trên vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5 mà

UCLN(3,5) =1 Vậy tổng trên chia hết cho 15

c (0,5 điểm) Vì S = 10 (1+2+ ….+ 2

c (0,5 điểm) Vì S = 10 (1+2+ ….+ 297) nên S có chữ số tận cùng là 0

Câu3 : (2điểm)

a (1 điểm) Ta có A = 1+2+3+4+… +101 Có tổng các chữ số là (1+2+3+…

+9) + (1+2+3+…+10)+(2+3+4+…+11) +…+(9+10+11+…+18) +1+2 = 903

chia hết cho 3 vậy A là hợp số

b ( 0,5 điểm) Vì 903 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 vậy A không phải là số chính phơng

c ( 0,5 điểm) Vì A không phải là số chính phơng nên A không có lẽ số ớc số nên A không có 35 ớc số

Câu 4 : (1 điểm) Gọi ƯCLN(5n+6, 8n+7) =D

Ta có 5n+6  D  40n+48  D

8n+7  D  40n+ 35  D

Vậy (40n+48) – ( 40n+ 35)  D Hay 13  D nên D = 1 hoặc 13

*Nếu 8n+7  13 thì 40n+35  13 nên n+9 chia hết cho 13 nên n+9 = 13 k (k

là số tự nhiên) nếu n =13k-9 thì UCLN(5n+6, 8n+7) = 13

*Nếu n  13k – 9 thì ƯC LN(5n+6, 8n+7) = 1

Câu5 : (2điểm) Gọi số cần tìm là abcdg

Viết thêm chữ số 4 vào trớc ta đợc:4abcdg

Viết thêm chữ số 4 vào sau ta đợc:abcdg4

Theo bài ra ta có : 4abcdg = 4 abcdg4

400000 + abcdg = 4.(10.abcdg+4)

400000 + abcdg = 40 abcdg+ 16

399984 = 39 abcdg

abcdg = 39984 : 39 abcdg = 10256

Câu 6 : (1 điểm)

Vì 2 +3 4 Nên AB+ BC  AC vậy B không nằm giữa A và C Vì 3+4  2 Nên BC+ CA  AB vậy C không nằm giữa A và B

Vì 4+2  3 Nên CA+AB  BC vậy A không nằm giữa B và C Nên trong 3 điểm A, B , C không có điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại Vậy 3 điểm A , B , C không thẳng hàng

Đề thi học sinh giỏi khối 6

Môn: toán Thòi gian 120 phút

Đề bài

bài 1: Chứng minh ( 210 + 211 + 212 ) ⋮ 7

Bài 2: Viết 7 32 thành tổng 3 lũy thừa cơ số 2 với các số mũ là 3 số tự nhiên liên tiếp

Bài 3: Tính A = 3 ì 1

117 ì

1

119 −

4

117 .ì 5

upload.123doc.net

5

117ì

1

119+

8 39

Bài 4: Cho biểu thức

A = 3

229 ì2

1

433−

1

229ì

432

433 −

4

229ì 433

a)Bằng cách đặt a = 1

229 , b =

1 433

Rút gọn biểu thức A theo a và b

a) Tính giá trị biểu thức A

b) Bài 5: Chứng minh rằng (19 45 + 1930 ) chia hết cho 20

Bài 6: Tìm số d khi chia 1963 1964 cho 7

Bài 7: Một xí nghiệp đã làm một số dụng cụ trong 3 đợt ,đợt 1 đã làm

đ-ợc 1

3 tổng số dụng cụ , đợt 2 làm đợc

1

4 tổng số dụng cụ và làm

thêm 15 chiếc Đợt 3 xí nghiệp làm nốt 25 dụng cụ Tính tổng số dụng cụ

đáp án

Câu 1: (3 điểm)

Chứng minh: ( 210 + 211 + 212 ) ⋮ 7

Ta có ( 210 + 211 + 212 ) = 2 10 (1 + 2 + 2 2 )

mà (1 + 2 + 2 2 ) ⋮ 7

do vậy 2 10 (1 + 2 + 2 2 ) ⋮ 7 Do đó

( 210 + 211 + 212 ) ⋮ 7 (đpcm)

Câu 2: (3 điểm)

Đặt số tự nhiên thứ nhất là a các số tiếp theo là a + 1, a + 2

Ta có: 7 32 = 2 a + 2 a+1 + 2 a+2 = 2a +2a 2 + 2a 22 =

2a (1 + 2 + 22 ) = 2a 7

7 32 = 2a 7  32 = 2a  a = 5 Vậy 32 = 2 5 + 2 6 + 2 7

Câu 3: Tính A= 3 1

117 ì

1

119−

4

117 5ì

upload.123doc.net

5

117 ì

1

119+

8 39

đặt a = 1

117 , b =

1 119

Ta có: 3 ì 1

117 ì

1

119 −

4

117 ì5

upload.123doc.net

5

117 ì

1

119+

8 39

= 3ab – 4a (5 + 1 - b) – 5ab + 8

39

= 3ab – 24 a + 4ab – 5ab + 8

39

= 2ab – 24a + 8

39

Thay a = 1

117 , b =

1 119

ta có A = 2ì 1

117 ì

1

119 −24 ì

1

117+ 8 39

= 2

117ì119 −

24 ì 119 117ì 119+

24 ì119

117 ì119 =

2

117ì119

Câu 4: A = 3

229 ì2

1

433−

1

229ì

432

433 −

4

229ì 433

a) đặt a 1

229 , b =

1 433

Ta có: A = 3a(2 + b) – a (1 - b) – 4ab = 5a

b) A = 5a = 5 1

229=

5 229

Câu 5: Chứng minh rằng (19 45 + 1930 ) chia hết cho 20

Cách 1: ta có (19 45 + 1930 ) = 1930 (1915 +1)

Mà (1915 +1) = (BS 19 + 1) chia hết cho 20

Do đó: 1930 (1915 +1) chia hết cho 20

Nên (19 45 + 1930 ) chia hết cho 20

Câu 6: Ta thấy 1963 chia cho 7 d 3

Do đó 19631964 = (BS 7 +3)1964 = BS 7 + 31964

Xét số 31964 = 32 (33)654 = 9 (28 – 1 )654 = 9 (BS 7 + 1 ) = BS 7 + 2 Vậy 31964 chia cho 7 d 2 do đó 19631964 chia cho 7 d 2

Câu 7: Đặt tổng số dụng cụ xí nghiệp sản xuất là a

Ta có: 1

3a +

1

4a + 15 + 25 = a 1

3a +

1

4a + 40 = a

1

3a +

1

4a - a = - 40

a ( 1

3+

1

4−1 ) = - 40

a ( 4+3 − 12

12 ) = - 40

− 5

12a = - 40  a = (- 40) : ( −

5

12 ) =96

Đáp số: 96 dụng cụ