Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn O, H và G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC... 0,5 điểm Tam giác DHC có đường cao DK cũng là đường trung trực, vậy tam giác DH[r]
Trang 1UBND HUYỆN LONG PHÚ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2014-2015
Khóa ngày 18/01/2015
MÔN THI: TOÁN LỚP 9 (Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề) Đề:
Bài 1: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng: Với mọi n N thì n n 2 25n – 1 2
luôn chia hết cho 24 b) Cho x, y, z là các số nguyên khác 0 Chứng minh rằng nếu a x – yz 2 ;
2
b y – xz ; c z – xy 2 thì tổng ax by cz chia hết cho tổnga b c
Bài 2: (4 điểm)
a) Thực hiện phép tinh:
b) Tìm giá trị của x để biểu thức y = (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) 97 có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 3: (4 điểm)
a) Giải phương trình: x29x 20 2 3x 10
b) Giải hệ phương trình:
2
x y 5 0
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC đường cao AH, H ở trong đoạn BC sao cho
HC=2BH Đường thẳng qua C vuông góc với AC và đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt nhau tại D Gọi K là hình chiếu vuông góc của D lên BC
a) Chứng minh: 3DK.AH = BC.BK và BK = 2CK
b) Tam giác DHC là tam giác gì?
Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), H và G lần lượt là
trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC
a) Chứng minh O, G, H thẳng hàng
b) Trường hợp AH = AO, tìm số đo góc BAC
Trang 2-Hết - UBND HUYỆN LONG PHÚ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2014-2015
Khóa ngày 18/01/2015
HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: Toán lớp 9
Bài 1: (4 điểm)
a) (2 điểm) Với mọi n N
Ta có: n n 2 25n – 2 1 n(n 2)(n 2 1 24n )2
(0,25 điểm)
điểm)
= (n 1)n(n 1)(n 2) 24n (n 2) 3 (0,25 điểm)
Do (n – 1)n(n + 1) là tích 3 số liên tiếp nên nó chia hết cho 6 (0,25 điểm) Mặt khác: (n – 1)n(n + 1)(n+2) chia hết cho 4 (0,25 điểm) Nên (n – 1)n(n + 1)(n+2) chia hết cho 24 (0,25 điểm)
Do đó: n n 2 25n – 1 2
chia hết cho 24 (0,25 điểm) b) (2 điểm)
Ta có: ax by cz
= x3 y3 z3 3xyz (0,25 điểm)
=
(x y z) (x y) (x y)z z 3xy(x y z)
(0,25 điểm)
=
(x y z) (x y) (x y)z z 3xy
(0,25 điểm)
Do đó : ax by cz chia hết cho a b c (0,25 điểm) Bài 2: (4 điểm)
Trang 3Ta có:
2
1
2
1
Do đó:
=
=
(0,25 điểm)
=
(0,5 điểm)
=
1
(0,25 điểm) b) (2 điểm)
Ta có: (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) 97
= (x2 5x)2 61 61 với mọi x (0,5 điểm) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 61 khi x2 5x 0 tức x = 0 hoặc x = - 5 (0,5 điểm) Bài 3: a) (2 điểm)
Trang 4Điều kiện: x
10 3
(0,25 điểm)
2
x 9x 20 2 3x 10
2
x 9x 20 2 3x 10 0
2
(0,25 điểm)
3x 10 1 0
x 3 0
(thỏa mãn điều kiện) (0,25 điểm) Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = - 3 (0,25 điểm) b) (2 điểm)
x y 5 0
(Y 1)(Y 2) 0
Y 1
Y 2
điểm)
Ta được các hệ phương trình (*) và (**):
(*)
x y 5
x y 1
(**)
x y 5
x y 2
(*)
x 3
(**)
x 3,5
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là (3;-2) và (3,5;-1,5) (0,25 điểm) Bài 4: (4,5 điểm)
Trang 5B C
A
D
H
K
a) (3,0 điểm)
Ta có: BAH DBK· · (góc có cạnh tương ứng vuông góc) (0,25 điểm)
Suy ra:
BK DK 3DK (vì BC = 3BH) (0,5 điểm)
Mặt khác: CAH DCK· · (góc có cạnh tương ứng vuông góc) (0,25 điểm)
Suy ra:
Từ (1) và (2) suy ra:
CK.HC
3 3 (do
2
3
) (0,5 điểm)
b) (1,5 điểm)
Vì BK = 2CK nên
1
3
(0,25 điểm)
Và BC = 3BH hay
1
3
(0,25 điểm)
Do đó: HK = CK =
1
Tam giác DHC có đường cao DK cũng là đường trung trực, vậy tam giác DHC là
Bài 5: (3,5 điểm)
Trang 6a) (2,5 điểm) Vẽ đường kính CE
AEBH là hình bình hành nên AH = BE (0,5 điểm)
AH = 2OM (OM là đường trung bình của tam giác BCE) (0,5 điểm) Nối OH cắt trung tuyến AM tại G’, ta có:
AHG '
2
Mà AG = 2GM (do G là trọng tâm tam giác ABC) (0,25 điểm)
b) (1,0 điểm) Trường hợp AH = AO
Do đó ABC là tam giác đều (0,25 điểm)
* Chú ý: Học sinh có thể làm cách khác, nếu đúng vẫn cho đủ điểm.