Đề HSG Toán 7 số 12

b, Cho 2 điểm B và C nằm trên đoạn thẳng AD sao cho AB=CD.[r]

ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 7

Năm học 2013 – 2014

(Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (3đ) Tìm x Z sao cho

a, x 5 2 

b, (x2  20)(x2  15)(x2  10)(x2  5)0

Bài 2 (4đ) Tìm tất cả các cặp số nguyên (m,n) thỏa mãn

a, m n

2  2 2048

b, 3m 4n mn 16  

Bài 3 (4đ)

a, Cho x, y, z, t là 4 số khác 0 và thỏa mãn các điều kiện sau:

y xz, z yt v yà yzt0 z t 0

CM :



b, Cho x+y – z = a-b

x - y + z = b - c

-x+y + z = c – a

Chứng minh : x+y+z=0

Bài 4 (4đ)

a, Cho đa thức f(x)x2015  2000x2014 2000x2013  2000x2012  2000x 1  Tính giá trị của đa thức tại x=1999

b, Cho đa thức f(x)ax2 bxc

chứng tỏ rằng: f( 2).f(3) 0  nếu 13a b 2c0

Bài 5 (5đ)

a,Cho tam giác ABC, đường cao AH Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD, ACE   0

ABDACE9O

1, Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng AH tại K Chứng minh CD vuông góc với BK

2, Chứng minh ba đường thẳng AH, BE, CD đồng quy

b, Cho 2 điểm B và C nằm trên đoạn thẳng AD sao cho AB=CD Lấy điểm M tùy ý trong mặt phẳng Chứng minh rằng: MA MD MB MC  

HẾT

-ĐÁP ÁN Bài 1 (3đ)

a, - Chỉ rõ được x 5 0,1,2 (0.25đ)

- Chỉ rõ từng trường hợp và kết luận đúng

x 5 1

b, Lý luận để có (x2  20)(x2  15)(x2  10)(x2  5) (0.25đ)

Xét đủ 2 trường hợp

- Trường hợp có 1 số âm tính được x4 (0.75đ)

- Trường hợp có 3 số âm tính được x3 (0.75đ)

- Kết luận đúng (0.25đ)

Bài 2: Ta có

m 11 11 n 11 11 11

11 m 11 n 11

m 11 n 11

2 2 2 0 (0.75®)

2 (2 2 1) 0 (0.5®)

(2 2 1) 0 (0.25®)

   

Lý luận tìm được

m 12

n 11



 (0.5đ)

b, Biến đổi được (3 n)(m 4) 4   (1đ) Xác định được tích 2 số nguyên bằng 4 (6 trường hợp) (0.75đ) Kết luận được: (m,n) (8,2); (0,4); (5, 1); (3,7); (6,1); (2,5)  (0.25đ)

Bài 3: Từ giả thiết suy ra

y  z t (0.5đ) Lập phương các tỉ số trên và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để có

Mặt khác ta có

3

3

x x x x x y z x

y y y y y z t t (0.75đ)

Suy được điều cần chứng minh (0.25đ)

b, Cộng vế với vế suy được điều cần chứng minh (2đ)

Bài 4

a, f(x)x  (1999 1)x (1999 1)x  (1999 1)x  (1999 1)x 1   (0.75đ)

Thay 1999=x ta được

Tính được kết quả và kết luận f(1999) = 1998 (0.5đ)

b, Tính f( 2) v f(3) à yzt0 (0.5đ)

f( 2) f(3)=13a+b+2c

f( 2) f(3)

f( 2)f(3)=-f(3)f(3)=- f(3) 0

Bài 5 (5đ)

a, (2đ)

1, Vẽ hình và chứng minh đúng đến hết (1đ)

2, Chỉ ra được AH, BE, CD là 3 đường cao của BCK (1đ)

b, (3đ)

Xét 2 trường hợp

* Trường hợp điểm M AD thì ta có

* Trường hợp M AD

- Gọi I là trung điểm của BC (0.75đ)

- Trên tia đối của tia IM lấy điểm N sao cho IM=IN (0.5đ)

IB IC

Vì



AI ID

* Chứng minh được IMA IND (c.g.c) (0.25đ)

- Điểm C nằm trong MDN chứng minh được ND MD NC MC   (0.5đ)

- Chứng minh IBM ICN (c.g.c) (0.25đ)