Qua A vẽ đờng thẳng AK song song với BC.[r]
Trang 1Trờng THCS
TT HƯng Hà
- -đề khảo sát học sinh giỏi
môn: toán 8
(thời gian làm bài 120 phút)
đề số :1
Câu 1: (4 điểm): Cho a = n3 - 7n – 6
a) Phân tích A thành nhân tử
b) Tìm n để A = 0
Câu 2: (4 điểm): Cho phân thức
P= (x
2
+a)(1+a)+a2x2+1
(x2− a)(1− a)+ a2x2+1
a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng phân thức trên không phụ thuộc vào x, có nghĩa với mọi x
và a
Câu 3: (4 điểm)
a) Cho b+c a + b
c +a+
c a+b=1 Chứng minh rằng
a2 b+c+
b2
c +a+
c2 a+b=0
b) Giả sử a1, b1, c1, a2, b2, c2 là các số khác 0 thoả mãn điều kiện:
a1
a2+
b1
b2+
c1
c2=0 và
a2
a1+
b2
b1+
c2
c1=1
Chứng minh rằng a22+b22+c22
a12+b12+c12=1
Câu 4(3 điểm): Giả các phơng trình sau:
a) (x - 7) (x - 5) (x – 4)(x - 2) = 72
b) |x +3|=|5 − x|
Câu 5: (5 điểm)
Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD Qua A vẽ đờng thẳng AK song song với BC Qua B vẽ đờng thẳng BI song song với AD, BI cắt AC ở F, AK cắt BD
ở E Chứng minh rằng
a) EF//AB
b) AB2 = CD.EF
Trang 2Đáp án - biểu điểm
Câu 1: (4 điểm)
a) (3 điểm)
A= n3 - 7n – 6
A = n3 -4n - 3n – 6
A = (n3 - 4n) – (3n + 6)
A = n(n2 - 4)- 3(n + 2)
A = n(n + 2) (n - 2) - 3(n + 2)
A = (n + 2)(n + 1)(n - 3)
b) (1 điểm)
A = 0 (n + 2)(n + 1) (n -3) = 0
n + 2 = 0 hoặc n + 1 = 0 hoặc n - 3 = 0
n = -2, n = -1, n= 3
Câu 2: (4 điểm)
a)Rút gọn P ta đợc kết quả cuối cùng:
P= a2+a+1
a2− a+1
b) với mọi x thì P= a
2
+a+1
a2−a+1 P không phụ thuộc vào x
xét mẫu a2 - a + 1= (a - 1/2)2 + 3/4>0 vì (a - 1/2)2 0 nên P có nghĩa với mọi x, mọi a
Câu 3: (4 điểm)
a) (2 điểm): Nhân cả 2 vế của b+c a + b
c +a+
c a+b=1 với a+ b+ c
sau đó rút gọn kết quả cuối cùng ta đợc :
a2 b+c+
b2
c +a+
c2 a+b=0
b) đặt a1
a2=p ,
b1
b2=q ,
c1
c2=r
ta có p + q + r = 0 (1)
và 1
p+
1
q+
1
r=1 (2)
từ (2) 1
p2+
1
q2+
1
r2+2
p+q+r
pqr =1
Kết hợp với (1) ta có: 1
p2+
1
q2+
1
r2=1
Vậy a22+b22+c22
a12+b12+c12=1
Câu 4: (3 điểm)
a) (1,5 điểm)
(x = 7) (x - 5) (x – 4)(x - 2) = 72
biến đổi thành phơng trình : (x2 - 9x + 14)(x2 - 9x +20) = 72
Đặt (x2 - 9x + 17)=y đợc y = 9
tính x1 = 1, x2 = 8
vậy tập nghiệm của phơng trình S = {1,8}
b) vì hai vế không âm nên bình phơng 2 vế ta đợc
x2 + 6x + 9 =25 – 10x + x2
Trang 3giải ra đợc x = 1 vậy S = {1}
Câu 5: (5 điểm)
a)(2,5 điểm)
AEB đồng dạng với KED (g.g)
AE
EK=
AB
KD
àB đồng dạng với CFI (g.g)
AB
FC =
AB CI
Mà KD = CI = CD – AB
AE
EK=
AF
FC ⇒EF // KC (định lý đảo talét trong AKC
b)(2,5 điểm)
AEB đồng dạng với KED (CMT) DK
AB=
DE EB
DK +AB
DE+EB EB
DK +KC
DB
EB ⇒DC
AB=
DB
EB (1)
Do EF//DI (theo CMT: EF//KC, I THUộC kc)
¿
DB
EB =
DI
EF ⇒DB
EB =
AB EF
¿
(2) (Vì DI = AB)
Từ (1) Và (2) DC
AB= AB
EF ⇒ AB2=DC EF