Cho biÓu thøc A=.[r]
Trang 1Đề thi olympic năm học 2008-2009 Môn toán 8 huyện hơng sơn
Câu1 Cho biểu thức A=(x − 1 x +1 −
x −1
x +1+
x2−4 x −1
x2− 1 ).(x − 1004 x ) a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A
b) Rút gọn biểu thức A
c) Với giá trị nào của x thì A< 1
2
Câu 2 Cho hai số dơng x,y thoả mãn x+y =1
a) Tính giá trị của biểu thức M= x(x+34) +y( y+ 34 ) +2xy +65
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=(1 − 1
x2).(1 − 1
y2) Câu 3 Đa thức P(x) bậc 4 có hẹ số bậc cao nhất là 1
Giả sử P(1)= 0 ; P(3) =0 ; P(5) =0.Hãy tính giá trị của biểu thức :
Q= P(-2) +7P(6)
Câu 4 Tìm tất cả các số nguyên n thoả mãn :
(n+5)2 =[4 (n −2)]3
Câu 5 Cho đoạn thẳng AB , gọi O là trung điểm của AB , vẽ về một phía của AB các tia
Ax và By cùng vuông góc với AB Lấy điểm C trên Ax , lấy điểm D trên By sao cho góc COD = 900
a) Chứng minh Δ ACO đồng dạng với Δ BOD
b) Chứng minh CD= AC + BD
c) Kẻ OM vuông góc với CD tại M Gọi N là giao điểm của AD với BC Chứng minh MN// AC
đáp án và biểu điểm Câu 1( 3,5 đ)
a) (0,5đ) ĐKXĐ
x ≠ ± 1
x ≠ 0
¿{
¿
¿
b) (1,5đ) Rút gọn ta có A= x −1004
x
Trang 2c) (1,5đ) A<1
2khi
x −1004
x <
1
2⇔ x − 2008
x <0⇔ 0<x <2008 Kết hợp với ĐKXĐ ta có
khi
0<x <2008
x ≠1
¿{
¿
¿
Thì A<1
2
Câu 2 (4đ)
a) (2đ) M= x(x+34) + y( y+34) +2xy +65= (x+y)2 +34(x+y) +65
thay x+y =1 ta có M=100
b) (2đ) P=(1 − 1
x2).(1 − 1
y2)= (x2−1) (y2−1)
x2y2 thay x+y =1 ta có
P = ( x+1) ( y +1)
x + y +xy+1
2+xy
2 xy
Ta có P nhỏ nhất khi 2
xy nhỏ nhất do x,y >0 nên
2
xy nhỏ nhất khi x,y lớn nhất mà
x+y =1 không đổi nên x,y lớn nhất khi x=y=1/2 Vậy Pmin=1+ 2
1
2.
1 2
=9
Câu 3 ( 3 đ)
Vì P(1) =0; P(3)= 0; P(5) =0 nên đa thứcP(x) nhận 1;3;5 làm nghiệm Mà hệ số của bậc cao nhất bằng 1 nên P(x) = (x-1) (x-3) (x-5) (x-a) Từ đó
⇒P(-2) =210+105a và 7P(6) = 630-105a Vậy Q= P(-2) +7P(6) =840
Câu 4 (3,5đ)
Vì (n+5)20với mọi n nên n 2 Dễ thấy n=2 không thoả mãn nên n>2
Với n>2 ta có
(n+5 )2=64 (n −2)3≥ 64 (n −2)2⇒(n+5)2≥ 8( n− 2)⇔ 7 n ≤21 ⇔n ≤ 3
Kết hợp với n>2 ta có n=3 Vậy giá trị cần tìm là n=3
Câu 5 (6 đ)
a) (2đ) Ta có ∠BOD =∠OCAcùng phụ với góc COA
∠ A =∠B=1 V ⇒ ΔACO đồng dạng với Δ BOD
b) ( 2đ)
Kéo dai CO cắt BD tại E ta có tam giác AOC bằng tam giác BOE Suy ra
CA =BE và CO =OE Từ AC =BE suy ra CA + BD=DE (1)
Từ CO =OE và DO vuong góc với CE suy ra tam giác CDE cân tại D ⇒CD=DE (2)
Từ (1) và (2 ) ta có AC+BD= CD
c) (2đ) Từ AC//BD ta có ND
BD
AC (3) vì tam giác CDE cân tại D nên DO cũng là
phân giác của góc CDE ⇒OM=OB.Vậy Δ MOC= ΔBOE mà Δ BOE=Δ AOC Suy ra
Δ MOC= ΔAOC Từ đó AC=CM (40 mà AC+BD= CD =CM+MD suy ra BD =MD (5) Từ (3),(4),(5) ta có MD
ND
NA Vậy MN//AC